第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
第1课时 任意角
学习 目标 1. 了解任意角的概念，能区分正角、负角和零角． 2. 掌握象限角、终边相同角的概念，并会用集合表示象限角、终边相同角．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P168—P171，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 角的概念：
角 描述
定义 角可以看成 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所形成的图形
表示 其中O为顶点，OA为始边，OB为终边
记法 角α或∠α，或简记为α
2. 一条射线绕其端点按逆时针方向 形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 ．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个 ．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 小于90°的角都是锐角．( )
(2) 第一象限角一定不是负角．( )
(3) 第二象限角是钝角．( )
(4) 225°是第三象限角．( )
典例精讲能力初成
探究1 任意角的概念
例1 (1) 手表走过2小时，时针转过的角度为( )
A. 60° B. －60° C. 30° D. －30°
(2) 每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A. 30° B. －30°
C. 60° D. －60°
探究2 轴线角、象限角
例2-1 (课本P170例1)在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
例2-2 (课本P170例2)写出终边在y轴上的角的集合．
判断角α是第几象限角的常用方法：将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
探究3 终边相同的角的表示
例3 已知α＝－2 024°，则与角α终边相同的最小正角为 ，最大负角为 ．
终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式，终边相同的角相差360°的整数倍．
探究4 区域角的表示
(课本P171例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S.S中满足不等式－360°≤β
<720°的元素β有哪些？
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2) 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3) 起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
变式 如图，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合．
(1) (2)
(变式)
探究5 或nα(n∈Z)终边所在象限的判断
例5 (1) 已知α为第二象限角，则2α是第几象限角？
(2) 已知α为第二象限角，则是第几象限角？
随堂内化及时评价
1. 大于－360°且终边与角75°重合的负角是( )
A. －175° B. －125°
C. －285° D. －295°
2. 1 200°是第________象限角( )
A. 一 B. 二
C. 三 D. 四
3. 若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则角α终边所在的象限是( )
A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限
4. 下列各组角中，两个角终边不相同的一组是( )
A. －43°与677° B. 900°与－1 260°
C. －120°与960° D. 150°与630°
5. (课本P171练习2)今天是星期三，那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？7k(k∈Z)天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？
配套新练案
一、 单项选择题
1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为( )
A. 逆时针，270° B. 顺时针，270°
C. 逆时针，30° D. 顺时针，30°
2. 终边在第二象限的角有( )
A. 170° B. －480°
C. －1 500° D. 800°
3. 下列说法正确的是( )
A. 第二象限角都是钝角
B. 第四象限角大于第二象限角
C. 若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D. 若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
4. 已知α∈{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°}，则角α的终边落在的阴影部分是( )
A B
C D
二、 多项选择题
5. α＝k·180°－60°，k∈Z的终边可以落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第四象限 D. 第三象限
6. 若α是第二象限角，则( )
A. －α是第一象限角
B. 是第一或第三象限角
C. 270°＋α是第二象限角
D. 2α是第三或第四象限角或2α的终边在y轴负半轴上
三、 填空题
7. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角度是 ．
8. 已知α为第三象限角，则是第 象限角，2α是 的角．
四、 解答题
9．写出终边落在下列各图所示阴影部分内(包含边界)的角的集合．
(1) (2)
(第9题)
10. 若α是第一象限角，问：－α，2α，是第几象限角？
11. 若A＝{α|k·720°－90°<αA. A＝B
B. A B
C. A B
D. 非选项A，B，C中的结论
12. (多选)下列说法正确的是( )
A. 330°是第四象限角
B. 锐角一定是第一象限角
C. 第二象限角大于第一象限角
D. 若角α为第二象限角，那么为第一象限角
13. 已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则角α＝ ，β＝ ．
14. 如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，则角θ是第 象限角．
(第14题)第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
第1课时 任意角
学习 目标 1. 了解任意角的概念，能区分正角、负角和零角． 2. 掌握象限角、终边相同角的概念，并会用集合表示象限角、终边相同角．
新知初探基础落实
复习：初中时，我们已学习了0°～360°角的概念，它是如何定义的呢？
如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫做终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
一、 生成概念
问题1：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720°” (即转体2周)，“转体1 080°”(即转体3周)；再如你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
略．
问题2：下图是两个齿轮旋转的示意图．若主动齿轮顺时针旋转，则被动齿轮沿逆时针旋转．这种现象说明了角有什么特征呢？
角是有方向的．
问题3：角的概念是如何推广的？正角、负角、零角是怎么规定？
略．
请同学阅读课本P168—P171，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 角的概念：
角 描述
定义 角可以看成__一条射线__绕着它的__端点__从一个位置__旋转__到另一个位置所形成的图形
表示 其中O为顶点，OA为始边，OB为终边
记法 角α或∠α，或简记为α
2. 一条射线绕其端点按逆时针方向__旋转__形成的角叫做__正角__，按顺时针方向旋转形成的角叫做__负角__．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__零角__．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 小于90°的角都是锐角．( × )
(2) 第一象限角一定不是负角．( × )
(3) 第二象限角是钝角．( × )
(4) 225°是第三象限角．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 任意角的概念
例1 (1) 手表走过2小时，时针转过的角度为( B )
A. 60° B. －60°
C. 30° D. －30°
【解析】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，因此时针转过的角度为负数，所以手表走过2小时，时针转过的角度为－30°×2＝－60°.
