5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式——公式二、三、四
学习 目标 1. 了解公式二、公式三和公式四的推导方法． 2. 能够准确记忆公式二、公式三和公式四，掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P188—P191，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 诱导公式二、三、四(记忆：函数名不变，符号看象限)
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于 对称 sin (π＋α)＝ ， cos (π＋α)＝ ， tan (π＋α)＝
公式三 角－α与角α的终边关于 轴对称 sin (－α)＝ ， cos (－α)＝ ， tan (－α)＝
公式四 角π－α与角α的终边关于 轴对称 sin (π－α)＝ ， cos (π－α)＝ ， tan (π－α)＝
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 诱导公式中角α是任意角．( )
(2) 点P(x，y)关于x轴对称的点是P′(－x，y).( )
(3) 诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )
(4) 诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变.( )
典例精讲能力初成
探究1 给角求值问题
例1 (课本P189例1)利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225°；(2) sin ；(3) sin ；(4) tan (－2 040°).
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1) “负化正”——用公式一或三来转化．
(2) “大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3) “小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4) “锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
变式 求下列各三角函数式的值：
(1) cos 210°；(2) sin ；(3) sin ；(4) cos (－1 920°).
探究2 给值(式)求值问题
例2 已知cos ＝，则cos 的值为 ．
解决条件求值问题的策略：
(1) 首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；
(2) 将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
变式 已知cos ＝，求下列表达式的值：
(1) cos ；(2) cos ；(3) sin2.
探究3 化简求值问题
例3 (课本P190例2)化简：.
三角函数式化简的常用方法：
(1) 利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2) 切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3) 注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
变式 化简下列各式：
(1) ；
(2) .
随堂内化及时评价
1. 已知sin θ＝2cos θ，则tan (π－θ)等于( )
A. B. －
C. 2 D. －2
2. sin 585°的值为( )
A. B. －
C. D. －
3. 已知sin (α－π)＝－，α∈，则cos α 等于( )
A. － B.
C. ± D. －
4.已知角θ的终边经过点P(tan 225°，2sin 225°)，则sin θ－cos θ等于( )
A. － B.
C. D.
5. (课本P191练习3)化简：
(1) sin (－α－180°)cos (－α)sin (－α＋180°)；
(2) cos3(－α)sin(2π＋α)tan3(－α－π).
配套新练案
一、 单项选择题
1. tan 210°＋sin 300°的值为( )
A. － B.
C. D. －
2. 若sin (π－α)＝，且≤α≤π，则tan (2π－α)等于( )
A. － B. －2
C. D. 2
3. 若θ∈(0，π)，cos ＝－，则sin 的值为( )
A. － B.
C. ± D.
4. 若tan (α－π)＝，则＝( )
A. － B. 1
C. － D. －或－
二、 多项选择题
5. 下列不等式错误的是( )
A. sin tan <0
B. cos sin >0
C. sin 613°cos (－451°)<0
D. tan 343°cos 174°<0
6. 若角α，β的终边关于y轴对称，则下列各式正确的是( )
A. sin α＝sin β
B. cos α＝cos β
C. tan α＝tan β
D. cos (2π－α)＝－cos β
三、 填空题
7. 在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则tan (π－α)＝ ．
8. 已知cos ＝，则cos ＋cos2的值为 ．
四、解答题
9. 计算：
(1) cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2) tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°).
10. 化简：
(1) ；
(2) .
11. 化简：＝ ．
12. (多选)已知函数f(x)＝cos ，则( )
A. f(－x)＝f(x)
B. f(－x)＝－f(x)
C. f(2kπ＋x)＝f(x)，k∈Z
D. f(2kπ－x)＝(－1)kf(x)，k∈Z
13. 已知sin α＋cos α＝－.
(1) 求sin αcos α的值；
(2) 若<α<π，且角β的终边经过点P(－3，)，求＋＋的值．5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式——公式二、三、四
学习 目标 1. 了解公式二、公式三和公式四的推导方法． 2. 能够准确记忆公式二、公式三和公式四，掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．
新知初探基础落实
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容．
一、 生成概念
问题1：在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1.
