第2课时 弧度制
学习 目标 1. 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2. 理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P172—P175，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 弧度制
(1) 1弧度的角：我们规定： 叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2) 弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
2. 弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么 ．
3. 角度制与弧度制的换算：
角度化弧度 弧度化角度
180°＝ rad π rad＝
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
4. 一般地，正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 ．
注意：(1) 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(2) 任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 半圆所对的圆心角是π rad.( )
(2) 周角的大小等于π.( )
(3) 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径．( )
(4) 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度．( )
典例精讲能力初成
探究1 弧度制的概念
例1 下列说法中错误的是( )
A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B. 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C. 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关
变式 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为( )
A. B. －
C. D. －
探究2 角度与弧度的互化
例2 (课本P173例4)按照下列要求，把67°30′化成弧度．
(1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值．
变式 (1) (多选)下列转化结果正确的是( )
A. 60°化成弧度是
B. －150°化成弧度是－
C. －π化成度是－600°
D. 化成度是15°
(2) 把－1 485°化为α＋2kπ(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是( )
A. －10π B. －－8π
C. －－10π D. －8π
探究3 用弧度制表示角的集合
例3 (1) 若角θ的终边与角的终边相同，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角．
(2) 已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．
探究4 扇形的弧长公式及面积公式
例4 (课本P174例6)利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) l＝αR；(2) S＝αR2；(3) S＝lR.
其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则：
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2
有关扇形的弧长l，圆心角α，面积S的题目，一般是知二求一，解此类题目的关键在于灵活运用l＝|α|r，S＝lr＝|α|r2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．
变式1 如图，已知圆O的半径r＝10，弦AB的长为10.
(变式1)
(1) 求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2) 求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S.
变式2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
随堂内化及时评价
1. 时针经过一小时，转过了( )
A. rad B. － rad
C. rad D. － rad
2. 下列与角的终边一定相同的角是( )
A. B. k·360°＋(k∈Z)
C. 2kπ＋(k∈Z) D. (2k＋1)π＋(k∈Z)
3. 若角α＝4，则角α的终边所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为( )
A. 2 B. 2
C. D. 1
5. (2025·张家界期末)(多选)下列说法正确的是( )
A. －π rad＝－180°
B. 第一象限角都是锐角
C. 若一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D. 终边在直线y＝－x上的角的集合是α＝kπ－，k∈Z}
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B.
C. D.
2. 已知一个扇形的弧长为50 mm，半径为100 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的角度数为( )
A. ° B. 90°
C. ° D. °
3. 把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A. － B. －2π
C. π D. －π
4. 《九章算术》成书于公元1世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步. 问为田几何？”(一步＝1.5 m)意思是现有扇形田，弧长为45 m，直径为24 m，那么扇形田的面积为( )
A. 135 m2 B. 270 m2
C. 540 m2 D. 1 080 m2
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的有( )
A. 1 rad＝°
B. 若α是锐角，则2α是第一或第二象限角
C. 若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
D. 角α是第三或第四象限角的充要条件是sin α<0
6. (2025·肇庆期末)在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是( )
A. 该扇形的弧长为
B. 该扇形的周长为＋4
C. 该扇形的面积为
D. 该圆形金属板的周长为＋4
三、 填空题
7. 若角θ的终边在如图所示的阴影部分表示的范围内，则角θ用弧度制可表示为 ．
(第7题)
8. 杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成(如图)，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为1，径长(内环和外环所在圆的半径之差)为1，则该扇面的面积为 ．
(第8题)
四、 解答题
9. 将下列各角化成2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所在的象限．
(1) ；
(2) .
10. 如图，P，Q是以O为圆心，4为半径的圆周上的动点，现点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转 rad，点Q按顺时针方向每秒转 rad.
