21.4
第2课时 二次函数的应用
教学目标
1．会用待定系数法求二次函数解析式，能根据二次函数图象的特点设出相应的解析式．
2．能建立适当的直角坐标系，并能设出相应的解析式，利用二次函数的知识解决实际问题．
3．体会二次函数解决实际问题时，应如何建立适当的坐标系从而使解题简便．
教学重难点
建立适当的坐标系，利用二次函数简便地解决实际问题．
教学过程
导入新课
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识．
推进新课
一、合作探究
【问题】
有一座抛物线形拱桥，如图．当水面在l时，拱顶离水面2
m，水面宽4
m．求这座抛物线形拱桥的解析式．
思路分析：这是一座抛物线形拱桥，要求它的解析式，因为二次函数的图象是抛物线，所以只要在这座抛物线形拱桥上建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．
让学生分组合作，讨论、交流应如何建立坐标系．此题方法很多，要充分发挥学生的优势，各抒己见．通过这一道题达到解决一类题的目的．
方法一：以抛物线形拱桥的顶点为原点建立直角坐标系，可设二次函数的解析式为y＝ax2.然后把其中一点的坐标(2，－2)代入解析式，即可求出a＝－.
方法二：以水面所在的直线为x轴，抛物线形拱桥的顶点与水面的垂线为y轴建立直角坐标系，此时应设二次函数的解析式为y＝ax2＋2.然后把点(2,0)代入解析式，即可求出a＝－.
方法三：以水面与抛物线形拱桥左边的交点为原点建立直角坐标系，因为顶点坐标为(2,2)，所以可设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋2.然后把点(0,0)代入解析式，即可求出a＝－.
从以上方法可以看出，建立的坐标系不同，所求函数的解析式也不同，但都是正确的．在具体的实际问题情境中，建立适当的坐标系求得的解析式，对解决问题可能很简单．
二、巩固提高
【例题】
见课本例3.
由学生求出解析式后，试着进行解答．
【补例】
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
(3)若水流喷出的抛物线形状与(2)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？(精确到0.1米)
此题应先让学生建立适当的坐标系，再进行解答．
三、达标训练
1．在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米．
(1)建立直角坐标系，求点A、B、C的坐标．
(2)求过点A、B、C的抛物线的函数解析式．
(3)你能算出丁的身高吗？
(4)若现有一身高为1.625
m的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应从离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由．若身高为1.7
m呢？
2．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20
m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10
m.
(1)建立如图直角坐标系，求点B、D的坐标．
(2)求此抛物线的解析式．
(3)现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280
km(桥长忽略不计)．货车以40
km/h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25
m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行)．试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？
本课小结
1．根据实际问题的情境建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式是解决实际问题的关键．
2．会借用函数思想方法来解决实际问题，培养学生的“转化”思想，即实际问题中的某些值，实际上就是二次函数解析式中知道横坐标求纵坐标或知道纵坐标求横坐标．21.4
第3课时 二次函数的应用
教学目标
1．从现实情境和已有知识经验出发，通过描点、连线，理清是何种函数关系，从而求出解析式．
2．利用几何图形的性质列出函数解析式，根据所求解析式求出最值．
3．深刻体会转化以及方程思想、渗透数形结合思想．
教学重难点
根据实际问题找出函数模型及从几何图形中得出函数解析式．
教学过程
导入新课
复习回忆：
1．二次函数图象的特点及二次函数解析式的几种类型．
2．待定系数法求二次函数解析式的方法及最值求法．
推进新课
一、合作探究
1．从实际问题中提炼函数关系
行驶中的汽车，在制动后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”．为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
制动时车速/km·h－1
0
10
20
30
40
50
制动距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
【问题1】
请你以制动时车速的数据为横坐标(x值)，制动距离的数据为纵坐标(y值)，在直角坐标系中描出这些数据的点、连线，观察所画的函数的图象，你发现了什么？
让学生动手画图、探究，直观感知属于何种函数．
【问题2】
若把这个函数的图象看成是一条抛物线，你能求出此函数的解析式吗？
根据二次函数解析式的求法，让学生设出适当的解析式，进行求解．对于困难学生教师给予引导．
【问题3】
利用表中所给的数据，选择三对数据，求出它的函数关系式后，再用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．
因为所画图象只是其中的一部分，我们不能确认此图象一定是抛物线．所以我们需要验证留下的两对数据是否满足所求抛物线的解析式，若满足，说明我们把此图象当作抛物线是正确的；若不满足，说明此图象不是二次函数的图象．
【问题4】
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5
m，则交通事故发生时车速是多少？是否因超速(该公路最高时速为110
km/h)行驶导致了交通事故？
由所求二次函数的解析式，此题实际上是已知制动距离y＝46.5，求此时的车速x.显然，只需把y＝46.5代入解析式求出x即可，若车速x大于110
km/h，则为超速；否则不超速．
2．几何图形中的二次函数
一块三角形废料如图所示，∠C=90°，BC=8，∠A=30°.用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？
此题可设计以下小问题：
(1)若设AE=x，你能表示出DE、EF的长吗？
(2)要使剪出的长方形CDEF面积最大，可设长方形CDEF面积为y，试建立y与x的函数关系式．
(3)根据所建立的函数关系式，求出长方形CDEF面积最大时x的值．
(4)根据你所求得x的值，能确定点E应选在何处吗？
二、巩固提高
1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y(件)是销售价x(元)的一次函数．
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数解析式；
(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？
2．某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．
(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系；
(2)若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为z＝－(x－8)2＋12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．
(1)用含x的式子表示横向甬道的面积；
(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
本课小结
1．能发现、提炼日常生活中可以利用函数关系式来解决的实际问题，并能用语言表述问题及解决问题的过程．
