第五章检测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. sin (－600°)的值是( )
A. B. －
C. D. －
2. 如果角α的终边经过点P(－1，)，则cos α等于( )
A. － B.
C. － D.
3. 函数f(x)＝tan 的单调递增区间为 ( )
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
4. 为了得到函数y＝sin 的图象，可将函数y＝sin 2x的图象上的所有的点向________平移________个单位长度( )
A. 左 B. 右
C. 左 D. 右
5. 若一个扇形的半径变为原来的，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的( )
A. 3倍 B. 2倍
C. D.
6. 下列函数中，既以π为周期，又在区间上单调递减的函数是( )
A. y＝－cos 2x B. y＝|sin x|
C. y＝tan x D. y＝cos
7. 已知sin ＋cos α＝，则sin ＝( )
A. B.
C. － D. －
8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在区间[1，2]上f(x)是增函数．若a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A. f(a)>f(c)>f(b) B. f(b)>f(a)>f(c)
C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(b)>f(c)>f(a)
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 已知sin θ＝－，且cos θ>0，则( )
A. tan θ＜0 B. tan 2θ>
C. sin 2θ>cos 2θ D. sin 2θ>0
10. 下列化简结果正确的是( )
A. cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝
B. sin 15°sin 30°sin 75°＝
C. cos 15°－sin 15°＝
D. ＝
11. 将函数g(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，若f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称
B. f(x)在(0，2π)上有且只有5个极值点
C. f(x)在上单调递增
D. ω的取值范围是
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为 ．
13. 已知角α的终边上有一点P(1，2)，则的值为 ．
14. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单位：V)和时间t(单位：s)满足U＝311sin (ωt＋φ).在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为 ．(答案用分数表示)
(第14题)
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边恰好与单位圆O相交于点A.
(第15题)
(1) 求cos α，sin α的值；
(2) 求sin 2α，cos 2α的值．
16.(15分)已知函数f(x)＝2sin ，其中ω>0.
(1) 若f(x＋θ)是最小正周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；
(2) 若f(x)在上是增函数，求ω的最大值．
17. (15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示．
(第17题)
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 将函数y＝f(x)图象上的所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，然后将所得图象上所有点都向下平移1个单位长度(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)－m＝0在上有实数根，求实数m的取值范围．
18. (17分)如图是函数f(x)＝m sin (ωx＋φ)的部分图象，点D是这部分图象的最高点且其横坐标为，点F(0，1)是线段DM的中点．
(第18题)
(1) 若A是锐角三角形ABC的一个内角，且f＝，求cos A的值；
(2) 当x∈时，函数y＝f2(x)－af(x)＋1的最小值为，求实数a的值．
19. (17分)某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB＝50 m，BC＝25 m．为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF＝.
(第19题)
(1) 设∠BOE＝α，试将△OEF的周长l表示为α的函数，并求出此函数的定义域；
(2) 在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？请说明理由，并求出最低费用．第五章检测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. sin (－600°)的值是( C )
A. B. －
C. D. －
2. 如果角α的终边经过点P(－1，)，则cos α等于( A )
A. － B.
C. － D.
3. 函数f(x)＝tan 的单调递增区间为 ( C )
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
4. 为了得到函数y＝sin 的图象，可将函数y＝sin 2x的图象上的所有的点向________平移________个单位长度( D )
A. 左 B. 右
C. 左 D. 右
【解析】y＝sin ＝sin ，因此要把y＝sin 2x的图象上的点向右平移个单位长度．
5. 若一个扇形的半径变为原来的，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的( A )
A. 3倍 B. 2倍
C. D.
【解析】设α1＝，则α2＝＝3＝3α1，故选A.
6. 下列函数中，既以π为周期，又在区间上单调递减的函数是( C )
A. y＝－cos 2x B. y＝|sin x|
C. y＝tan x D. y＝cos
【解析】A中函数在上单调递增，不合题意；B中函数在上单调递增，不合题意；C中函数满足题意；D中函数的最小正周期为4π，不合题意．综上所述，选项C满足题意．
7. 已知sin ＋cos α＝，则sin ＝( D )
A. B.
C. － D. －
【解析】因为sin ＋cos α＝，所以sin αcos －cos αsin ＋cos α＝，所以sin α－cos α＋cos α＝，所以sin α＋cos α＝，即cos ＝，所以
sin ＝sin ＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在区间[1，2]上f(x)是增函数．若a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( A )
A. f(a)>f(c)>f(b) B. f(b)>f(a)>f(c)
C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(b)>f(c)>f(a)
【解析】因为f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．又因为f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)在[0，1]上单调递减．因为a＝sin ，b＝sin ＝sin ＝sin ，c＝sin ＝sin ＝sin ，y＝sin x在上单调递增，所以0
f(c)>f(b).
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 已知sin θ＝－，且cos θ>0，则( AB )
A. tan θ＜0 B. tan 2θ>
C. sin 2θ>cos 2θ D. sin 2θ>0
【解析】因为sin θ＝－，且cos θ>0，所以cos θ＝＝，tan θ＝－，A正确；tan 2θ＝>，B正确；sin 2θ＝，cos 2θ＝，sin 2θcos θ＝－<0，D不正确．
10. 下列化简结果正确的是( ACD )
A. cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝
B. sin 15°sin 30°sin 75°＝
C. cos 15°－sin 15°＝
D. ＝
11. 将函数g(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，若f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是( CD )
A. f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称
B. f(x)在(0，2π)上有且只有5个极值点
C. f(x)在上单调递增
D. ω的取值范围是
【解析】由题知f(x)＝g＝sin ，由x∈[0，2π]，则t＝ωx＋∈，所以y＝sin t在上有5个零点，则5π≤2ωπ＋<6π，解得≤ω<，故D正确；由以上分析知，f(x)在(0，2π)上的极值点个数可能为5或6，故B错误；令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，则f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故A错误；当x∈时，t＝ωx＋∈，又ω＋∈，故y＝sin t单调递增，即f(x)在上单调递增，故C正确．
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为____．
13. 已知角α的终边上有一点P(1，2)，则的值为____．
【解析】因为角α的终边上有一点P(1，2)，所以tan α＝2，则＝＝＝＝.
14. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单位：V)和时间t(单位：s)满足U＝311sin (ωt＋φ).在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为___s__．(答案用分数表示)
(第14题)
【解析】由已知T＝0.02，ω＝＝100π，φ＝0，则U＝311sin (100πt).在区间[0，0.02]内，令311sin (100πt)＝，则100πt＝或100πt＝，可得t1＝，t2＝＝.同理令311sin (100πt)＝－，可得t3＝，t4＝.综上，电压的绝对值超过的时间为2×＝(s).
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边恰好与单位圆O相交于点A.
(第15题)
(1) 求cos α，sin α的值；
【解答】由单位圆中三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝.
(2) 求sin 2α，cos 2α的值．
【解答】由二倍角公式可得sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－.
16.(15分)已知函数f(x)＝2sin ，其中ω>0.
(1) 若f(x＋θ)是最小正周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；
【解答】由f(x)＝2sin ，其中ω>0，得f(x＋θ)＝2sin ＝
2sin .由f(x＋θ)的最小正周期为2π，可得2π＝，且ω>0，得ω＝，所以f(x＋θ)＝2sin .因为f(x＋θ)为偶函数，定义域是R，关于y轴对称，所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，所以θ＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝，θ＝kπ＋，k∈Z.
(2) 若f(x)在上是增函数，求ω的最大值．
【解答】因为ω>0，令2kπ－≤3ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，所以－≤x≤＋，k∈Z.若f(x)在上是增函数，则为函数f(x)的增区间的子区间，所以≥，得ω≤，所以ω的最大值为.
17. (15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示．
(第17题)
(1) 求函数f(x)的解析式；
【解答】由题图得A＝＝，B＝＝1.又＝－＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)＋1.又f(x)的图象过点，所以＝sin ＋1，所以sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，故φ＝，所以f(x)＝sin 2x＋＋1.
(2) 将函数y＝f(x)图象上的所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，然后将所得图象上所有点都向下平移1个单位长度(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)－m＝0在上有实数根，求实数m的取值范围．
【解答】将函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝
sin ＋1＝sin ＋1的图象，再将y＝sin ＋1的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin ＋1的图象，最后将y＝
sin ＋1图象上的所有的点都向下平移1个单位长度(横坐标不变)，得到y＝
sin ，即g(x)＝sin 的图象．因为x∈，所以4x－∈，所以sin ∈，则g(x)∈.因为方程g(x)－m＝0在上有实数根，即y＝g(x)与y＝m在上有交点，所以m∈
18. (17分)如图是函数f(x)＝m sin (ωx＋φ)的部分图象，点D是这部分图象的最高点且其横坐标为，点F(0，1)是线段DM的中点．
(第18题)
(1) 若A是锐角三角形ABC的一个内角，且f＝，求cos A的值；
【解答】因为点F(0，1)是线段DM的中点，所以D的纵坐标为2，结合图象可得m＝2.设M(a，0)，由中点坐标公式可得＝0，解得a＝－，即M.由题图可知，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝1.由五点法作图可知＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝2sin .因为f＝，所以2sin ＝，即cos ＝.因为A是锐角，所以sin ＝＝，所以cos A＝cos ＝cos ＋sin ＝×＋×＝.
(2) 当x∈时，函数y＝f2(x)－af(x)＋1的最小值为，求实数a的值．
【解答】当x∈时，x＋∈，sin ∈，所以f(x)∈[1，2].设t＝f(x)，则t∈[1，2]，y＝t2－at＋1.当≤1，即a≤2时，y＝t2－at＋1的最小值为2－a，所以2－a＝，解得a＝，符合题意；当1<<2，即219. (17分)某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB＝50 m，BC＝25 m．为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF＝.
(第19题)
(1) 设∠BOE＝α，试将△OEF的周长l表示为α的函数，并求出此函数的定义域；
【解答】因为AB＝50，所以OA＝OB＝25.当点F在点D时，α最小，此时tan ∠FOA＝＝，所以∠FOA＝，所以α＝－＝.当点E在点C时，α最大，此时tan α＝＝，所以α＝.由上可知，α∈.因为＝cos ＝sin α，＝cos α，所以OF＝，OE＝.又因为∠EOF＝，且sin α>0，cos α>0，所以EF＝＝＝，所以l＝＋＋，定义域为.
(2) 在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？请说明理由，并求出最低费用．
【解答】根据题意可知，要使照明装置的费用最低，只需OE＋OF最小即可，由(1)可知，OE＋OF＝且α∈.设t＝sin α＋cos α，且(sin α＋cos α)2＝1＋
2sin αcos α，所以sin αcos α＝，所以OE＋OF＝＝＝.又因为t＝sin α＋cos α＝sin ，且∈，且sin ＝sin ＝sin ＝＝，所以t∈.令f(t)＝t－，因为y＝t，y＝－均在上单调递增，所以f(t)＝t－在上单调递增，所以f(t)∈，所以OE＋OF的最小值为＝50，此时t＝，所以α＋＝，α＝.综上所述，当BE＝AF＝25 m时，照明装置的费用最低，且最低费用为20 000元．