(第10题)
(1) 求点P，Q第一次相遇时所用的时间；
(2) 在(1)的条件下，求点P，Q各自走过的弧长．
11. 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于( )
A. 2 B. 3
C. 1 D. 4
12. (多选)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图(1))产生了浓厚的兴趣，并临摹出该扇形瓷器盘的大致形状，如图(2)所示，在扇形OAB中，∠AOB＝，OB＝OA＝2，则( )
图(1) 图(2)
(第12题)
A. ∠AOB＝30°
B. 弧长AB＝
C. 扇形OAB的周长为＋4
D. 扇形OAB的面积为
13. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制(Dense Position System)，密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即2π＝360°＝6 000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0-03，123密位写成1-23，设圆的半径为1，那么5-20密位的圆心角所对的弧长为( )
A. B.
C. D.
14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是________平方米( )
(第14题)
A. －4 B. －2
C. 4＋2 D. 2＋4第2课时 弧度制
学习 目标 1. 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2. 理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式．
新知初探基础落实
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
一、 生成概念
问题1：在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
1度的角等于周角的.圆心角是确定的．
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制．
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.
由初中所学知识可知l＝，于是＝.
问题2：如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ＝r1.在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．
请同学阅读课本P172—P175，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 弧度制
(1) 1弧度的角：我们规定：__长度等于半径长的圆弧所对的圆心角__叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2) 弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
2. 弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么__|α|＝__．
3. 角度制与弧度制的换算：
角度化弧度 弧度化角度
180°＝__π__rad π rad＝__180°__
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
4. 一般地，正角的弧度数是__一个正数__，负角的弧度数是__一个负数__，零角的弧度数是__0__．
注意：(1) 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(2) 任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 半圆所对的圆心角是π rad.( √ )
(2) 周角的大小等于π.( × )
(3) 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径．( √ )
(4) 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度．( × )
典例精讲能力初成
探究1 弧度制的概念
例1 下列说法中错误的是( D )
A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B. 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C. 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关
【解析】A正确.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．
变式 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为( B )
A. B. －
C. D. －
【解析】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转×＝，所以时针转过的角度为－.
探究2 角度与弧度的互化
例2 (课本P173例4)按照下列要求，把67°30′化成弧度．
(1) 精确值；
【解答】因为67°30′＝°，所以67°30′＝× rad＝π rad.
(2) 精确到0.001的近似值．
【解答】利用计算器有
因此，67°30′≈1.178 rad.
变式 (1) (多选)下列转化结果正确的是( ACD )
A. 60°化成弧度是
B. －150°化成弧度是－
C. －π化成度是－600°
D. 化成度是15°
【解析】根据弧度定义，1°＝弧度，π弧度＝180°，所以60°＝弧度，－150°＝－弧度，－π＝－×180°＝－600°，＝×180°＝15°.
(2) 把－1 485°化为α＋2kπ(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是( A )
A. －10π B. －－8π
C. －－10π D. －8π
【解析】由题意－1 485°＝rad＝－π rad＝rad.
探究3 用弧度制表示角的集合
例3 (1) 若角θ的终边与角的终边相同，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角．
【解答】因为θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以＝＋(k∈Z).令0≤＋<2π，解得
－≤k<，k∈Z.所以k＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与相同的角为，，.
(2) 已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．
【解答】由α是第三象限角，得π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)，所以2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z).所以角2α的终边在第一、二象限或y轴的非负半轴．
探究4 扇形的弧长公式及面积公式
例4 (课本P174例6)利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) l＝αR；(2) S＝αR2；(3) S＝lR.
其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
【解答】由公式|α|＝可得l＝αR.下面证明(2)(3).半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是l＝，S＝，将n°转换为弧度，得α＝，于是，S＝αR2.将l＝αR代入上式，即得S＝lR.
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则：
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2
有关扇形的弧长l，圆心角α，面积S的题目，一般是知二求一，解此类题目的关键在于灵活运用l＝|α|r，S＝lr＝|α|r2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．
变式1 如图，已知圆O的半径r＝10，弦AB的长为10.
(变式1)
(1) 求弦AB所对的圆心角α的大小；
【解答】由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，∠AOB＝，即α＝.
(2) 求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S.
【解答】因为α＝，所以l＝αr＝，S扇形AOB＝lr＝××10＝.又S△AOB＝×10×＝25，所以S＝S扇形AOB－S△AOB＝－25＝50.
变式2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
【解答】l＝10×＝(cm).