(1) 作P1关于原点的对称点 P2，以OP2为终边的角β与角α 有什么关系？角 β，α 的三角函数值之间有什么关系？
(2) 如果作P1关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么结论？
下面借助单位圆的对称性进行探究．
(1) 如图，以OP2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，即β＝2kπ＋(π＋α)(k∈Z).因此，只要探究π＋α与α的三角函数值之间的关系即可．
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).因为P2是点P1关于原点的对称点，所以x2＝－x1，y2＝－y1.
根据三角函数的定义，得
sin α＝y1，cos α＝x1，tan α＝；
sin (π＋α)＝y2，cos (π＋α)＝x2，tan (π＋α)＝.
从而得
公式二
sin (π＋α)＝－sin α
cos (π＋α)＝－cos α
tan (π＋α)＝tan α
(2) ①如图，作P1关于x轴的对称点P3，则以OP3为终边的角为－α，并且有
公式三
sin (－α)＝－sin α
cos (－α)＝cos α
tan (－α)＝－tan α
②如图，作P1关于y轴的对称点P4，则以OP4为终边的角为π－α，并且有
公式四
sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
tan (π－α)＝－tan α
请同学阅读课本P188—P191，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 诱导公式二、三、四(记忆：函数名不变，符号看象限)
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于__原点__对称 sin (π＋α)＝__－sin α__， cos (π＋α)＝__－cos α__， tan (π＋α)＝__tan α__
公式三 角－α与角α的终边关于__x__轴对称 sin (－α)＝__－sin α__， cos (－α)＝__cos α__， tan (－α)＝__－tan α__
公式四 角π－α与角α的终边关于__y__轴对称 sin (π－α)＝__sin α__， cos (π－α)＝__－cos α__， tan (π－α)＝__－tan α__
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 诱导公式中角α是任意角．( × )
(2) 点P(x，y)关于x轴对称的点是P′(－x，y).( × )
(3) 诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( × )
(4) 诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变.( √ )
典例精讲能力初成
探究1 给角求值问题
例1 (课本P189例1)利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225°；
【解答】cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－.
(2) sin ；
【解答】sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝.
(3) sin ；
【解答】sin ＝－sin ＝－sin ＝－＝.
(4) tan (－2 040°).
【解答】tan (－2 040°)＝－tan 2 040°＝－tan (6×360°－120°)＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1) “负化正”——用公式一或三来转化．
(2) “大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3) “小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4) “锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
变式 求下列各三角函数式的值：
(1) cos 210°；
【解答】cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2) sin ；
【解答】sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝.
(3) sin ；
【解答】sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝.
(4) cos (－1 920°).
【解答】cos (－1 920°)＝cos 1 920°＝cos (5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－.
探究2 给值(式)求值问题
例2 已知cos ＝，则cos 的值为__－__．
【解析】cos ＝cos ＝－cos ＝－.
解决条件求值问题的策略：
(1) 首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；
(2) 将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
变式 已知cos ＝，求下列表达式的值：
(1) cos ；
【解答】cos ＝cos ＝－cos ＝－.
(2) cos ；
【解答】cos ＝cos ＝cos ＝.
(3) sin2.
【解答】sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝.
探究3 化简求值问题
例3 (课本P190例2)化简：.
【解答】tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]＝－tan (180°＋α)＝－tan α，cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]＝cos (180°－α)＝－cos α，所以原式＝＝－cos α.
三角函数式化简的常用方法：
(1) 利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2) 切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3) 注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
变式 化简下列各式：
(1) ；
【解答】原式＝＝＝－＝
－tan α.
(2) .
【解答】原式＝＝＝＝＝－1.
随堂内化及时评价
1. 已知sin θ＝2cos θ，则tan (π－θ)等于( D )
A. B. －
C. 2 D. －2
【解析】因为sin θ＝2cos θ，所以tan θ＝2，所以tan (π－θ)＝－tan θ＝－2.
2. sin 585°的值为( B )
A. B. －
C. D. －
【解析】sin 585°＝sin (360°＋225°)＝sin (180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
3. 已知sin (α－π)＝－，α∈，则cos α 等于( A )
A. － B.
C. ± D. －
【解析】因为sin (α－π)＝－sin α＝－，所以sin α＝.因为α∈，所以cos α＝－＝－.
