5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
学习 目标 1. 通过“五点法”作图理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响． 2. 能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P232—P235，完成下列填空．
1. 探索φ对y＝sin (x＋φ)图象的影响
把y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移 个单位长度，就得到函数y＝sin (x＋φ)的图象．
2. 探索ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
把y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)，就得到函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
3. 探索A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
把y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标 (A>1)或 (0
典例精讲能力初成
探究1 “五点法”作函数图象
例1 (课本P237例1)画出函数y＝2sin 的简图．
用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
变式 用“五点法”作出函数y＝sin 的简图．
探究2 三角函数图象的平移变换
例2 要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin x的图象向________平移________个单位长度( )
A. 左 B. 右
C. 右 D. 左
变式 (1) (课本P239练习2(1)改)已知函数y＝3sin 的图象为C，为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把C上所有的点向______平移________个单位长度( )
A. 右 B. 左
C. 右 D. 左
(2) 要得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos 的图象向________平移________个单位长度( )
A. 左 B. 右
C. 左 D. 右
探究3 三角函数图象的伸缩变换
视角1 ω(ω>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
例3-1 (1) 将y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得 的图象．
(2) 将函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得图象的函数解析式为 ．
变式 (1) (课本P239练习2(2))已知函数y＝3sin 的图象为C，为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把C上所有的点( )
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
(课本P239练习2(3))已知函数y＝3sin 的图象为C，为了得到函数y＝
4sin 的图象，只要把C上所有的点( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
视角2 A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
例3-2 将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得到的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的函数解析式是( )
A. y＝2sin 2x B. y＝2sin
C. y＝sin D. y＝sin 2x
变式 (课本P240习题1(3))为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线上所有的点( )
A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
随堂内化及时评价
1. 函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是( )
A B
C D
2. 用五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，得到如下表格：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y 0 4 0 －4 0
则A，ω，φ的值分别为( )
A. 4，2，－ B. 4，，
C. 4，2， D. 4，，－
3. 若函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后与函数y＝cos 2ωx的图象重合，则ω的值可能为( )
A. －1 B. －2
C. － D. －
4. 将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝( )
A. sin B. sin
C. sin D. sin
5. 要得到函数y＝2sin 的图象，只需将函数y＝2cos 2x的图象向________平移________个单位长度( )
A. 左 B. 右
C. 左 D. 右
配套新练案
一、 单项选择题
1. 将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度所得图象的函数解析式为( )
A. y＝sin x B. y＝－sin x
C. y＝cos x D. y＝－cos x
2. 为了得到y＝3sin 的图象，只需把y＝3sin 图象上的所有点的 ( )
A. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
3. 要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos 的图象向________平移________个单位长度( )
A. 左， B. 右，
C. 左， D. 右，
4. 将函数f(x)＝sin 的图象向右平移ω(ω>0)个单位长度，得到的图象对应的函数为g(x)，若g(x)的图象关于点对称，则ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A. 4 B. 6
C. 10 D. 12
6. 已知函数f(x)的图象是由函数y＝2sin x cos x的图象向左平移个单位长度得到，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)在区间上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x＝对称
D. f(x)的图象关于点对称
三、 填空题
7. 将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为 ．
8. 将函数y＝sin (ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则ω的最小值为 ．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π.
(1) 求ω的值；
(2) 用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象．
10. 已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)满足条件：f(x＋π)＝f(x)，且f＝f.
