第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习 目标 1. 会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P220—P223，完成下列填空．
1. 二倍角公式
三角函数 公式
正弦 sin 2α＝
余弦 cos 2α＝
正切 tan2α＝
2.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1) 升幂公式：
1＋cos 2α＝ ，1－cos2α＝ ，
1＋cosα＝ ，1－cosα＝ ．
(2)降幂公式：
cos2α＝ ，sin2α＝ ，sin αcos α＝ ．
典例精讲能力初成
探究1 二倍角公式及简单应用
例1 (课本P221例5)已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
变式 (1) 若sin α＝－，且α∈，则sin (π－2α)的值为( )
A. － B. －
C. D.
(2) 已知cos ＝，则cos (α－30°)的值为( )
A. B. －
C. D. －
(3) 已知角α的终边过点(1，－2)，则tan 2α的值为( )
A. － B.
C. D.
探究2 二倍角公式及综合应用
视角1 给角求值
例2-1 求下列各式的值：
(1)sin cos ；(2) cos215°－cos275°；
(3) 2cos2－1；(4) .
对于给角求值问题，一般有两类：
(1) 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2) 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
视角2 给值求值
例2-2 (课本P222例6)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan (2A＋2B)的值．
解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1) 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2) 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
变式 已知cos ＝，≤α<，求cos 的值．
视角3 给值求角
例2-3 已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α的值．
探究3 三角函数式的化简与证明
例3 化简下列各式：
(1) －；
(2) .
随堂内化及时评价
1. sin4－cos4的值为( )
A．－ B. －
C. D.
若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(－1，－)，则 sin 2α＝( )
A. － B. －
C. D.
3. (2025·新高考Ⅱ卷)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin ＝( )
A. B.
C. D.
4. 已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是 ．
5. (课本P223练习1)已知cos ＝－，8π<α<12π，求sin ，cos ，tan 的值．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知sin ＝，则cos ＝( )
A. － B. －
C. D.
2.已知角A，B，C分别是△ABC的三个内角，且cos ＝，则cos (B＋C)等于( )
A. － B. －
C. D.
3. (2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos α·sin β＝，则cos (2α＋2β)＝( )
A. B.
C. － D. －
4.已知tan ＝，tan ＝，则tan (α－2β)＝( )
A. － B. －
C. D.
二、 多项选择题
5. 下列各式中，值为的是( )
A. cos215°－sin215° B．2sin 15°cos 15°
C. 1－2sin215° D．2cos215°－1
6. 化简下列各式，与 tan α相等的是( )
A.
B. ·，α∈(0，π)
C.
D.
三、 填空题
7. 计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝ ．
8. 已知cos θ＝－，θ∈，则sin ＝ .
四、 解答题
9. 如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈，β＝，且点A的坐标为A(－1，m).
(第9题)
(1) 若tan 2α＝－，求实数m的值；
(2) 若tan ∠AOB＝－，求sin 2α的值．
10. (2025·石家庄期末)已知锐角α的终边与单位圆相交于点P.
(1) 求实数m及tan α的值；
(2) 求cos 的值；
(3) 若0<β<，且cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
11. (多选)下列各式中，值为的是( )
A. 2sin 15°cos 15° B. 2cos2－1
C． D.
12. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也可以表示为a＝2sin 18°.若a2＋b＝4，则等于( )
A． B.
C. D. －
13. 已知＝－，则sin ＝ ．
14. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若直角三角形中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若(a＋b)2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝ ，sin －cos ＝ ．
(第14题)第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习 目标 1. 会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
新知初探基础落实
思考：由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式？
一、 生成概念
1. 正弦的二倍角公式
sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α S(α＋β)
? 令β＝α
sin (α＋α)＝sin αcos α＋sin αcos α＝2sin αcos α
2. 余弦的二倍角公式
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin βsin α C(α＋β)
? 令β＝α
cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α
3．正切的二倍角公式
tan (α＋β)＝ T(α＋β)
? 令β＝α
tan (α＋α)＝＝
tan2α＝
α≠kπ＋且α≠＋，k∈Z.
