2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C B A C B C D
1．D
本题考查了二次函数的一般式，把函数的表达式化简成的形式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
解：化成一般式为，
∴二次项系数和一次项系数分别为，，
故选：．
2．D
本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键．
根据球门高为米，可得当时，，即可得解．
球门高为米，
当时，，
，
可能是．
故选．
3．A
本题考查的是二次函数的性质.
当时，函数值大于0，即即判断A选项，根据函数图象，直接可得时，即可判断B选项，根据函数图象交轴于正半轴，即可判断C选项，根据对称轴为直线，开口向下，即可判断D选项．
解：根据函数图象可得：当时，函数值大于0，即，故A选项错误，符合题意；
当时，，故B选项正确，不符合题意；
∵函数图象交轴于正半轴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
4．C
根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形相似，可得，可得方程，解方程即可求出的长．
解：四边形是矩形，
，
根据折叠的性质可知，，
四边形是正方形，
，
设，则，
四边形与矩形相似，
∴四边形矩形相似，
，
，
解得：，（不合题意，舍去），
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
．
故选：C．
本题考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长．
5．B
本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定定理有：三边对应成比例的两个三角形相似；两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决本题的关键是根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
解：A选项：，
，
，
又，
根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：，
故A选项不符合题意；
B选项：是中边和边与中边与边对应成比例，但是无法说明它们的夹角与相等，
无法说明，
故B选项符合题意；
C选项：，，
根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立，
故C选项不符合题意；
D选项：，，
根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立，
故D选项不符合题意．
故选：B．
6．A
本题考查了圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角等于．
先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，再由即可求解．
解：∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答．
解：取中点为E，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
8．B
本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是．
解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作，
点的坐标为，
，，
，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
当最大时最大，
当点、、共线时有最大值，
的半径为，
的最大值是，
的最大值是．
故选：B．
9．C
本题主要考查用频率估计概率、概率的计算，掌握用频率估计概率成为解题的关键．
先根据统计图估计概率的范围，然后分别求出各选项的概率判断即可．
解：图中，符合该结果的频率在和之间．
A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点的概率约为，不合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的频率约为，不合题意；
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意；
D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为．
故选：C．
10．D
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D，用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出同时选择梅县松口和惠州博罗的情况，用概率公式求解即可．
将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D，
画树状图如下：
∴共有24种等可能结果，其中同时选择梅县松口和惠州博罗的情况有12种，
∴同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为．
故选：D．
11．
本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格或画出树状图是解题的关键．
设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，
根据题意，列出表格如下：
A B C D
A B，A C，A D，A
B A，B C，B D，B
C A，C B，C D，C
D A，D B，D C，D
一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，
这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是．
故答案为：
12．
本题主要考查了列二次函数解析式，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，根据列出w关于x的函数关系式即可．
解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得；
，
故答案为：．
13．
本题考查的知识点是中位线定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是通过相似三角形的判定求出和的数量关系．先由中位线定理得，，再由相似三角形的判定与性质求出，则．
解：是的中位线，，
，，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
14．
本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值．
解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．
∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴，，
∵点B是劣弧的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∴周长的最小值，
故答案为：．
15．
本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键．
先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
解：根据题意列表如下：
甲 乙
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：．
故答案为：．
16．②④⑤
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解决问题关键．根据函数图象分别判断、、的正负，即可判断①；根据二次函数的对称性即可判断②；根据二次函数图象的性质即可判断③；用来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即即可判断④；利用二次函数的最值即可判断⑤．
解：①根据图象可知：，，
∵对称轴是直线，
，即，
∴．故①错误．
②方程的解即为二次函数与轴的交点横坐标，
根据图象已知抛物线与轴的一个交点的横坐标满足，
∴另一个交点的横坐标满足．故②正确．
③∵对称轴是直线，且，
∴点离对称轴更近，
∴，故③错误．
④，
∴，
，
根据图象，令，则，
∴，故④正确．
⑤∵时，函数有最小值，
∴对于任意实数，都有，即，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
17．
本题考查了利用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和小于的结果有种，
∴，
答：甲参加的概率为．
18．(1)或
(2)不能，见解析
此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可．
（2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解．
（1）解：、，
，，
，
①当时，
，
，
；
②当时，
，
，
，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似；
（2）解：不能，理由如下，
作轴于，轴于，
，，
，
，
，
当的面积为6个平方单位时，即．
整理得：，
，
此方程无实数根，
的面积不能为6个平方单位．
19．
本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
本题考查了作图—作线段的垂直平分线，垂径定理，勾股定理，的直角三角形的性质；
（1）作和的垂直平分线，它们相交于点，点即为所作；
（2）如图，连接，利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求出，即可求出的度数，进而求出，根据的直角三角形的性质求出长解答即可．
（1）解：如图， 点即为所作；
（2）解：连接，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)0.58
(2)0.6
(3)
本题考查用频率估计概率，概率公式．