(2) 每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( D )
A. 30° B. －30°
C. 60° D. －60°
【解析】因为分针是顺时针走的，所以形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，所以走过的角度大小为×360°＝60°.综上，分针走过的角度是－60°.
探究2 轴线角、象限角
例2-1 (课本P170例1)在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【解答】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
例2-2 (课本P170例2)写出终边在y轴上的角的集合．
【解答】在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(如图).因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，而所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
(例2-2答)
判断角α是第几象限角的常用方法：将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
探究3 终边相同的角的表示
已知α＝－2 024°，则与角α终边相同的最小正角为__136°__，最大负角为
__－224°__．
【解析】α＝－2 024°＝－6×360°＋136°，则与角α终边相同的角可以写成k·360°＋136°(k∈Z)的形式．当k＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为136°；当k＝－1时，可得与角α终边相同的最大负角为－224°.
终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式，终边相同的角相差360°的整数倍．
探究4 区域角的表示
(课本P171例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S.S中满足不等式－360°≤
β<720°的元素β有哪些？
【解答】如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}，S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°.
(例4答)
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2) 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3) 起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
变式 如图，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合．
(1) (2)
(变式)
【解答】图(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}．图(2)终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α探究5 或nα(n∈Z)终边所在象限的判断
例5 (1) 已知α为第二象限角，则2α是第几象限角？
【解答】因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.所以180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°，k∈Z.所以2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴非正半轴上的角．
(2) 已知α为第二象限角，则是第几象限角？
【解答】由题意得45°＋ ·360°＜＜90°＋·360°，k∈Z.当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°＜＜90°＋n·360°，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°＜＜270°＋n·360°，此时，为第三象限角．所以为第一或第三象限角．
随堂内化及时评价
1. 大于－360°且终边与角75°重合的负角是( C )
A. －175° B. －125°
C. －285° D. －295°
【解析】大于－360°且终边与角75°重合的负角是－285°.
2. 1 200°是第________象限角( B )
A. 一 B. 二
C. 三 D. 四
【解析】1 200°＝3×360°＋120°，120°在第二象限，所以1 200°是第二象限角．
3. 若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则角α终边所在的象限是( A )
A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限
【解析】令k＝0，α＝45°，角的终边在第一象限；令k＝1，α＝225°，角的终边在第三象限．故α的终边所在的象限是第一或第三象限．
4. 下列各组角中，两个角终边不相同的一组是( D )
A. －43°与677° B. 900°与－1 260°
C. －120°与960° D. 150°与630°
【解析】对于A，因为－43°＋360°×2＝677°，所以－43°与677°终边相同；对于B，因为900°－360°×6＝－1 260°，所以900°与－1 260°终边相同；对于C，因为－120°＋360°×3＝960°，所以－120°与960°终边相同；对于D，若150°＋360°×k＝630°，解得k＝ Z，所以150°与630°终边不同．
5. (课本P171练习2)今天是星期三，那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？7k(k∈Z)天前的那一天
是星期几？100天后的那一天是星期几？
【解答】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则7k(k∈Z)天后的那一天是星期三；7k(k∈Z)天前的那一天仍然是星期三；100＝7×14＋2，所以100天后的那一天是星期五．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为( B )
A. 逆时针，270° B. 顺时针，270°
C. 逆时针，30° D. 顺时针，30°
【解析】由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°.