请同学阅读课本P220—P223，完成下列填空．
二、概念表述
1. 二倍角公式
三角函数 公式
正弦 sin 2α＝__2sin αcos α__
余弦 cos 2α＝__cos2α－sin2α__
正切 tan2α＝____
2.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1) 升幂公式：
1＋cos 2α＝__2cos2α__，1－cos2α＝__2sin2α__，
1＋cosα＝__2cos2__，1－cosα＝__2sin2__．
(2)降幂公式：
cos2α＝____，
sin2α＝____，
sin αcos α＝__sin_2α__．
典例精讲能力初成
探究1 二倍角公式及简单应用
例1 (课本P221例5)已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
【解答】由<α<，得<2α<π.又sin 2α＝，所以cos 2α＝－＝－.于是
sin 4α＝sin [2×(2α)]＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－；cos 4α＝cos [2×(2α)]＝1－2sin22α＝1－2×＝；tan4α＝＝－×＝－.
变式 (1) 若sin α＝－，且α∈，则sin (π－2α)的值为( D )
A. － B. －
C. D.
【解析】因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝－＝－＝
－，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
(2) 已知cos ＝，则cos (α－30°)的值为( A )
A. B. －
C. D. －
【解析】因为cos ＝，所以cos (150°＋α)＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以cos(30°－α)＝cos [180°－(150°＋α)]＝－cos (150°＋α)＝－＝，即cos (α－30°)＝.
(3) 已知角α的终边过点(1，－2)，则tan 2α的值为( B )
A. － B.
C. D.
【解析】因为角α的终边过点(1，－2)，根据三角函数的定义，可得tan α＝＝－2，则tan 2α＝＝＝.
探究2 二倍角公式及综合应用
视角1 给角求值
例2-1 求下列各式的值：
(1)sin cos ；
【解答】sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝.
(2) cos215°－cos275°；
【解答】因为cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，所以cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.
(3) 2cos2－1；
【解答】2cos2－1＝cos＝－.
(4) .
【解答】＝＝tan60°＝.
对于给角求值问题，一般有两类：
(1) 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2) 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
视角2 给值求值
例2-2 (课本P222例6)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan (2A＋2B)的值．
【解答】方法一：在△ABC中，由cos A＝，0
方法二：在△ABC中，由cos A＝，0解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1) 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2) 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
变式 已知cos ＝，≤α<，求cos 的值．
【解答】因为≤α<，所以≤α＋<.因为cos >0，所以<α＋<，所以sin ＝－＝－＝－.所以cos2α＝sin ＝
2sin cos ＝2××＝－，sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝.所以cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－.
视角3 给值求角
例2-3 已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α的值．
【解答】因为sin 2α＝－cos ＝1－2cos2，sin＝－sin ＝
－cos ＝－cos ，所以sin 2α＝sin 可化为1－2cos2＝
－cos，解得cos ＝1或cos ＝－.因为α∈，所以α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.
探究3 三角函数式的化简与证明
例3 化简下列各式：
(1) －；
【解答】原式＝＝＝tan2θ.
(2) .
【解答】原式＝＝＝＝＝＝1.
随堂内化及时评价
1. sin4－cos4的值为( B )
A．－ B. －
C. D.
2. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(－1，－)，则 sin 2α＝( D )
A. － B. －
C. D.
【解析】由题意得sin α＝＝－，cos α＝＝－，因此sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
3. (2025·新高考Ⅱ卷)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin ＝( D )
A. B.
C. D.
【解析】由题知cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以<α<π，则sinα＝＝＝，则sin ＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
4. 已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是____．
【解析】设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.因为sin θ＝，所以cos θ＝＝，所以sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.
5. (课本P223练习1)已知cos ＝－，8π<α<12π，求sin ，cos ，tan 的值．
【解析】因为8π<α<12π，所以π<<.又cos ＝－，所以sin ＝－＝
－，tan ＝＝＝，所以sin ＝2sin cos ＝2××＝，cos ＝cos2－sin2＝2－2＝，tan＝＝＝×＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知sin ＝，则cos ＝( D )
A. － B. －
C. D.
【解析】cos ＝1－2sin2＝1－2×＝.
2.已知角A，B，C分别是△ABC的三个内角，且cos ＝，则cos (B＋C)等于( A )
A. － B. －
C. D.
3. (2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos α·sin β＝，则cos (2α＋2β)＝( B )
A. B.
C. － D. －
【解析】因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.
4.已知tan ＝，tan ＝，则tan (α－2β)＝( B )
A. － B. －
C. D.
【解析】由tan ＝，得tan ＝＝＝，而tan＝，故tan (α－2β)＝tan －＝＝＝－.
二、 多项选择题
5. 下列各式中，值为的是( ACD )
A. cos215°－sin215° B．2sin 15°cos 15°
C. 1－2sin215° D．2cos215°－1
【解析】cos215°－sin215°＝cos30°＝，故A正确；2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；1－2sin215°＝cos30°＝，故C正确；2cos215°－1＝cos30°＝，故D正确．
6. 化简下列各式，与 tan α相等的是( BC )
A.
