3.3.1 垂径定理 课件（19张PPT）初中数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.3.1 垂径定理 课件（19张PPT）初中数学北师大版九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-21 11:39:05 | ||
图片预览
文档简介
(共19张PPT)
垂径定理
北师大版八年级数学上册
情境导入
观察：桥拱是什么形状？
赵州桥
古代的工匠们巧妙地利用了圆的优美性质。
如果我们知道桥面的跨度（弦长）和拱高，能否计算出这个桥拱所在圆的半径？
夯实基础：通过观察、操作、推理等活动，理解垂径定理的内容及其证明过程，掌握“垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的两条弧”这一基本性质，能够运用该定理解决简单的几何问题。
提升能力：在探究垂径定理的过程中，发展学生的观察能力、猜想能力和逻辑推理能力；通过定理的应用，培养学生分析几何图形、建立数学模型、解决实际问题的能力。
学习目标
渗透思想：在“由形到数，由数到形”的转换中，渗透数形结合思想；在定理的发现与证明中，体会从特殊到一般、从猜想到论证的数学思维方法。
积累经验：通过折纸、画图、小组合作等多种方式，积累数学活动经验，培养动手操作、合作交流、严谨求证的学习习惯。
学习目标
动手操作
探究新知
折纸实验——形成感性认识：
拿出圆形纸片：
第一步：在纸片上任意画一条弦AB。
第二步：将纸片对折，使弦AB的两个端点A和B完全重合。展开后，这条折痕是什么？
第三步：观察这条直径CD与弦AB有什么位置关系？用三角板验证一下。
思考：
（1）直径CD与弦AB是什么位置关系？
（2）直径CD把弦AB分成了几段？它们有什么关系？
（3）除了弦被平分，大家还能发现什么等量关系吗？
动手操作
探究新知
折纸实验——形成感性认识：
通过折纸，初步发现：
垂直于弦的直径，似乎平分这条弦，还平分了弦所对的两条弧。
第二环节
严谨画图——提出数学猜想
活动：
请同学们在练习本上，用圆规和直尺规范地再现刚才的图形：画⊙O，作弦AB；作直径，垂足为；用刻度尺测量与的长度，验证是否相等。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理论证，形成定理
折纸和测量难免有误差，我们能否用严格的几何推理来证明这个猜想永远成立呢？
思考：
要证明，它们分别在中有什么条件？
推理论证，形成定理
连接OA、OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中，我们有了OA=OB，OM=OM，缺什么？
由CD⊥AB，可得∠OMA=∠OMB=90°
根据什么判定定理？
推理论证，形成定理
连接OA、OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL)。
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC。
∴弧AC=弧BC。
同理，可证弧AD=弧BD。
第一环节：基础应用
应用新知，学以致用
求弯路的半径
把弯道看作圆弧CD，圆心是O。OE⊥CD于F，EF是？
根据垂径定理，OE是直径吗？
如何求半径R？OF与R、EF有什么关系？
合作探究：
求赵州桥桥拱的半径。
应用新知，学以致用
河北省赵县境内,有一座建于隋代的石拱桥---赵州桥,其桥拱是圆弧形,拱高为7.2M,跨度为37.4M,求桥拱的半径（精确到0.1M）
（1）画出几何图形，标出已知量（弦长37.4m，拱高7.2m）。
（2）设出未知量（半径R）。
（3）写出关键推理步骤（如：拱高=R-弦心距）。
（4）列出方程并求解。
分层练习，巩固提升
基础练习
第1题：已知在圆O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到弦AB的垂直距离（即弦心距）为3厘米。
（1）求圆O的半径。
（2）连接OA，若过弦AB的中点C作圆O的直径DE，连接AE。请问AE与AB有什么位置关系？并说明理由。
第2题：“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”意思是：有一圆形木材埋在墙中，锯开截面算大小。CD为圆O的直径，弦AB与CD垂直，垂足为E，CE的长度为1寸，弦AB的长度为10寸。求直径CD的长度。
分层练习，巩固提升
基础练习
第3题：已知：AB是圆O的一条弦（不是直径），点C是弦AB的中点。过点C作圆O的直径DE。
求证：直径DE垂直于弦AB。
2、拓展应用：
第1题：已知圆O中有两条平行的弦AB和CD，它们之间的距离为14。其中弦AB的长度为16，弦CD的长度为12。
（1）作圆O的直径MN，使MN垂直于弦AB，垂足为E，交弦CD于点F。判断点F是否是弦CD的中点？并说明理由。
（2）根据以上条件，求圆O的半径。
分层练习，巩固提升
基础练习
第2题：已知圆O的半径为5，其一条弦AB的长度为8。点P是直线AB上的一个动点。
（1）当点P在线段AB上时，求点P到圆心O的最短距离。
（2）若在圆O中，以点P为中点且长度为8的弦有两条，求此时点P到圆心O的距离。
课堂总结，反思提升
1.知识上：学到了什么？
2.方法上：有什么收获？
3.思想上：有什么感悟？
巩固
1、实验与猜想
直径CD ⊥ 弦AB
↓
猜想：AM=BM 弧AC=弧BC2、平移形式：y=a(x-h)2+k
2.证明与定理
已知：CD是直径，CD⊥AB于M。
求证：AM=BM, 弧AC=弧BC, 弧AD=弧BD。
证明：（连接OA, OB... 详细板书证明过程）
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.思想与方法