(1) 求f(x)的解析式．
(2) 由函数y＝sin x的图象经过适当的变换可以得到f(x)的图象．现提供以下两种变换方案：
①y＝sin x→y＝sin (x＋φ)→y＝f(x)；②y＝sin x→y＝sin ωx→y＝f(x).请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
11. 函数y＝f(x)的图象由函数y＝2sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
12. 将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)＝1，则下列说法错误的是( )
A. g(x)为偶函数
B. 当ω＝5时，g(x)在[0，π]上有5个零点
C. f＝1
D. 若g(x)在上单调递减，则ω的最大值为6
13. 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2) 将y＝f(x)的图象上的各点________得到y＝g(x)的图象，当x∈时，方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
从①向左平移个单位长度，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度这两个条件中选择一个，补在题中的横线上，并解答．5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
学习 目标 1. 通过“五点法”作图理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响． 2. 能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
新知初探基础落实
一、 生成概念
1. 探索φ对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．如图，取A＝1，ω＝1，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动．如果动点M以Q0为起点(此时φ＝0)，经过x s后运动到点P，那么点P的纵坐标y就等于sin x．以(x，y)为坐标描点，可得正弦函数y＝sin x的图象．
探究：在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转到Q1，你发现图象有什么变化？如果使点Q0绕点O1旋转－，，－，或者旋转一个任意角φ呢？
当起点位于Q1时，φ＝，可得函数y＝sin 的图象．
进一步，在单位圆上，设两个动点分别以Q0，Q1为起点同时开始运动．如果以Q0为起点的动点到达圆周上点P的时间为x s，那么以Q1为起点的动点相继到达点P的时间是s.这个规律反映在图象上就是：如果F(x，y)是函数y＝sin x图象上的一点，那么G就是函数y＝sin 图象上的点，如上图所示．这说明，把正弦曲线y＝sin x上的所有点向左平移个单位长度，就得到y＝sin 的图象．
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin (x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移个单位长度，就得到函数y＝sin (x＋φ)的图象．
2. 探索ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
下面，仍然通过数学实验来探索．如图，取圆的半径A＝1.为了研究方便，不妨令φ＝.当ω＝1时，得y＝sin 的图象．
探究：取ω＝2，图象有什么变化？取ω＝呢？取ω＝3，ω＝，图象又有什么变化？当ω取任意正数呢？
取ω＝2时，得函数y＝sin 的图象．
进一步，在单位圆上，设以Q1为起点的动点，当ω＝1时到达点P的时间为x1 s，当ω＝2时到达点P的时间为x2 s．因为ω＝2时动点的转速是ω＝1时的2倍，所以x2＝x1.这样，设G(x，y)是函数y＝sin 图象上的一点，那么K就是函数y＝sin 图象上的相应点，如上图所示．这说明，把y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到y＝sin 的图象．y＝sin 的周期为π，是y＝
sin 的周期的.
同理，当ω＝时，动点的转速是ω＝1时的，以Q1为起点，到达点P的时间是ω＝1时的2倍．这样，把y＝sin 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin 的图象．y＝sin 的周期为4π，是y＝sin 的周期的2倍．
一般地，函数y＝sin (ωx＋φ)的周期是，把y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin (ωx＋φ)的图象．
3. 探索A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
下面通过数学实验探索A对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令ω＝2，φ＝，当A＝1时，如图，可得y＝sin 的图象．
探究：改变A的取值，使A取2，，3，等，你发现图象有什么变化？当A取任意正数呢？
当A＝2时，得到函数y＝2sin 的图象．
进一步，设射线O1Q1与以O1为圆心、2为半径的圆交于T1.如果单位圆上以Q1为起点的动点，以ω＝2的转速经过x s到达圆周上点P，那么点P的纵坐标是sin ；相应地，点T1在以O1为圆心、2为半径的圆上运动到点T，点T的纵坐标是2sin .
这样，设K(x，y)是函数y＝sin 图象上的一点，那么点N(x，2y)就是函数y＝
2sin 图象上的相应点，如上图所示．这说明，把y＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到y＝2sin 的图象．
同理，把y＝sin 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，就得到y＝sin 的图象．
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin (ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0请同学阅读课本P232—P235，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 探索φ对y＝sin (x＋φ)图象的影响
把y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移__|φ|__个单位长度，就得到函数y＝sin (x＋φ)的图象．
2. 探索ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
把y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标__缩短__(ω>1)或__伸长__(0<ω<1)到原来的____倍(纵坐标不变)，就得到函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
3. 探索A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
把y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标__伸长__(A>1)或__缩短__(0典例精讲能力初成
探究1 “五点法”作函数图象
例1 (课本P237例1)画出函数y＝2sin 的简图．
【解答】方法一：先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数y＝
sin 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin 的图象，如图(1)所示．
(例1图(1)答)
方法二：下面用“五点法”画函数y＝2sin 在一个周期内的图象．令X＝3x－，则x＝.列表，描点画图(如图(2)).
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
(例1图(2)答)
用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
变式 用“五点法”作出函数y＝sin 的简图．
【解答】函数y＝sin 的周期T＝＝6π，先用“五点法”作它在一个周期上的图象．列表如下：
x π 4π 7π
x－ 0 π 2π
sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示，
(变式答)
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝sin 的简图(图略).