B. ·，α∈(0，π)
C.
D.
【解析】＝＝＝|tanα|，A不合题意；因为α∈(0，π)，所以·＝·＝＝＝tan α，故B符合题意；＝＝tan α，故C符合题意；＝＝，故D不符合题意．
三、 填空题
7. 计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝____．
【解析】原式＝＝＝＝＝.
8. 已知cos θ＝－，θ∈，则sin ＝__－__.
【解析】因为cos θ＝－，θ∈，所以sin θ＝＝，所以sin2θ＝2sin θ·
cos θ＝－，cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝×＝－.
四、 解答题
9. 如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈，β＝，且点A的坐标为A(－1，m).
(第9题)
(1) 若tan 2α＝－，求实数m的值；
【解答】由题意可得tan 2α＝＝－，所以tanα＝－或tan α＝2.因为α∈，所以tan α＝－，即＝－，所以m＝.
(2) 若tan ∠AOB＝－，求sin 2α的值．
【解答】因为tan ∠AOB＝tan (α－β)＝tan ＝＝－，sin2＋cos2＝1，α－∈，所以sin＝，cos ＝－，所以sin ＝2sin cos ＝－，cos ＝2 cos2－1＝，所以sin2α＝
sin ＝sin cos ＋cos sin ＝.
10. (2025·石家庄期末)已知锐角α的终边与单位圆相交于点P.
(1) 求实数m及tan α的值；
【解答】由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m>0，m2＋＝1，则m＝，tan α＝.
(2) 求cos 的值；
【解答】因为锐角α的终边与单位圆相交于点P，所以sin α＝，cos α＝，可得cos 2α＝cos2α－sin2α＝，sin2α＝2sin α·cos α＝，所以cos ＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.
(3) 若0<β<，且cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
【解答】因为α为锐角，所以0<α<，又0<β<，所以0<α＋β<π，因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝，所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.
11. (多选)下列各式中，值为的是( AD )
A. 2sin 15°cos 15° B. 2cos2－1
C． D.
【解析】对于A，2sin15°cos 15°＝sin 30°＝，A正确；对于B，2cos 2－1＝cos ＝>，B错误；对于C，＝＝cos15°>，C错误；对于D，＝×＝×tan45°＝，D正确．
12. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也可以表示为a＝2sin 18°.若a2＋b＝4，则等于( D )
A． B.
C. D. －
【解析】由题意可得b＝4－a2＝4－4sin218°＝4cos218°，则＝＝＝－.
13. 已知＝－，则sin ＝____．
【解析】由＝＝＝－，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－.sin ＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝(sin 2α＋cos 2α)＝＝，当tanα＝2时，上式＝×＝；当tan α＝－时，上式＝×＝.综上，sin ＝.
14. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若直角三角形中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若(a＋b)2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝____，sin －cos ＝__－__．
(第14题)
【解析】在Rt△ABF中，由于a2＋b2＝100，(a＋b)2＝196，解得a＝8，b＝6，所以
sin α＝＝，cos α＝，故cos 2α＝cos2α－sin2α＝.由于0<α<，所以0<<，故sin<
cos ，所以sin －cos ＝－＝－.(共51张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习 目标 1. 会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
新知初探 基础落实
思考：由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式？
请同学阅读课本P220—P223，完成下列填空．
二、概念表述
1. 二倍角公式
三角函数 公式
正弦 sin 2α＝______________
余弦 cos 2α＝_______________
正切
tan2α＝_________
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1) 升幂公式：
1＋cos 2α＝_________，1－cos2α＝_________，
1＋cosα＝__________，1－cosα＝__________．
(2)降幂公式：
cos2α＝________，
sin2α＝_________，
sin αcos α＝___________．
2cos2α
2sin2α
典例精讲 能力初成
探究
1
二倍角公式及简单应用
1
变式
D
A
B
探究
视角1 给角求值
求下列各式的值：
2
二倍角公式及综合应用
2－1
(2) cos215°－cos275°；
求下列各式的值：
对于给角求值问题，一般有两类：
(1) 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2) 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
视角2 给值求值
2－2
解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1) 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2) 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
变式
视角3 给值求角
2－3
探究
化简下列各式：
3
三角函数式的化简与证明
3
随堂内化 及时评价
B
D
D
配套新练案
D
A
B
B
ACD
BC
(1) 求实数m及tan α的值；
AD
D
