22.1 比例线段 教案1
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22.1
比例线段
教案
【教学目标】
A（了解）1.
知道比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项和比例中项．
2.
通过与小学所学有关比例的知识的类比，学习比例线段的有关概念，进一步体会类比的方法．
3.
通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k”)的思想方法．
B（理解）
能熟记比例的基本性质；能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质．
C（掌握）
能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【教学重点】
比例的基本性质及其证明.
【教学难点】
等比性质的证明.
【教学过程】
复习引入：
小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：
。
（2）已知2：3＝4：x，则：x=
。
（3）比例的基本性质是什么？
讲授新课：
上节课学习了两条线段的比，本节课就来学习比例线段。
1．引入概念：
（1）比例线段及其相关概念
问题1：在矩形ABCD和A’B’C’D’中，AB=50，BC=25，A’B’=20，B’C’=10。求线段AB:BC和A’B’:B’C’的值，它们有什么关系？（学生计算并找出它们的关系）
由以上例题引出“比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
已知四条线段a、b、c、d,如果（或a:b=c:d），那么a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即（或a:b=b:c），那么线段b叫做线段a和c的比例中项。
（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
问题2：“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？（学生回答）
结论：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段之间的关系。
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a通常是不相等的。
比例线段也有顺序性，如叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。
第四比例项也有顺序性，如中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d叫做b、a、c的第四比例项”。
2．比例的性质：
比例的基本性质
问题3：前面我们已经回答了，如果（或a:b=c:d），那么ad=bc,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？（引导学生一起证明）
问题4：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成）
结论：ad=bc
a:b=c:d．
问题5：如果a:b=c:d中的两个比例内项相等，即当a:b=b:c时，又可以得到什么结论呢？（学生口答）
结论：由比例的基本性质可得：a:b=b:c
．
合比性质
问题6：刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式的两边都加上1，会得到什么结果呢？（引导学生思考并推出合比性质）
结论：如果，那么．
问题7：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”
合比性质：如果，那么．
（3）等比性质
问题8：购物中的比例
五角钱买两支铅笔，一元钱可以买四支铅笔，那么一元五角钱可以买多少铅笔？这里隐藏了比例的什么性质呢？
分析：买铅笔所用的钱与铅笔数量的比（＝25），其结果（25）就是铅笔的单价，一元五角钱是把两次买铅笔的钱数相加，六支铅笔是把两次买的铅笔数相加，其单价并没有变化（），可见＝．
问题9：试猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）
等比性质：如果（），那么＝．
问题10：等比性质中，为什么要这个条件？
3．例题：练习
从ad=bc，根据什么性质可以得到d:b=c:a？从ad=bc，还可以得到哪些比例？
解：从ad=bc，根据等式的性质（两边同时除以ab）可以得到（即d:b=c:a）,
从ad=bc，还可以得到下面7种比例：
∵ad=bc，两边同时除以ac得：（即d:c=b:a）；
两边同时除以bd得：（即a:b=c:d）；
两边同时除以cd得：（即a:c=b:d）；
另外，把上面的4个比例式中的左右两边对调，还可以得到4个比例式，即：
；；；．
（这8个比例式不需要学生记忆，只要能正确地写出需要的那一个就可以了。）
课堂练习：
1.若m是2、3、8的第四比例项，则m＝
；
2．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
3．课本P64练习3。
4．若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a=
；
b=
；
c=
。
本课小结：
1．概念
比例内项
比例中项
a:b=c:d
a:b=b:c
a、b、c的第四比例项
比例外项
a、b、b的第四比例项
2．比例的性质：
比例的基本性质：a:b=c:d
ad=bc；
a:b=b:c
．
合比性质：如果，那么．
等比性质：如果（），那么＝．
3．等比性质的证明中渗透了设参数的思想，这是数学中的一种重要思想。
布置作业：
课本习题23.1；
2.补充：已知a:b:c=4:3:2,且a＋3b－3c=14,求a、b、c的值。
比例线段
教案
【教学目标】
A（了解）1.