数形结合 → 由形导数 ← 数形互助
转化思想：弧相等 ← 角相等
模型思想：实际问题 → 几何图形
给我一个支点，我就能撬起地球。
——阿基米德
感谢倾听！
垂径定理
北师大版八年级数学上册
情境导入
观察：桥拱是什么形状？
赵州桥
古代的工匠们巧妙地利用了圆的优美性质。
如果我们知道桥面的跨度（弦长）和拱高，能否计算出这个桥拱所在圆的半径？
夯实基础：通过观察、操作、推理等活动，理解垂径定理的内容及其证明过程，掌握“垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的两条弧”这一基本性质，能够运用该定理解决简单的几何问题。
提升能力：在探究垂径定理的过程中，发展学生的观察能力、猜想能力和逻辑推理能力；通过定理的应用，培养学生分析几何图形、建立数学模型、解决实际问题的能力。
学习目标
渗透思想：在“由形到数，由数到形”的转换中，渗透数形结合思想；在定理的发现与证明中，体会从特殊到一般、从猜想到论证的数学思维方法。
积累经验：通过折纸、画图、小组合作等多种方式，积累数学活动经验，培养动手操作、合作交流、严谨求证的学习习惯。
学习目标
动手操作
探究新知
折纸实验——形成感性认识：
拿出圆形纸片：
第一步：在纸片上任意画一条弦AB。
第二步：将纸片对折，使弦AB的两个端点A和B完全重合。展开后，这条折痕是什么？
第三步：观察这条直径CD与弦AB有什么位置关系？用三角板验证一下。
思考：
（1）直径CD与弦AB是什么位置关系？
（2）直径CD把弦AB分成了几段？它们有什么关系？
（3）除了弦被平分，大家还能发现什么等量关系吗？
动手操作
探究新知
折纸实验——形成感性认识：
通过折纸，初步发现：
垂直于弦的直径，似乎平分这条弦，还平分了弦所对的两条弧。
第二环节
严谨画图——提出数学猜想
活动：
请同学们在练习本上，用圆规和直尺规范地再现刚才的图形：画⊙O，作弦AB；作直径，垂足为；用刻度尺测量与的长度，验证是否相等。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理论证，形成定理
折纸和测量难免有误差，我们能否用严格的几何推理来证明这个猜想永远成立呢？
思考：
要证明，它们分别在中有什么条件？
推理论证，形成定理
连接OA、OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中，我们有了OA=OB，OM=OM，缺什么？
由CD⊥AB，可得∠OMA=∠OMB=90°
根据什么判定定理？
推理论证，形成定理
连接OA、OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL)。
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC。
∴弧AC=弧BC。
同理，可证弧AD=弧BD。
第一环节：基础应用
应用新知，学以致用
求弯路的半径
把弯道看作圆弧CD，圆心是O。OE⊥CD于F，EF是？
根据垂径定理，OE是直径吗？
如何求半径R？OF与R、EF有什么关系？
合作探究：
求赵州桥桥拱的半径。
应用新知，学以致用
河北省赵县境内,有一座建于隋代的石拱桥---赵州桥,其桥拱是圆弧形,拱高为7.2M,跨度为37.4M,求桥拱的半径（精确到0.1M）
（1）画出几何图形，标出已知量（弦长37.4m，拱高7.2m）。
（2）设出未知量（半径R）。
（3）写出关键推理步骤（如：拱高=R-弦心距）。
（4）列出方程并求解。
分层练习，巩固提升
基础练习
第1题：已知在圆O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到弦AB的垂直距离（即弦心距）为3厘米。
（1）求圆O的半径。
（2）连接OA，若过弦AB的中点C作圆O的直径DE，连接AE。请问AE与AB有什么位置关系？并说明理由。
第2题：“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”意思是：有一圆形木材埋在墙中，锯开截面算大小。CD为圆O的直径，弦AB与CD垂直，垂足为E，CE的长度为1寸，弦AB的长度为10寸。求直径CD的长度。
分层练习，巩固提升
基础练习
第3题：已知：AB是圆O的一条弦（不是直径），点C是弦AB的中点。过点C作圆O的直径DE。
求证：直径DE垂直于弦AB。
2、拓展应用：
第1题：已知圆O中有两条平行的弦AB和CD，它们之间的距离为14。其中弦AB的长度为16，弦CD的长度为12。
（1）作圆O的直径MN，使MN垂直于弦AB，垂足为E，交弦CD于点F。判断点F是否是弦CD的中点？并说明理由。
（2）根据以上条件，求圆O的半径。
分层练习，巩固提升
基础练习
第2题：已知圆O的半径为5，其一条弦AB的长度为8。点P是直线AB上的一个动点。
（1）当点P在线段AB上时，求点P到圆心O的最短距离。
（2）若在圆O中，以点P为中点且长度为8的弦有两条，求此时点P到圆心O的距离。
课堂总结，反思提升
1.知识上：学到了什么？
2.方法上：有什么收获？
3.思想上：有什么感悟？
巩固
1、实验与猜想
直径CD ⊥ 弦AB
↓
猜想：AM=BM 弧AC=弧BC2、平移形式：y=a(x-h)2+k
2.证明与定理
已知：CD是直径，CD⊥AB于M。
求证：AM=BM, 弧AC=弧BC, 弧AD=弧BD。
证明：（连接OA, OB... 详细板书证明过程）
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.思想与方法
数形结合 → 由形导数 ← 数形互助
转化思想：弧相等 ← 角相等
模型思想：实际问题 → 几何图形
给我一个支点，我就能撬起地球。
——阿基米德
感谢倾听！