4.已知角θ的终边经过点P(tan 225°，2sin 225°)，则sin θ－cos θ等于( A )
A. － B.
C. D.
【解析】因为tan 225°＝tan 45°＝1，sin 225°＝－sin 45°＝－，所以P(1，－)，所以sin θ－cos θ＝－＝－.
5. (课本P191练习3)化简：
(1) sin (－α－180°)cos (－α)sin (－α＋180°)；
【解答】原式＝－sin (180°＋α)cos α·sin α＝sin 2α·cos α.
(2) cos3(－α)sin(2π＋α)tan3(－α－π).
【解答】原式＝cos3α·sinα·[－tan3(π＋α)]＝cos3α·sin α·(－tan3α)＝cos3α·sinα·＝－sin4α.
配套新练案
一、 单项选择题
1. tan 210°＋sin 300°的值为( A )
A. － B.
C. D. －
2. 若sin (π－α)＝，且≤α≤π，则tan (2π－α)等于( C )
A. － B. －2
C. D. 2
3. 若θ∈(0，π)，cos ＝－，则sin 的值为( B )
A. － B.
C. ± D.
【解析】因为θ∈(0，π)，所以－θ∈，因为cos ＝－，所以sin ＝，所以sin ＝sin ＝sin ＝.
4. 若tan (α－π)＝，则＝( C )
A. － B. 1
C. － D. －或－
【解析】由题意得，tan ＝tan α＝，则＝＝＝－.
二、 多项选择题
5. 下列不等式错误的是( ACD )
A. sin tan <0
B. cos sin >0
C. sin 613°cos (－451°)<0
D. tan 343°cos 174°<0
6. 若角α，β的终边关于y轴对称，则下列各式正确的是( AD )
A. sin α＝sin β
B. cos α＝cos β
C. tan α＝tan β
D. cos (2π－α)＝－cos β
【解析】角α，β关于y轴对称，则β＝π－α＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin (π－α＋2kπ)＝sin (π－α)＝sin α，cos (2π－α)＝cos α， －cos β＝－cos (π－α＋2kπ)＝cos α，所以cos (2π－α)＝－cos β，tan α＝－tan β.
三、 填空题
7. 在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则tan (π－α)＝____．
8. 已知cos ＝，则cos ＋cos2的值为____．
【解析】由题知cos＝cos ＝，所以cos ＋cos2＝cos＋cos2＝－cos＋sin2＝－cos＋1－cos2＝.
四、解答题
9. 计算：
(1) cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
【解答】原式＝＋＝＋＝＋＝0.
(2) tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°).
【解答】原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°＋tan (－10°)＋sin 66°－sin (180°－66°)＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 66°＝0.
10. 化简：
(1) ；
【解答】原式＝＝＝＝1.
(2) .
【解答】原式＝＝＝＝－1.
11. 化简：＝__－1__．
【解析】原式＝＝＝＝＝＝－1.
12. (多选)已知函数f(x)＝cos ，则( AD )
A. f(－x)＝f(x)
B. f(－x)＝－f(x)
C. f(2kπ＋x)＝f(x)，k∈Z
D. f(2kπ－x)＝(－1)kf(x)，k∈Z
【解析】对于A，x∈R，f(－x)＝cos ＝cos ＝f(x)，故A正确．对于B，f(0)＝
cos 0＝1，f(－0)＝cos 0＝1，故f(－0)≠－f(0)，故B错误．对于C，f(2π)＝cos π＝－1，f(0)＝cos 0＝1，故f(2π＋0)≠f(0)，故C错误．对于D，当k为奇数时，f(2kπ－x)＝cos ＝cos ＝－cos ；当k为偶数时，f(2kπ－x)＝cos ＝cos ，所以f(2kπ－x)＝(－1)kf(x)，k∈Z，故D正确．
13. 已知sin α＋cos α＝－.
(1) 求sin αcos α的值；
【解答】因为sin α＋cos α＝－①，两边平方，可得1＋2sin αcos α＝，所以sin α·
cos α＝－.
(2) 若<α<π，且角β的终边经过点P(－3，)，求＋＋的值．
【解答】若＜α＜π，则cos α＜0，sin α＞0，可得sin α－cos α＝＝＝②，故由①②可得cos α＝－，sin α＝.又角β的终边经过点P(－3，)，可得cos β＝＝－，所以＋＋＝－＋＝.(共45张PPT)
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式——公式二、三、四
学习 目标 1. 了解公式二、公式三和公式四的推导方法．
2. 能够准确记忆公式二、公式三和公式四，掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．
新知初探 基础落实
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容．
一、 生成概念
问题1：在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1.