2．能从几何图形中得出函数关系式，并能用函数关系式求几何问题中的最值问题．
3．学会建立数学模型的思想方法及用函数思想解决几何问题的思想方法．
与二次函数有关的探索性问题
探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、分析问题和解决问题的能力，因而倍受关注．现举例予以说明．
一、条件探索型
条件探索型题的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件．解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解题(即执果索因)．
【例1】
若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝__________.(只要求写出一个)
解析：本题答案不唯一，抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，可知一元二次方程x2－4x＋c＝0没有实数根，Δ＝16－4c＜0，即c＞4(c为整数)，所以c为大于4的所有整数，如5、6、7……等．
答案：6
二、结论探索型
结论探索型题是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目，解结论探索型题的方法是由因导果．
【例2】
请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是____________．
解析：本题答案不唯一，只要满足a＜0，且对称轴为x＝2即可，如y＝－(x－2)2－1等．
三、存在性探索型
存在性探索型题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索型题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．
【例3】
已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)，交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)，交y轴的正半轴于C点，且x1＜x2，|x1|＞|x2|，OA2＋OB2＝2OC＋1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．
分析：(1)用到的知识点有：二次函数与一元二次方程的关系，根与系数关系，代数式的恒等变形，不等式等知识点，抛物线与x轴交点的横坐标为方程－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)＝0的两个根，由根与系数的关系对已知等式进行变形求得m的两个值，由x1＜x2得到m的取值范围，进而确定m的值，得到函数解析式．
(2)分两种情况：当过点C的直线和抛物线相交时，此直线为y轴；当直线与抛物线相切时，设过C点的直线解析式为y＝kx＋b，两解析式联立得到的方程组只有一组实数解，说明判别式等于0，求得k值，得到直线解析式．
解：(1)由条件知AO＝|x1|＝－x1，OB＝|x2|＝x2，OC＝3(m＋1)，
∵OA2＋OB2＝2OC＋1，
x＋x＝6(m＋1)＋1，
(x1＋x2)2－2x1x2＝6(m＋1)＋1，
(m－2)2＋6(m＋1)＝6(m＋1)＋1，
得m1＝3，m2＝1.
∵x1＜x2，|x1|＞|x2|，
∴x1＋x2＝m－2＜0.
∴m＝1.
∴函数的解析式为y＝－x2－x＋6.
(2)存在与抛物线只有一个公共点C的直线．
则C点的坐标为(0,6)．
①当直线过C(0,6)且与x轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点，
∴直线x＝0.
②设过C点的直线为y＝kx＋b，与抛物线y＝－x2－x＋6只有一个公共点C，
当x＝0时，b＝6，
∴y＝kx＋6.
即
只有一个实数解．
∴x2＋(k＋1)x＝0.
∵Δ＝0，
∴(k＋1)2＝0.
∴k＝－1.
∴y＝－x＋6.
∴符合条件的直线的表达式为y＝－x＋6或x＝0. 21.4
二次函数的应用
教案（第1课时）
第1课时 二次函数的应用(1)
教学目标
1．能根据实际问题列出函数关系式，并能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．
2．能利用二次函数关系式求出实际问题中的最大(小)值，发展学生解决问题的能力．
教学重难点
让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中最大(小)值问题；如何分析现实问题中的数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的．
教学过程
导入新课
【导语一】
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.
解：(1)y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；
(2)y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6)．
【导语二】
以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？
解：函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6；函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.
推进新课
一、合作探究
【问题1】
某水产养殖户用长40
m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？它的最大面积是多少？
可设计以下小问题：
(1)列出所围成的水面面积与边长的函数关系式；
(2)此函数有最大值还是最小值？应如何求？
让学生思考、讨论后，写出解答过程，注意规范书写格式．
【问题2】
要用总长为20
m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围才能使围成的花圃的面积最大？
解：设矩形的宽AB为x
m，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，
所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x.
配方得y＝－2(x－5)2＋50.
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.
因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.
所以应围成宽5
m，长10
m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．
二、巩固提高
【例1】
一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件降价1元，每周要多卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品降价多少，才能使利润最多？
让学生先列出关系式，再求最值问题．
可设降价x元，则每件的利润为(10－x－8)元，每周卖的件数为(50＋5x)件．所以可列函数关系式为y＝(10－x－8)(50＋5x)．接下来的计算由学生独立完成，教师巡视、指导．
【例2】
见课本例2.
三、达标训练
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
4
0
－2
－2
0
…
求这个二次函数关系式．
2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1
200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
3．张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
本课小结
1．本节课所学的知识是如何利用二次函数最大(小)值来解决实际问题．
2．所用的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．
