3.3.1《垂径定理》教学设计 初中数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.3.1《垂径定理》教学设计 初中数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 24.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-21 11:34:42 | ||
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文档简介
《垂径定理》教学设计
一、教学目标
1.夯实基础：通过观察、操作、推理等活动，理解垂径定理的内容及其证明过程，掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”这一基本性质，能够运用该定理解决简单的几何问题。
2.提升能力：在探究垂径定理的过程中，发展学生的观察能力、猜想能力和逻辑推理能力；通过定理的应用，培养学生分析几何图形、建立数学模型、解决实际问题的能力。
3.渗透思想：在“由形到数，由数到形”的转换中，渗透数形结合思想；在定理的发现与证明中，体会从特殊到一般、从猜想到论证的数学思维方法。
4.积累经验：通过折纸、画图、小组合作等多种方式，积累数学活动经验，培养动手操作、合作交流、严谨求证的学习习惯。
二、教学重点与难点
教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。
教学难点：理解垂径定理的几何本质，并能在实际问题中灵活运用。
三、教学过程
（一）创设情境，设疑激趣
1、图片引入：
（投影展示赵州桥的图片）“同学们，这是被誉为‘天下第一桥’的赵州桥，它已经屹立了1400多年。请大家观察，它的桥拱是什么形状？没错，是圆弧形。”
“是的，古代的工匠们巧妙地利用了圆的优美性质。今天，我们就来探究隐藏在圆中的一个重要性质，它能帮助我们理解赵州桥的力学与美学秘密。”
2、问题驱动：
“如果我们把桥拱看作圆的一部分，桥面看作一条弦，那么桥拱的最高点（弧的中点）到桥面（弦）的垂直距离，我们称之为‘拱高’。”（在黑板上画出简图）
“现在，老师有一个问题：如果我们知道了桥面的跨度（弦长）和拱高，能否计算出这个桥拱所在圆的半径呢？”
“要解决这个问题，我们需要请出今天的主角——垂径定理。它就是我们破解这个难题的金钥匙。”
（二）动手操作，探究新知
第一环节：折纸实验——形成感性认识
1、活动：请同学们拿出圆形纸片。
第一步：在纸片上任意画一条弦AB。
第二步：将纸片对折，使弦AB的两个端点A和B完全重合。展开后，问：“这条折痕是什么？”（直径CD）
第三步：观察这条直径CD与弦AB有什么位置关系？用三角板验证一下。
2、提问：
（1）直径CD与弦AB是什么位置关系？（垂直）
（2）直径CD把弦AB分成了几段？它们有什么关系？（两段，相等，即AM=BM）
（3）除了弦被平分，大家还能发现什么等量关系吗？（引导观察弧，学生可能说出“两边的弧看起来也一样长”）
3、教师小结：通过折纸，我们初步发现：垂直于弦的直径，似乎平分这条弦，还平分了弦所对的两条弧。
第二环节：严谨画图——提出数学猜想
活动：请同学们在练习本上，用圆规和直尺规范地再现刚才的图形：画⊙O，作弦AB；作直径CD⊥AB，垂足为M；用刻度尺测量AM与BM的长度，验证是否相等。
猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（三）推理论证，形成定理
“但是，折纸和测量难免有误差，我们能否用严格的几何推理来证明这个猜想永远成立呢？”
1、明确已知与求证：（教师板书）已知：CD是⊙O的直径，CD⊥AB于M。求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
2、分析思路：
“要证明AM=BM，它们分别在△OAM和△OBM中。我们有什么条件？”
引导学生连接OA、OB，则OA=OB（同圆半径相等）。
“在Rt△OAM和Rt△OBM中，我们有了OA=OB，OM=OM，还缺什么？”（缺一个角或一条边）
“由CD⊥AB，可得∠OMA=∠OMB=90°。所以根据什么判定定理？”（HL，直角三角形全等）
3、完成证明：（教师规范板书）
连接OA，OB。
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL)。
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC。
∴弧AC=弧BC。
同理，可证弧AD=弧BD。
4、揭示定理：“至此，我们的猜想经过了严格的证明，成为一个真命题，我们称之为垂径定理。”
（四）应用新知，学以致用
第一环节：基础应用（例题教学）
“现在我们用定理来解决一个实际问题——求弯路的半径。”
1、引导分析：
（1）抽象模型：“我们把弯道看作圆弧CD，圆心是O。OE⊥CD于F，这里的EF是什么？”（拱高）
