必修第一册模块迎考与质量检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合U＝{x∈N|0
A. A∩B＝{3}
B. A∪B＝{1，2，3，4，5，6}
C. UA＝{4，5，6，7，8}
D. UB＝{1，2，7}
2. 已知a，b∈R，那么“3a<3b”是“a>b”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 以下函数在区间上必有零点的是( )
A. y＝x B. y＝3x－
C. y＝ln D. y＝2x＋1
4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为( )
(第4题)
A. － B.
C. D.
5. 若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B. 2
C. 2 D. 4
6. 设函数f(x)＝cos (ω>0)，若f(x)≤f对 x∈R都成立，则ω的最小值为( )
A. B.
C. D. 1
7. 已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围为( )
A. (0，＋∞)
B.
C.
D. (－∞，－1)∪
8. 定义正割sec α＝，余割csc α＝.已知m为正实数，且m·csc2x＋tan2x≥15对任意的实数x均成立，则m的最小值为( )
A．1 B. 4
C. 8 D. 9
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx＋c>0的解集是(－∞，－6)
C. a＋b＋c>0
D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
10. 已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
(第10题)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f是f(x)的最小值
C. f(x)在区间上的值域为
D. 把函数y＝f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin 2x的图象
11. 若6b＝3，6a＝2，则( )
A. >1 B. ab<
C. a2＋b2< D. b－a>
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知p：－113. 若存在x∈[1，3]，使不等式x2－2ax＋a＋2≤0成立，则实数a的取值范围为 ．
14. 设函数f(x)＝则f(f(0))＝____；若方程f(x)＝b有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ．
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.
(1) 求cos 2α的值；
(2)求α－β的值．
16. (15分)设a，b为实数，已知定义在R上的函数f(x)＝a－为奇函数，且其图象经过点.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 用定义证明f(x)为R上的增函数，并求f(x)在(－1，2]上的值域．
17. (15分)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
18. (17分)为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第x(x∈N*)天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝p·qx＋r，其中q>0且q≠1.
(1) 根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
(2) 若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
19. (17分)若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－k·f(x)，k∈Z，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．
(1) 若函数f(x)＝tan x－2sin x，判断f(x)是否为(0，π)上的“二阶局部奇函数”，并说明理由；
(2) 若函数f(x)＝lg (m－x)是[－2，2]上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3) 若对于任意的实数t∈(－∞，2]，函数f(x)＝x2－2x＋t恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．必修第一册模块迎考与质量检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合U＝{x∈N|0A. A∩B＝{3}
B. A∪B＝{1，2，3，4，5，6}
C. UA＝{4，5，6，7，8}
D. UB＝{1，2，7}
2. 已知a，b∈R，那么“3a<3b”是“a>b”的( B )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 以下函数在区间上必有零点的是( C )
A. y＝x B. y＝3x－
C. y＝ln D. y＝2x＋1
【解析】对于A，y＝x＝，在区间上单调递增，且y>0恒成立，在区间上没有零点，不符合题意；对于B，y＝3x－＝，在区间上单调递增，且有y>0恒成立，在区间上没有零点，不符合题意；对于C，y＝ln ，当x＝时，y＝ln 1＝0，在区间上有零点，符合题意；对于D，y＝2x＋1，在区间上单调递增，且y>0恒成立，在区间上没有零点，不符合题意．
4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为( B )
(第4题)
A. － B.
C. D.
【解析】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了6×15°＝90°，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为.
5. 若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( C )
A. B. 2
C. 2 D. 4
【解析】方法一：由已知得＋＝＝，ab＝b＋2a≥2，当且仅当b＝2a＝2时等号成立，所以ab≥2.
方法二：＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当b＝2a＝2时等号成立．
6. 设函数f(x)＝cos (ω>0)，若f(x)≤f对 x∈R都成立，则ω的最小值为( C )
A. B.
C. D. 1
【解析】若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则f是其最大值，即ω－＝2kπ，k∈Z，ω＝＋8k，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为.
7. 已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围为( D )
A. (0，＋∞)
B.
C.
D. (－∞，－1)∪
【解析】由幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)在(0，＋∞)上单调递减，知m2－2m－3<0，解得－13－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或8. 定义正割sec α＝，余割csc α＝.已知m为正实数，且m·csc2x＋tan2x≥15对任意的实数x均成立，则m的最小值为( D )
A．1 B. 4
C. 8 D. 9
【解析】由m·csc2x＋tan2x＝＋≥15，可得m≥15sin2x－.因为x≠(k∈Z)，所以cos2x∈(0，1)，因为15sin2x－＝15(1－cos2x)－＝17－≤17－2＝9，当且仅当cos2x＝时等号成立，故m≥9.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分．
9. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( ABD )
A. a>0
B. 不等式bx＋c>0的解集是(－∞，－6)
C. a＋b＋c>0
D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
10. 已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( ABD )
(第10题)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f是f(x)的最小值
C. f(x)在区间上的值域为
D. 把函数y＝f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin 2x的图象
【解析】由题知T＝－＝，则T＝＝π，所以ω＝2.又函数f(x)＝3sin (2x＋φ)的图象过点，可得3sin ＝3，即sin ＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin .对于A，函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；对于B，f＝3sin ＝－3，故B正确；对于C，因为x∈，所以2x＋∈，所以sin ∈，可得f(x)＝
3sin ∈，故C错误；对于D，函数y＝f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，可得函数y＝3sin ＝3sin 2x的图象，故D正确．
11. 若6b＝3，6a＝2，则( ABD )
A. >1 B. ab<
C. a2＋b2< D. b－a>
【解析】由题知6b＝3，6a＝2，所以a＝log62，b＝log63，＝log23>1，故A正确；ab＝log62·log63<＝，故B正确；a＋b＝log62＋log63＝log66＝1，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－2×＝，故C错误；b－a＝log63－log62＝log6，＝log66，因为＝·＝·>6，(6)10＝6，所以b－a>，故D正确．
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知p：－1【解析】因为p是q的充分不必要条件，则{x|－13，解得m>1.因此，实数m的取值范围是(1，＋∞).