(2) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解答】由已知得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
随堂内化及时评价
1. 时针经过一小时，转过了( B )
A. rad B. － rad
C. rad D. － rad
【解析】时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为－2π rad，则时针经过一小时，转过了 rad＝－ rad.
2. 下列与角的终边一定相同的角是( C )
A.
B. k·360°＋(k∈Z)
C. 2kπ＋(k∈Z)
D. (2k＋1)π＋(k∈Z)
3. 若角α＝4，则角α的终边所在象限是( C )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】由角α＝4，得π＜α＜，则角α的终边在第三象限．
4. 若圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为( D )
A. 2 B. 2
C. D. 1
【解析】因为扇形的弧长为，圆心角为1弧度，所以圆的半径为r＝＝，所以扇形的面积为S＝lr＝××＝1.
5. (2025·张家界期末)(多选)下列说法正确的是( AD )
A. －π rad＝－180°
B. 第一象限角都是锐角
C. 若一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D. 终边在直线y＝－x上的角的集合是α＝kπ－，k∈Z}
【解析】对于A，－π rad＝－180°，故A正确；对于B，－300°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；对于C，设扇形半径为r，圆心角为θ，则面积为S1＝θr2，若半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积S2＝××2＝θr2，故C错误；对于D，终边在直线y＝
－x上的角的集合是α＝kπ－，k∈Z}，故D正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( A )
A. B.
C. D.
2. 已知一个扇形的弧长为50 mm，半径为100 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的角度数为( A )
A. ° B. 90°
C. ° D. °
【解析】设该弧所对的圆心角的弧度数为α，则50＝100α，解得α＝，化为角度数为°.
3. 把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( A )
A. － B. －2π
C. π D. －π
4. 《九章算术》成书于公元1世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步. 问为田几何？”(一步＝1.5 m)意思是现有扇形田，弧长为45 m，直径为24 m，那么扇形田的面积为( B )
A. 135 m2 B. 270 m2
C. 540 m2 D. 1 080 m2
【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝×45×＝270(m2).
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的有( AC )
A. 1 rad＝°
B. 若α是锐角，则2α是第一或第二象限角
C. 若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
D. 角α是第三或第四象限角的充要条件是sin α<0
【解析】对于A，因为 rad＝1°，所以1 rad＝°，故A正确；对于B，若α是锐角，则0<α<，所以0<2α<π，则2α是第一或第二象限角，或终边在y轴正半轴上，故B错误；对于C，若α是第二象限角，则2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋<sin α<0，则角α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，所以sin α<0不是角α是第三或第四象限角的充要条件，故D错误．
6. (2025·肇庆期末)在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是( BC )
A. 该扇形的弧长为
B. 该扇形的周长为＋4
C. 该扇形的面积为
D. 该圆形金属板的周长为＋4
【解析】该扇形的弧长l＝α·R＝，故A错误；该扇形的周长C＝l＋2R＝α·R＋2R＝＋4，故B正确；该扇形的面积S＝l·R＝α·R2＝，故C正确；该圆形金属板的周长C′＝2πR＝4π，故D错误．
三、 填空题
7. 若角θ的终边在如图所示的阴影部分表示的范围内，则角θ用弧度制可表示为____．
(第7题)
8. 杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成(如图)，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为1，径长(内环和外环所在圆的半径之差)为1，则该扇面的面积为__π__．
(第8题)
【解析】设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的，且内环所在圆的半径为1，所以α×1＝×2π×1，可得α＝.因为径长为1，所以外环圆弧所在圆的半径为1＋1＝2，因此该扇面的面积为××(22－12)＝π.
四、 解答题
9. 将下列各角化成2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所在的象限．
(1) ；
【解答】因为＝6π＋，所以与角的终边相同．又因为是第二象限角，所以是第二象限角．
(2) .
【解答】＝6π＋＝6π＋，所以与角的终边相同．又因为不属于任何象限，所以也不属于任何象限．
10. 如图，P，Q是以O为圆心，4为半径的圆周上的动点，现点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转 rad，点Q按顺时针方向每秒转 rad.