探究2 三角函数图象的平移变换
例2 要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin x的图象向________平移________个单位长度( B )
A. 左 B. 右
C. 右 D. 左
【解析】将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin 的图象．
变式 (1) (课本P239练习2(1)改)已知函数y＝3sin 的图象为C，为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把C上所有的点向______平移________个单位长度( C )
A. 右 B. 左
C. 右 D. 左
【解析】把y＝3sin 的图象向右平移＋＝个单位长度，得到y＝
3sin ＝3sin 的图象．
(2) 要得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos 的图象向________平移________个单位长度( D )
A. 左 B. 右
C. 左 D. 右
【解析】由于函数y＝sin ＝cos ＝cos ，故只需将函数y＝
cos 的图象向右平移个单位长度，即可得函数y＝sin 的图象．
探究3 三角函数图象的伸缩变换
视角1 ω(ω>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
例3-1 (1) 将y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得__y＝
sin 4x__的图象．
(2) 将函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得图象的函数解析式为__y＝3sin x__．
变式 (1) (课本P239练习2(2))已知函数y＝3sin 的图象为C，为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把C上所有的点( B )
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【解析】函数y＝3sin 的图象为C，通过变换得到函数y＝3sin 的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的2π变为π，因此只需横坐标缩短到原来的，纵坐标不变即可．
(课本P239练习2(3))已知函数y＝3sin 的图象为C，为了得到函数y＝
4sin 的图象，只要把C上所有的点( C )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【解析】把y＝3sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)得到y＝4sin 的图象．
视角2 A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
例3-2 将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得到的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的函数解析式是( B )
A. y＝2sin 2x B. y＝2sin
C. y＝sin D. y＝sin 2x
【解析】将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y＝2sin x 的图象；再把所得到的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin 的图象．
变式 (课本P240习题1(3))为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线上所有的点( D )
A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【解析】将函数y＝cos x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到y＝cos x的图象．
随堂内化及时评价
1. 函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是( B )
A B
C D
【解析】当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝时，y＝2；当x＝2π时，y＝1.结合正弦函数的图象可知B正确．
2. 用五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，得到如下表格：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y 0 4 0 －4 0
则A，ω，φ的值分别为( A )
A. 4，2，－ B. 4，，
C. 4，2， D. 4，，－
【解析】由表中的最大值为4，最小值为－4，可得A＝4.由－＝T，得T＝π，所以ω＝＝2，则y＝4sin (2x＋φ).又其图象过，所以0＝4sin ，所以×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝－.
3. 若函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后与函数y＝cos 2ωx的图象重合，则ω的值可能为( C )
A. －1 B. －2
C. － D. －
【解析】函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为y＝sin ＝sin ，它与y＝cos 2ωx相同，则－π＝2kπ＋，k∈Z，ω＝－6k－，k∈Z，只有C满足．
4. 将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝( C )
A. sin B. sin
C. sin D. sin
【解析】将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，可得y＝
sin 2x的图象，再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin ＝
sin 的图象，所以所得图象的函数解析式为y＝sin .
5. 要得到函数y＝2sin 的图象，只需将函数y＝2cos 2x的图象向________平移________个单位长度( D )
A. 左 B. 右
C. 左 D. 右
【解析】因为y＝2sin ＝2cos ＝2cos ，所以只需将y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度所得图象的函数解析式为( D )
A. y＝sin x B. y＝－sin x
C. y＝cos x D. y＝－cos x
2. 为了得到y＝3sin 的图象，只需把y＝3sin 图象上的所有点的 ( D )
A. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
3. 要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos 的图象向________平移________个单位长度( D )
A. 左， B. 右，
C. 左， D. 右，
【解析】由于函数y＝sin ＝cos ＝cos ，故只需将函数y＝
cos 的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin 的图象．
4. 将函数f(x)＝sin 的图象向右平移ω(ω>0)个单位长度，得到的图象对应的函数为g(x)，若g(x)的图象关于点对称，则ω的最小值为( B )
A. B.
C. D.
【解析】由题意g(x)＝f(x－ω)＝sin ，且g＝0，所以sin ＝0，即－2ω＝kπ(k∈Z)，则ω＝－(k∈Z).又ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为.
二、 多项选择题
5. 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( BC )
A. 4 B. 6
C. 10 D. 12
【解析】由题意知f(x)＝sin ＝sin (ωx＋φ)，从而π＝2kπ，k∈Z，故ω＝4k，k∈Z，故ω的值不可能为6，10.
6. 已知函数f(x)的图象是由函数y＝2sin x cos x的图象向左平移个单位长度得到，则( AC )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)在区间上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x＝对称
D. f(x)的图象关于点对称
【解析】y＝2sin x cos x＝sin 2x，其图象向左平移个单位长度得到f(x)＝sin ＝sin 的图象．对于A，T＝＝π，A正确；对于B，当－≤x≤时，0≤2x＋≤π，函数y＝sin x在[0，π]上不单调，则f(x)在区间上不单调，B错误；对于C，f＝sin ＝－1，f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；对于D，f＝sin ＝，f(x)的图象不关于点对称，D错误．
三、 填空题
7. 将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为__y＝－cos 2x__．
8. 将函数y＝sin (ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则ω的最小值为__3__．
【解析】将函数y＝sin (ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，得y＝sin ＝sin ，y＝sin ＝sin 的图象．令ωx＋－＝＋k1π(k1∈Z)，得x＝－＋(k1∈Z).令ωx－－＝＋k2π(k2∈Z)，得x＝＋＋(k2∈Z).由－＋＝＋＋，得＝，所以ω＝3k，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝1时，ω取得最小值为3.