（2）建立联系：“根据垂径定理，因为OE是直径吗？”（不是）“那OE是……”（引导学生发现OE是过圆心的直线，且垂直于弦CD，因此垂径定理依然适用，CF=DF=300m）。
（3）构建方程：“如何求半径R？OF与R、EF有什么关系？”（OF=R-90）
（4）勾股定理：在Rt△OCF中，OC =OF +CF ，即R =(R-90) +300 。
2、学生独立完成求解过程，教师巡视，指名板演，师生共同订正。
第二环节：合作探究（“赵州桥”问题）
“现在，我们有信心来解决赵州桥的问题了吗？请同学们自行分组，进行探讨。”
1、任务：求赵州桥桥拱的半径。
2、要求：
（1）画出几何图形，标出已知量（弦长37.4m，拱高7.2m）。
（2）设出未知量（半径R）。
（3）写出关键推理步骤（如：拱高=R-弦心距）。
（4）列出方程并求解。
3、教师巡视：重点关注学生是否能正确表示“弦心距”（即OM=R-7.2），并对有困难的小组进行点拨。
（五）分层练习，巩固提升
1、基础练习
第1题：已知在圆O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到弦AB的垂直距离（即弦心距）为3厘米。
（1）求圆O的半径。
（2）连接OA，若过弦AB的中点C作圆O的直径DE，连接AE。请问AE与AB有什么位置关系？并说明理由。
第2题：“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”意思是：有一圆形木材埋在墙中，锯开截面算大小。CD为圆O的直径，弦AB与CD垂直，垂足为E，CE的长度为1寸，弦AB的长度为10寸。求直径CD的长度。
第3题：已知：AB是圆O的一条弦（不是直径），点C是弦AB的中点。过点C作圆O的直径DE。
求证：直径DE垂直于弦AB。
2、拓展应用：
第1题：已知圆O中有两条平行的弦AB和CD，它们之间的距离为14。其中弦AB的长度为16，弦CD的长度为12。
（1）作圆O的直径MN，使MN垂直于弦AB，垂足为E，交弦CD于点F。判断点F是否是弦CD的中点？并说明理由。
（2）根据以上条件，求圆O的半径。
第2题：已知圆O的半径为5，其一条弦AB的长度为8。点P是直线AB上的一个动点。
（1）当点P在线段AB上时，求点P到圆心O的最短距离。
（2）若在圆O中，以点P为中点且长度为8的弦有两条，求此时点P到圆心O的距离。
（六）课堂总结，反思提升
引导学生从多角度总结：
“知识上，我们学到了什么？”（垂径定理的内容、证明与应用）
“方法上，我们有什么收获？”（探索几何性质可以‘动手操作→提出猜想→逻辑证明’；解决实际问题要‘抽象模型→建立方程’）
“思想上，你有什么感悟？”（数学是严谨的，猜想需要证明；数形结合非常有用）
五、板书设计
一、教学目标
1.夯实基础：通过观察、操作、推理等活动，理解垂径定理的内容及其证明过程，掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”这一基本性质，能够运用该定理解决简单的几何问题。
2.提升能力：在探究垂径定理的过程中，发展学生的观察能力、猜想能力和逻辑推理能力；通过定理的应用，培养学生分析几何图形、建立数学模型、解决实际问题的能力。
3.渗透思想：在“由形到数，由数到形”的转换中，渗透数形结合思想；在定理的发现与证明中，体会从特殊到一般、从猜想到论证的数学思维方法。
4.积累经验：通过折纸、画图、小组合作等多种方式，积累数学活动经验，培养动手操作、合作交流、严谨求证的学习习惯。
二、教学重点与难点
教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。
教学难点：理解垂径定理的几何本质，并能在实际问题中灵活运用。
三、教学过程
（一）创设情境，设疑激趣
1、图片引入：
（投影展示赵州桥的图片）“同学们，这是被誉为‘天下第一桥’的赵州桥，它已经屹立了1400多年。请大家观察，它的桥拱是什么形状？没错，是圆弧形。”
“是的，古代的工匠们巧妙地利用了圆的优美性质。今天，我们就来探究隐藏在圆中的一个重要性质，它能帮助我们理解赵州桥的力学与美学秘密。”
2、问题驱动：
“如果我们把桥拱看作圆的一部分，桥面看作一条弦，那么桥拱的最高点（弧的中点）到桥面（弦）的垂直距离，我们称之为‘拱高’。”（在黑板上画出简图）
“现在，老师有一个问题：如果我们知道了桥面的跨度（弦长）和拱高，能否计算出这个桥拱所在圆的半径呢？”
“要解决这个问题，我们需要请出今天的主角——垂径定理。它就是我们破解这个难题的金钥匙。”
（二）动手操作，探究新知
第一环节：折纸实验——形成感性认识
1、活动：请同学们拿出圆形纸片。
第一步：在纸片上任意画一条弦AB。
第二步：将纸片对折，使弦AB的两个端点A和B完全重合。展开后，问：“这条折痕是什么？”（直径CD）
第三步：观察这条直径CD与弦AB有什么位置关系？用三角板验证一下。
2、提问：