2. 终边在第二象限的角有( A )
A. 170° B. －480°
C. －1 500° D. 800°
3. 下列说法正确的是( D )
A. 第二象限角都是钝角
B. 第四象限角大于第二象限角
C. 若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D. 若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
4. 已知α∈{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°}，则角α的终边落在的阴影部分是( B )
A B
C D
二、 多项选择题
5. α＝k·180°－60°，k∈Z的终边可以落在( BC )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第四象限 D. 第三象限
6. 若α是第二象限角，则( BD )
A. －α是第一象限角
B. 是第一或第三象限角
C. 270°＋α是第二象限角
D. 2α是第三或第四象限角或2α的终边在y轴负半轴上
【解析】因为α是第二象限角，所以90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z.对于A，－180°－360°·k<－α<－90°－360°·k，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误．对于B，得45°＋180°·k<<90°＋180°·k，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B正确．对于C，360°＋360°·k<270°＋α<450°＋360°·k，k∈Z，即2(k＋1)·180°<270°＋α<90°＋2(k＋1)·180°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，故C错误．对于D，180°＋720°·k<2α<360°＋720°·k，k∈Z，所以2α的终边位于第三或第四象限或y轴负半轴上，故D正确．
三、 填空题
7. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角度是__－960°__．
【解析】2小时40分＝小时，－360°×＝－960°，故分针走过的角度为－960°.
8. 已知α为第三象限角，则是第__二、四__象限角，2α是__第一、二象限或y轴的非负半轴上__的角．
【解析】因为α是第三象限角，即360°·k＋180°<α<360°·k＋270°，k∈Z，所以180°·k＋90°<<180°·k＋135°，k∈Z，720°·k＋360°<2α<720°·k＋540°，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角．而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
四、 解答题
9．写出终边落在下列各图所示阴影部分内(包含边界)的角的集合．
(1) (2)
(第9题)
【解答】(1) {α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2) {α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
10. 若α是第一象限角，问：－α，2α，是第几象限角？
【解答】因为α是第一象限角，所以k·360°<α①－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，所以－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故
－α是第四象限角．
②2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，所以2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上．
③k·120°<方法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，即n·360°<方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一、二或三象限角．
(第10题答)
11. 若A＝{α|k·720°－90°<αA. A＝B
B. A B
C. A B
D. 非选项A，B，C中的结论
【解析】集合A中，若α＝0°，则0°不属于第一或第四象限角，即α B.集合B中，若α＝390°，则α是第一象限角，但α A.综上，集合A与B没有关系．
12. (多选)下列说法正确的是( AB )
A. 330°是第四象限角
B. 锐角一定是第一象限角
C. 第二象限角大于第一象限角
D. 若角α为第二象限角，那么为第一象限角
【解析】270°<330°<360°，故330°是第四象限角，故A正确；锐角是第一象限角，故B正确；第二象限角为k·360°＋90°<α13. 已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则角α＝__15°__，β＝__65°__．
【解析】由题意可知α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.因为α，β为锐角，所以0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β为锐角，所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°②.由①②得α＝15°，β＝65°.
14. 如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，则角θ是第__一或二__象限角．
(第14题)
【解析】由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，则θ＝，k∈Z.又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，则67.5°＜＜112.5°，k∈Z，所以k＝3或k＝4，故θ＝或θ＝.易知0°＜＜90°，90°＜＜180°，故角θ的终边在第一或第二象限．(共46张PPT)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
第1课时 任意角
学习 目标 1. 了解任意角的概念，能区分正角、负角和零角．
2. 掌握象限角、终边相同角的概念，并会用集合表示象限角、终边相同角．
新知初探 基础落实
复习：初中时，我们已学习了0°～360°角的概念，它是如何定义的呢？
如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫做终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
一、 生成概念
问题1：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720°” (即转体2周)，“转体1 080°”(即转体3周)；再如你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
问题2：如图是两个齿轮旋转的示意图．若主动齿轮顺时针旋转，则被动齿轮沿逆时针旋转．这种现象说明了角有什么特征呢？
角是有方向的．
问题3：角的概念是如何推广的？正角、负角、零角是怎么规定？
请同学阅读课本P168—P171，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 角的概念：
角 描述
定义 角可以看成___________绕着它的_______从一个位置_______到另一个位置所形成的图形
表示
其中O为顶点，OA为始边，OB为终边
记法 角α或∠α，或简记为α
一条射线
端点
旋转
2. 一条射线绕其端点按逆时针方向_______形成的角叫做_______，按顺时针方向旋转形成的角叫做_______．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个_______．
旋转
正角
负角
零角
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 小于90°的角都是锐角． ( )
(2) 第一象限角一定不是负角． ( )
(3) 第二象限角是钝角． ( )
(4) 225°是第三象限角． ( )
×
×
×
√
典例精讲 能力初成
探究
(1) 手表走过2小时，时针转过的角度为 ( )
A. 60° B. －60°
C. 30° D. －30°
1
任意角的概念
1
B
【解析】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，因此时针转过的角度为负数，所以手表走过2小时，时针转过的角度为－30°×2＝－60°.