（1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可；
（2）根据表格数据，用频率估计概率；
（3）利用概率公式求解．
（1）解：表中，
故答案为：0.58；
（2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6，
所以摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个），
添加4个黑球后，摸到白球的概率为：，
即此时摸到白球的概率是．
22．(1)
(2)的最大值为元
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用—利润问题是解题的关键，
（1）设与的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据利润利润等于单个利润乘以销售量，可以列出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
（1）解：设与的函数关系式为，把和分别代入，得：
解得：
∴．
（2）解：由题可得：
∵，
∴函数在对称轴时，有最大值，
∴有最大值（元）．
23．(1)，对称轴为轴，顶点坐标为
(2)
（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标；
（）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可；
本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键．
（1）解：∵是二次函数，
∴，
解得或，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为；
（2）解：列表如下：
画函数图象如下：
由函数图象可得，当时，的范围为，
故答案为：．
24．(1)（答案不唯一）
(2)①见解析；②四边形是矩形，理由见解析；
（1）添加，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）①连接，先判断，然后证明四边形是矩形，得出，结合（1）的条件可得出，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，然后根据圆周角定理即可求解；②由（1）知：，得出，则可证明，然后证明，得出，根据垂径定理可得出，证明，则可证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得出结论；当时，可证明，得出，连接，可证明是等边三角形，则，进而求出，，设，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质求出，，，，根据全等三角形的性质可得出，，，，然后根据正方形的面积公式，三角形的面积公式以及割补法求出四边形与正方形的面积，即可求解．
（1）解：补充：，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）解：①连接，
∵，
∴是外接圆的直径，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴；
②四边形是矩形，
理由：由①知：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，即，是外接圆的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形；
当时，
∴，
又，，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又
∴
，
∴四边形与正方形的面积之比为．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理以及推论，垂径定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 根据二次函数的定义求参数
2 0.85 投球问题(实际问题与二次函数)；y=a（x-h） +k的图象和性质
3 0.75 根据二次函数的图象判断式子符号
4 0.75 相似多边形的性质；矩形与折叠问题；根据正方形的性质与判定求线段长
5 0.65 选择或补充条件使两个三角形相似
6 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；根据平行线的性质求角的度数
7 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；三角形三边关系的应用
8 0.64 用勾股定理解三角形；点与圆上一点的最值问题；斜边的中线等于斜边的一半
9 0.64 根据概率公式计算概率；由频率估计概率
10 0.60 列表法或树状图法求概率
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 列表法或树状图法求概率
12 0.85 列二次函数关系式；销售问题(实际问题与二次函数)
13 0.75 与三角形中位线有关的求解问题；相似三角形的判定与性质综合
14 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；角度问题(轴对称综合题)；用勾股定理解三角形
15 0.64 列表法或树状图法求概率
16 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；根据二次函数的图象判断式子符号
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
18 0.75 相似三角形——动点问题
19 0.75 相似三角形的判定与性质综合
20 0.65 作垂线(尺规作图)；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
21 0.65 根据概率公式计算概率；由频率估计概率；已知概率求数量；求某事件的频率
22 0.64 y=ax +bx+c的最值；销售问题(实际问题与二次函数)
23 0.55 根据二次函数的定义求参数；y=ax 的图象和性质
24 0.15 根据正方形的性质证明；圆周角定理；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图像如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．当时，
C． D．当时，随的增大而减小
4．如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，则下列各式不能说明的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是半圆的直径，弦，的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，，则弦和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点
B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案
10．梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ．
12．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为
13．如图，是的中位线，点在上，．连结并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为 ．
14．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ．
15．有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ．
16．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．若该博物馆的某项工作在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加．游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张记下数字后放回，乙再从中随机抽取一张，若抽取的两张牌的牌面数字之和小于，则甲参加；否则，乙参加．求甲参加的概率．
18．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒．
(1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？
(2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
19．如图，，与相交于点E，，，点F在上，．求的长；
20．如图是一段弧，和是圆弧的两条弦，的半径为2，，．
(1)作出圆心O的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹不写作法）
(2)求的长度．
21．在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601
(1)上表中的________．
(2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）．
(3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？
22．电商平台销售一种恤衫，每件进价为元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中为整数，且）一部分数据如下表所示：
销售单价（元/件）
销售量（件）
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)求每周销售这种恤衫获得的利润（元）的最大值；
23．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标；
(2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
24．如图，如图，正方形中，点E、F分别为边、上的动点，与相交于点M．
(1)如图1，若添加条件 ，则；（请在横线上填1个合适的条件）
(2)在（1）的条件下，若的外接圆与交于点G，与交于点H．
①如图2，连接，交于点N，连接，求证：；
②如图3，连接、，过点G作于点K，请判断四边形的形状并说明理由．并直接写出当时，四边形与正方形的面积之比．