（1）直径CD与弦AB是什么位置关系？（垂直）
（2）直径CD把弦AB分成了几段？它们有什么关系？（两段，相等，即AM=BM）
（3）除了弦被平分，大家还能发现什么等量关系吗？（引导观察弧，学生可能说出“两边的弧看起来也一样长”）
3、教师小结：通过折纸，我们初步发现：垂直于弦的直径，似乎平分这条弦，还平分了弦所对的两条弧。
第二环节：严谨画图——提出数学猜想
活动：请同学们在练习本上，用圆规和直尺规范地再现刚才的图形：画⊙O，作弦AB；作直径CD⊥AB，垂足为M；用刻度尺测量AM与BM的长度，验证是否相等。
猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（三）推理论证，形成定理
“但是，折纸和测量难免有误差，我们能否用严格的几何推理来证明这个猜想永远成立呢？”
1、明确已知与求证：（教师板书）已知：CD是⊙O的直径，CD⊥AB于M。求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
2、分析思路：
“要证明AM=BM，它们分别在△OAM和△OBM中。我们有什么条件？”
引导学生连接OA、OB，则OA=OB（同圆半径相等）。
“在Rt△OAM和Rt△OBM中，我们有了OA=OB，OM=OM，还缺什么？”（缺一个角或一条边）
“由CD⊥AB，可得∠OMA=∠OMB=90°。所以根据什么判定定理？”（HL，直角三角形全等）
3、完成证明：（教师规范板书）
连接OA，OB。
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL)。
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC。
∴弧AC=弧BC。
同理，可证弧AD=弧BD。
4、揭示定理：“至此，我们的猜想经过了严格的证明，成为一个真命题，我们称之为垂径定理。”
（四）应用新知，学以致用
第一环节：基础应用（例题教学）
“现在我们用定理来解决一个实际问题——求弯路的半径。”
1、引导分析：
（1）抽象模型：“我们把弯道看作圆弧CD，圆心是O。OE⊥CD于F，这里的EF是什么？”（拱高）
（2）建立联系：“根据垂径定理，因为OE是直径吗？”（不是）“那OE是……”（引导学生发现OE是过圆心的直线，且垂直于弦CD，因此垂径定理依然适用，CF=DF=300m）。
（3）构建方程：“如何求半径R？OF与R、EF有什么关系？”（OF=R-90）
（4）勾股定理：在Rt△OCF中，OC =OF +CF ，即R =(R-90) +300 。
2、学生独立完成求解过程，教师巡视，指名板演，师生共同订正。
第二环节：合作探究（“赵州桥”问题）
“现在，我们有信心来解决赵州桥的问题了吗？请同学们自行分组，进行探讨。”
1、任务：求赵州桥桥拱的半径。
2、要求：
（1）画出几何图形，标出已知量（弦长37.4m，拱高7.2m）。
（2）设出未知量（半径R）。
（3）写出关键推理步骤（如：拱高=R-弦心距）。
（4）列出方程并求解。
3、教师巡视：重点关注学生是否能正确表示“弦心距”（即OM=R-7.2），并对有困难的小组进行点拨。
（五）分层练习，巩固提升
1、基础练习
第1题：已知在圆O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到弦AB的垂直距离（即弦心距）为3厘米。
（1）求圆O的半径。
（2）连接OA，若过弦AB的中点C作圆O的直径DE，连接AE。请问AE与AB有什么位置关系？并说明理由。
第2题：“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”意思是：有一圆形木材埋在墙中，锯开截面算大小。CD为圆O的直径，弦AB与CD垂直，垂足为E，CE的长度为1寸，弦AB的长度为10寸。求直径CD的长度。
第3题：已知：AB是圆O的一条弦（不是直径），点C是弦AB的中点。过点C作圆O的直径DE。
求证：直径DE垂直于弦AB。
2、拓展应用：
第1题：已知圆O中有两条平行的弦AB和CD，它们之间的距离为14。其中弦AB的长度为16，弦CD的长度为12。
（1）作圆O的直径MN，使MN垂直于弦AB，垂足为E，交弦CD于点F。判断点F是否是弦CD的中点？并说明理由。
（2）根据以上条件，求圆O的半径。
第2题：已知圆O的半径为5，其一条弦AB的长度为8。点P是直线AB上的一个动点。
（1）当点P在线段AB上时，求点P到圆心O的最短距离。
（2）若在圆O中，以点P为中点且长度为8的弦有两条，求此时点P到圆心O的距离。
（六）课堂总结，反思提升
引导学生从多角度总结：
“知识上，我们学到了什么？”（垂径定理的内容、证明与应用）
“方法上，我们有什么收获？”（探索几何性质可以‘动手操作→提出猜想→逻辑证明’；解决实际问题要‘抽象模型→建立方程’）
“思想上，你有什么感悟？”（数学是严谨的，猜想需要证明；数形结合非常有用）
五、板书设计