(第10题)
(1) 求点P，Q第一次相遇时所用的时间；
【解答】设点P与Q第一次相遇时所用的时间是 t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，故点P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s．
(2) 在(1)的条件下，求点P，Q各自走过的弧长．
【解答】点P走过的弧长为×4＝π，点Q走过的弧长为×4＝π.
11. 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于( A )
A. 2 B. 3
C. 1 D. 4
【解析】设扇形所在圆的半径为r，则该扇形弧长l＝40－2r，012. (多选)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图(1))产生了浓厚的兴趣，并临摹出该扇形瓷器盘的大致形状，如图(2)所示，在扇形OAB中，∠AOB＝，OB＝OA＝2，则( BC )
图(1) 图(2)
(第12题)
A. ∠AOB＝30°
B. 弧长AB＝
C. 扇形OAB的周长为＋4
D. 扇形OAB的面积为
【解析】∠AOB＝＝60°，故A错误；弧长AB＝αr＝×2＝，故B正确；扇形OAB的周长为＋4，故C正确；面积为S＝lr＝××2＝，故D错误．
13. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制(Dense Position System)，密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即2π＝360°＝6 000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0-03，123密位写成1-23，设圆的半径为1，那么5-20密位的圆心角所对的弧长为( A )
A. B.
C. D.
【解析】因为1密位等于圆周角的，所以5-20密位的圆心角为×2π＝.又圆的半径为1，所以弧长l＝×1＝.
14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是________平方米( D )
(第14题)
A. －4 B. －2
C. 4＋2 D. 2＋4
【解析】设半径为r，则＝r，解得r＝4，所以弦长为2r sin ＝2×4×＝4，矢为r－r cos ＝4－4×＝2，所以弧田面积为S＝×(2×4＋22)＝4＋2.(共48张PPT)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
第2课时 弧度制
学习 目标 1. 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2. 理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式．
新知初探 基础落实
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
一、 生成概念
问题1：在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制．
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.
问题2：如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ＝r1.在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．
请同学阅读课本P172—P175，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 弧度制
(1) 1弧度的角：我们规定：___________________________________叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2) 弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：用符号rad表示，读作弧度．
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
2. 弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么________．
3. 角度制与弧度制的换算：
π
180°
4. 一般地，正角的弧度数是___________，负角的弧度数是___________，零角的弧度数是____．
注意：(1) 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(2) 任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
一个正数
一个负数
0
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 半圆所对的圆心角是π rad. ( )
(2) 周角的大小等于π. ( )
(3) 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径． ( )
(4) 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度． ( )
√
×
√
×
典例精讲 能力初成
探究
1
弧度制的概念
1
D
变式
B
探究
(课本P173例4)按照下列要求，把67°30′化成弧度．
(1) 精确值；
2
角度与弧度的互化
2
(2) 精确到0.001的近似值．
【解答】利用计算器有
因此，67°30′≈1.178 rad.
变式
ACD
A
探究
3
用弧度制表示角的集合
3
(2) 已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．
探究
(课本P174例6)利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
4
扇形的弧长公式及面积公式
4
其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则：
如图，已知圆O的半径r＝10，弦AB的长为10.
(1) 求弦AB所对的圆心角α的大小；
变式1
(2) 求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S.
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
变式2
(2) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
随堂内化 及时评价
B
C
3. 若角α＝4，则角α的终边所在象限是 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
D
AD
配套新练案
A
A
A
4. 《九章算术》成书于公元1世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步. 问为田几何？”(一步＝1.5 m)意思是现有扇形田，弧长为45 m，直径为24 m，那么扇形田的面积为 ( )
A. 135 m2 B. 270 m2
C. 540 m2 D. 1 080 m2
B
【答案】AC
【答案】BC
三、 填空题
7. 若角θ的终边在如图所示的阴影部分表示的范围内，则角θ用弧度制可表示为
___________________________．
【答案】π
四、 解答题
9. 将下列各角化成2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所在的象限．
9. 将下列各角化成2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所在的象限．
(1) 求点P，Q第一次相遇时所用的时间；
(2) 在(1)的条件下，求点P，Q各自走过的弧长．
11. 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于 ( )
A. 2 B. 3
C. 1 D. 4
A
【答案】BC
A
【答案】D