(1) 作P1关于原点的对称点 P2，以OP2为终边的角β与角α 有什么关系？角 β，α 的三角函数值之间有什么关系？
(2) 如果作P1关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么结论？
下面借助单位圆的对称性进行探究．
(1) 如图，以OP2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，
即β＝2kπ＋(π＋α)(k∈Z).因此，只要探究π＋α与α的三角
函数值之间的关系即可．
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).因为P2是点P1关于原点的对称点，所以x2＝－x1，y2＝－y1.
根据三角函数的定义，得
从而得
公式二
sin (π＋α)＝－sin α
cos (π＋α)＝－cos α
tan (π＋α)＝tan α
(2) ①如图，作P1关于x轴的对称点P3，则以OP3为终边的角为－α，并且有
公式三
sin (－α)＝－sin α
cos (－α)＝cos α
tan (－α)＝－tan α
②如图，作P1关于y轴的对称点P4，则以OP4为终边的角为π－α，并且有
公式四
sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
tan (π－α)＝－tan α
请同学阅读课本P188—P191，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 诱导公式二、三、四(记忆：函数名不变，符号看象限)
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于_______对称 sin (π＋α)＝__________，
cos (π＋α)＝__________，
tan (π＋α)＝________
原点
－sin α
－cos α
tan α
终边关系 图示 公式
公式三 角－α与角α的终边关于____轴对称 sin (－α)＝__________，
cos (－α)＝________，
tan (－α)＝__________
公式四 角π－α与角α的终边关于____轴对称 sin (π－α)＝________，
cos (π－α)＝__________，
tan (π－α)＝__________
x
－sin α
cos α
－tan α
y
sin α
－cos α
－tan α
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 诱导公式中角α是任意角． ( )
(2) 点P(x，y)关于x轴对称的点是P′(－x，y). ( )
(3) 诱导公式中的符号是由角α的象限决定的． ( )
(4) 诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变. ( )
×
×
×
√
典例精讲 能力初成
探究
(课本P189例1)利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225°；
1
给角求值问题
1
(课本P189例1)利用公式求下列三角函数值：
(4) tan (－2 040°).
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1) “负化正”——用公式一或三来转化．
(2) “大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3) “小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4) “锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
变式
求下列各三角函数式的值：
(1) cos 210°；
求下列各三角函数式的值：
(4) cos (－1 920°).
探究
2
给值(式)求值问题
2
解决条件求值问题的策略：
(1) 首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；
(2) 将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
变式
探究
(课本P190例2)化简：
3
化简求值问题
3
三角函数式化简的常用方法：
(1) 利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2) 切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
变式
化简下列各式：
随堂内化 及时评价
【解析】因为sin θ＝2cos θ，所以tan θ＝2，所以tan (π－θ)＝－tan θ＝－2.
D
B
A
A
5. (课本P191练习3)化简：
(1) sin (－α－180°)cos (－α)sin (－α＋180°)；
【解答】原式＝－sin (180°＋α)cos α·sin α＝sin 2α·cos α.
(2) cos3(－α)sin(2π＋α)tan3(－α－π).
配套新练案
一、 单项选择题
1. tan 210°＋sin 300°的值为 ( )
A
C
B
C
ACD
6. 若角α，β的终边关于y轴对称，则下列各式正确的是 ( )
A. sin α＝sin β B. cos α＝cos β
C. tan α＝tan β D. cos (2π－α)＝－cos β
AD
【解析】角α，β关于y轴对称，则β＝π－α＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin (π－α＋2kπ)＝sin (π－α)＝sin α，cos (2π－α)＝cos α，－cos β＝－cos (π－α＋2kπ)＝cos α，所以cos (2π－α)＝－cos β，tan α＝－tan β.
四、解答题
9. 计算：
(2) tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°).
【解答】原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－
sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°＋tan (－10°)＋sin 66°－sin (180°－
66°)＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 66°＝0.
10. 化简：
－1
AD
(1) 求sin αcos α的值；