(2) 每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是 ( )
A. 30° B. －30°
C. 60° D. －60°
D
探究
(课本P170例1)在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
2
轴线角、象限角
【解答】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
2－1
(课本P170例2)写出终边在y轴上的角的集合．
【解答】在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(如图).因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，而所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}
∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，
k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，
n∈Z}．
2－2
判断角α是第几象限角的常用方法：将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
探究
已知α＝－2 024°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为__________．
3
终边相同的角的表示
3
【解析】α＝－2 024°＝－6×360°＋136°，则与角α终边相同的角可以写成k·360°＋136°(k∈Z)的形式．当k＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为136°；当k＝－1时，可得与角α终边相同的最大负角为－224°.
136°
－224°
终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式，终边相同的角相差360°的整数倍．
探究
(课本P171例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S.S中满足不等式－360°≤
β<720°的元素β有哪些？
4
区域角的表示
4
【解答】如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.
因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}
∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}，S中
适合不等式－360°≤β<720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°.
(1) 先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2) 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α【解答】图(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}．
变式
如图，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合．
图(2)终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α (1) 已知α为第二象限角，则2α是第几象限角？
【解答】因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.所以180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°，k∈Z.所以2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴非正半轴上的角．
探究
5
5
随堂内化 及时评价
1. 大于－360°且终边与角75°重合的负角是 ( )
A. －175° B. －125°
C. －285° D. －295°
C
【解析】大于－360°且终边与角75°重合的负角是－285°.
2. 1 200°是第________象限角 ( )
A. 一 B. 二
C. 三 D. 四
B
【解析】1 200°＝3×360°＋120°，120°在第二象限，所以1 200°是第二象限角．
3. 若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则角α终边所在的象限是 ( )
A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限
A
【解析】令k＝0，α＝45°，角的终边在第一象限；令k＝1，α＝225°，角的终边在第三象限．故α的终边所在的象限是第一或第三象限．
4. 下列各组角中，两个角终边不相同的一组是 ( )
A. －43°与677° B. 900°与－1 260°
C. －120°与960° D. 150°与630°
D
5. (课本P171练习2)今天是星期三，那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？7k(k∈Z)天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？
【解答】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则7k(k∈Z)天后的那一天是星期三；7k(k∈Z)天前的那一天仍然是星期三；100＝7×14＋2，所以100天后的那一天是星期五．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为 ( )
A. 逆时针，270° B. 顺时针，270°
C. 逆时针，30° D. 顺时针，30°
B
【解析】由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°.
2. 终边在第二象限的角有 ( )
A. 170° B. －480°
C. －1 500° D. 800°
A
3. 下列说法正确的是 ( )
A. 第二象限角都是钝角
B. 第四象限角大于第二象限角
C. 若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D. 若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
D
4. 已知α∈{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°}，则角α的终边落在的阴影部分是
( )
B
二、 多项选择题
5. α＝k·180°－60°，k∈Z的终边可以落在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第四象限 D. 第三象限
BC
【答案】BD
三、 填空题
7. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角度是__________．
－960°
二、四
第一、二象限或y轴的非负半轴上
四、 解答题
9．写出终边落在下列各图所示阴影部分内(包含边界)的角的集合．
【解答】(1) {α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2) {α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
【解答】因为α是第一象限角，所以k·360°<α①－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，所以－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．
②2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，所以2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上．
11. 若A＝{α|k·720°－90°<αA. A＝B B. A B
C. A B D. 非选项A，B，C中的结论
D
【解析】集合A中，若α＝0°，则0°不属于第一或第四象限角，即α B.集合B中，若α＝390°，则α是第一象限角，但α A.综上，集合A与B没有关系．
AB
13. 已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则角α＝_______，β＝_______．
【解析】由题意可知α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.因为α，β为锐角，所以0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β为锐角，所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°②.由①②得α＝15°，β＝65°.
15°
65°
14. 如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，则角θ是第_________象限角．
一或二