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π.
(1) 求ω的值；
【解答】ω＝＝＝2.
(2) 用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象．
【解答】由(1)可知f(x)＝sin .列表：
2x－ 0 π 2π
x
sin 0 1 0 －1 0
作图(如图所示).
(第9题答)
10. 已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)满足条件：f(x＋π)＝f(x)，且f＝f.
(1) 求f(x)的解析式．
【解答】由f(x＋π)＝f(x)知，函数f(x)的周期为π，所以T＝＝π，即ω＝2.由f＝f知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以sin ＝±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin .
(2) 由函数y＝sin x的图象经过适当的变换可以得到f(x)的图象．现提供以下两种变换方案：
①y＝sin x→y＝sin (x＋φ)→y＝f(x)；②y＝sin x→y＝sin ωx→y＝f(x).请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
【解答】方案①：将y＝sin x的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin 的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 的图象．
方案②：将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将所得图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象．
11. 函数y＝f(x)的图象由函数y＝2sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则φ的最小值为( D )
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，f(x)＝2sin ＝2sin ，因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin ＝0，从而＋＝kπ，k∈Z，故φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为φ>0，所以当k＝1时，φ取得最小值.
12. 将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)＝1，则下列说法错误的是( D )
A. g(x)为偶函数
B. 当ω＝5时，g(x)在[0，π]上有5个零点
C. f＝1
D. 若g(x)在上单调递减，则ω的最大值为6
【解析】g(x)＝sin ω＝sin ，又g(0)＝1，故sin ＝1，所以＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝1＋4k，k∈Z.对于A，g(x)＝sin ＝sin ＝cos ωx为偶函数，故A正确．对于B，当ω＝5时，g(x)＝cos 5x，在[0，π]上的零点有x＝，，，，，共5个，故B正确．对于C，f＝sin ＝sin ＝1，故C正确．对于D，g(x)＝cos ωx，x∈时，ωx∈，若g(x)在上单调递减，则≤π，即ω≤5，故ω的最大值为5，故D错误．
13. 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2.
(1)求f(x)的最小正周期；
【解答】因为f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2＝sin2x＋cos 2x＋3＝2sin ＋3，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2) 将y＝f(x)的图象上的各点________得到y＝g(x)的图象，当x∈时，方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
从①向左平移个单位长度，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度这两个条件中选择一个，补在题中的横线上，并解答．
【解答】由(1)知f(x)＝2sin ＋3，若选择①，将f(x)图象上各点向左平移个单位长度，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到g(x)＝2cos 4x＋3的图象．当x∈时，可得4x∈，cos 4x∈[－1，1]，g(x)∈[1，5]，由方程g(x)＝m有解，可得实数m的取值范围为[1，5].
若选择②，将f(x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin x＋3的图象．当x∈时，sin x∈，g(x)∈[2，3＋]，由方程g(x)＝m有解，可得实数m的取值范围为[2，3＋].(共61张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
学习 目标 1. 通过“五点法”作图理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．
2. 能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
新知初探 基础落实
一、 生成概念
1. 探索φ对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．如图，取A＝1，ω＝1，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动．如果动点M以Q0为起点(此时φ＝0)，经过x s后运动到点P，那么点P的纵坐标y就等于sin x．以(x，y)为坐标描点，可得正弦函数y＝sin x的图象．
请同学阅读课本P232—P235，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 探索φ对y＝sin (x＋φ)图象的影响
把y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移________个单位长度，就得到函数y＝sin (x＋φ)的图象．
|φ|
2. 探索ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
把y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标_______(ω>1)或_______(0<ω<1)到原来的
_____倍(纵坐标不变)，就得到函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
3. 探索A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
把y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标_______(A>1)或_______(0缩短
伸长
伸长
缩短
典例精讲 能力初成
探究
1
“五点法”作函数图象
1
用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
变式
描点、连线，如图所示，
探究
2
三角函数图象的平移变换
2
B
变式
C
D
探究
视角1 ω(ω>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
3
三角函数图象的伸缩变换
3－1
y＝sin 4x
变式
【答案】B
【答案】C
视角2 A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
3－2
B
变式
D
随堂内化 及时评价
1. 函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是 ( )
B
【答案】A
C
C
D
配套新练案
D
D
D
B
BC
【答案】AC
3
作图(如图所示).
(1) 求f(x)的解析式．
(2) 由函数y＝sin x的图象经过适当的变换可以得到f(x)的图象．现提供以下两种变换方案：
①y＝sin x→y＝sin (x＋φ)→y＝f(x)；②y＝sin x→y＝sin ωx→y＝f(x).请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
D
【答案】D
(1)求f(x)的最小正周期；