13. 若存在x∈[1，3]，使不等式x2－2ax＋a＋2≤0成立，则实数a的取值范围为__[2，＋∞)__．
【解析】由x2－2ax＋a＋2≤0，得x2＋2≤a(2x－1)，因为x∈[1，3]，所以2x－1∈[1，5]，令t＝2x－1∈[1，5]，得x＝，由x2＋2≤a(2x－1)，得a≥＝＝，构造函数g(t)＝≥＝2，即g(t)min＝2，当且仅当t＝3∈[1，5]时取等号，所以a≥g(t)min＝2.
14. 设函数f(x)＝则f(f(0))＝____；若方程f(x)＝b有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是__(－∞，0]∪__．
【解析】f(0)＝e0＝1，f(f(0))＝f(1)＝－1＋1＋＝.方程f(x)＝b有且仅有1个实数根，即直线y＝b与y＝f(x)的图象有1个交点．当x>0时，y＝－x2＋x＋＝－＋，ymax＝.作出函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知当直线y＝b与y＝f(x)的图象只有1个交点时，b≤0或(第14题答)
四、 解答题：本题共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.
(1) 求cos 2α的值；
【解答】cos 2α＝＝＝＝.
(2)求α－β的值．
【解答】因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，α－β∈.又cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝＝，tan (α＋β)＝＝＝－7.又tan 2α＝＝，所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝＝－1.因为α－β∈，所以α－β＝－.
16. (15分)设a，b为实数，已知定义在R上的函数f(x)＝a－为奇函数，且其图象经过点.
(1) 求f(x)的解析式；
【解答】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即a－＝0.因为函数f(x)的图象经过点，所以f(1)＝，即a－＝，联立解得故f(x)＝1－.当f(x)＝1－时，f(x)＋f(－x)＝1－＋1－＝2－－＝0，即f(x)为奇函数，故f(x)＝1－符合条件．
(2) 用定义证明f(x)为R上的增函数，并求f(x)在(－1，2]上的值域．
【解答】任取x1，x2∈R，且x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)17. (15分)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
【解答】依题意，f(x)＝1－cos －cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝2sin ＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2) 若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
【解答】当x∈时，2x－∈，则sin ∈，函数f(x)的值域为[2，3].又方程f(x)－m＝2 m＝f(x)－2，且f(x)－2∈[0，1].由方程f(x)－m＝2在x∈上有解，得m∈[0，1]，所以实数m的取值范围是[0，1].
18. (17分)为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第x(x∈N*)天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝p·qx＋r，其中q>0且q≠1.
(1) 根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
【解答】对于函数模型①：把x＝1，2，3及相应y值代入得解得所以y＝3x2－3x＋8.
对于函数模型②：把x＝1，2，3及相应y值代入得解得所以y＝3·2x＋2.
(2) 若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
【解答】对于模型①，当x＝4时，y＝44，当x＝5时，y＝68，故模型①不符合观测数据．对于模型②，当x＝4时，y＝50，当x＝5时，y＝98，符合观测数据，所以函数模型②更合适．要使3·2x＋2>500，则x≥8，即预计从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.
19. (17分)若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－k·f(x)，k∈Z，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．
(1) 若函数f(x)＝tan x－2sin x，判断f(x)是否为(0，π)上的“二阶局部奇函数”，并说明理由；
【解答】由题意得，f(－x)＝－2f(x)，即tan (－x)－2sin (－x)＝－2tan x＋4sin x，即tan x＝2sin x．因为x∈(0，π)，所以sin x≠0，所以cos x＝，所以 x＝，所以f(x)是(0，π)上的“二阶局部奇函数”．
(2) 若函数f(x)＝lg (m－x)是[－2，2]上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
【解答】由题意得f(－x)＋f(x)＝0 lg (m＋x)＋lg (m－x)＝lg (m2－x2)＝0，所以所以m∈(2，].
(3) 若对于任意的实数t∈(－∞，2]，函数f(x)＝x2－2x＋t恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．
【解答】由题意得f(－x)＋k·f(x)＝0在R上有解 (－x)2－2(－x)＋t＋k(x2－2x＋t)＝0有解，即(k＋1)x2＋(2－2k)x＋(k＋1)·t＝0有解．当k＝－1时，x＝0∈R，满足题意；当k≠
－1时，对于任意的实数t∈(－∞，2]，Δ＝(2－2k)2－4(k＋1)2t≥0 4(k＋1)2·2－(2－2k)2≤0 k2＋6k＋1≤0 k∈[－3－2，－3＋2].由k∈Z，故k∈{－5，－4，－3，－2，－1}．