知道比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项和比例中项．
2.
通过与小学所学有关比例的知识的类比，学习比例线段的有关概念，进一步体会类比的方法．
3.
通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k”)的思想方法．
B（理解）
能熟记比例的基本性质；能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质．
C（掌握）
能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【教学重点】
比例的基本性质及其证明.
【教学难点】
等比性质的证明.
【教学过程】
复习引入：
小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：
。
（2）已知2：3＝4：x，则：x=
。
（3）比例的基本性质是什么？
讲授新课：
上节课学习了两条线段的比，本节课就来学习比例线段。
1．引入概念：
（1）比例线段及其相关概念
问题1：在矩形ABCD和A’B’C’D’中，AB=50，BC=25，A’B’=20，B’C’=10。求线段AB:BC和A’B’:B’C’的值，它们有什么关系？（学生计算并找出它们的关系）
由以上例题引出“比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
已知四条线段a、b、c、d,如果（或a:b=c:d），那么a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即（或a:b=b:c），那么线段b叫做线段a和c的比例中项。
（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
问题2：“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？（学生回答）
结论：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段之间的关系。
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a通常是不相等的。
比例线段也有顺序性，如叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。
第四比例项也有顺序性，如中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d叫做b、a、c的第四比例项”。
2．比例的性质：
比例的基本性质
问题3：前面我们已经回答了，如果（或a:b=c:d），那么ad=bc,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？（引导学生一起证明）
问题4：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成）
结论：ad=bc
a:b=c:d．
问题5：如果a:b=c:d中的两个比例内项相等，即当a:b=b:c时，又可以得到什么结论呢？（学生口答）
结论：由比例的基本性质可得：a:b=b:c
．
合比性质
问题6：刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式的两边都加上1，会得到什么结果呢？（引导学生思考并推出合比性质）
结论：如果，那么．
问题7：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”
合比性质：如果，那么．
（3）等比性质
问题8：购物中的比例
五角钱买两支铅笔，一元钱可以买四支铅笔，那么一元五角钱可以买多少铅笔？这里隐藏了比例的什么性质呢？
分析：买铅笔所用的钱与铅笔数量的比（＝25），其结果（25）就是铅笔的单价，一元五角钱是把两次买铅笔的钱数相加，六支铅笔是把两次买的铅笔数相加，其单价并没有变化（），可见＝．
问题9：试猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）
等比性质：如果（），那么＝．
问题10：等比性质中，为什么要这个条件？
3．例题：练习
从ad=bc，根据什么性质可以得到d:b=c:a？从ad=bc，还可以得到哪些比例？
解：从ad=bc，根据等式的性质（两边同时除以ab）可以得到（即d:b=c:a）,
从ad=bc，还可以得到下面7种比例：
∵ad=bc，两边同时除以ac得：（即d:c=b:a）；
两边同时除以bd得：（即a:b=c:d）；
两边同时除以cd得：（即a:c=b:d）；
另外，把上面的4个比例式中的左右两边对调，还可以得到4个比例式，即：
；；；．
（这8个比例式不需要学生记忆，只要能正确地写出需要的那一个就可以了。）
课堂练习：
1.若m是2、3、8的第四比例项，则m＝
；
2．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
3．课本P64练习3。
4．若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a=
；
b=
；
c=
。
本课小结：
1．概念
比例内项
比例中项
a:b=c:d
a:b=b:c
a、b、c的第四比例项
比例外项
a、b、b的第四比例项
2．比例的性质：
比例的基本性质：a:b=c:d
ad=bc；
a:b=b:c
．
合比性质：如果，那么．
等比性质：如果（），那么＝．
3．等比性质的证明中渗透了设参数的思想，这是数学中的一种重要思想。
布置作业：
课本习题23.1；
2.补充：已知a:b:c=4:3:2,且a＋3b－3c=14,求a、b、c的值。