2.2.1二次函数的图像与性质 课件（19张PPT）初中数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 2.2.1二次函数的图像与性质 课件（19张PPT）初中数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-21 14:27:14 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
二次函数的图像与性质
北师大版九年级数学下册
情境导入
你们发现这些图形有什么共同特征吗？
雅典奥林匹克体育中心的拱形结构
赵州桥的弧形桥洞
喷泉水珠划过的优美轨迹
夯实基础：通过完整的列表、描点、连线作图过程，准确画出二次函数y=ax2的图像，理解抛物线的基本特征，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标等核心概念，构建二次函数图像的知识体系。
提升能力：在观察、比较不同系数二次函数图像的过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力；通过分析a、h、k对图像形状和位置的影响规律，发展学生分析问题、解决问题的能力。
学习目标
渗透思想：让学生在“由数想形、由形定数”的探究过程中，深刻体会数形结合思想的价值，培养从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法，形成用函数观点认识世界的意识。
积累经验：通过小组合作、自主探究、软件验证等多种学习方式，积累数学活动经验，培养严谨求实的科学态度和合作交流的学习习惯，提升数学探究的综合素养。
学习目标
动手操作
探究y=ax2的图像
绘制y=x2 的图像：
1、精心列表选点：既要选x=0，也要选正数和负数，比如-3、-2、-1、0、1、2、3，这样可全面反映图像特征。请大家计算对应的y值，完成表格。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
2、准确描点定位：描点时要细心，坐标要准确。既要描第一象限的点，也要描第二象限的点。
3、观察连线成图：观察这些点的分布，你们发现了什么规律？
呈现出对称分布的特点！现在请用光滑的曲线把这些点连接起来。
第二环节
观察归纳图像特征
思考：
观察你画出的图像，它具有哪些特征？
请从形状、对称性、特殊点等角度进行描述。
总结：图像是一条开口向上的抛物线
关于y轴对称
顶点在原点(0,0)，是最低点
从顶点向左、右两侧，图像都上升
顶点是抛物线的重要特征点，对于y=x2，顶点就是原点
第三环节
探究a对图像的影响
在同一坐标系中画出和的图像，比较它们与的异同。
三者都是开口向上的抛物线 y=2x2的图像比y=x2“瘦” 的图像比y=x2“胖”
第三环节
探究a对图像的影响
如果a是负数呢？比如y=-x2会怎样？
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下
∣a∣越大，开口越窄；∣a∣越小，开口越宽
a就像抛物线的'体型调节器'，不仅决定开口方向，还控制着开口大小。
深化理解
探究平移类二次函数
探究y=ax2+k的图像：
三条抛物线形状完全相同 y=2x2+1的图像是由y=2x2向上平移1个单位得到
y=2x2-1的图像是由y=2x2向下平移1个单位得到
y=2x2+1和y=2x2-1，请大家先独立完成图像绘制。思考：它们与y=2x2有什么联系？
深化理解
探究平移类二次函数
y=2(x-1)2的图像是由y=2x2向右平移1个单位得到
y=2(x+1)2的图像是由y=2x2向左平移1个单位得到
如果是一般的y=ax2+k呢？k值的正负对图像位置有什么影响？
如果改变x的形式，比如y=2(x-1)2，它的图像又会发生什么变化？
探究y=a(x-h)2的图像：
深化理解
探究平移类二次函数
对于一般的y=a(x-h)2，h值的正负对图像位置有什么影响？
探究y=a(x-h)2的图像：
当 h>0 时，图像向右平移 h 个单位
当 h<0 时，图像向左平移 ∣h∣ 个单位
深化理解
探究平移类二次函数
对于 y=a(x-h)2+k，它的图像特征是怎样的？
归纳y=a(x-h)2+k的特征：
函数形式 开口方向 对称轴 顶点坐标 图像平移关系
y=a(x-h)2+k 向上（a>0） 直线x=h (h,k) 由y=ax2平移得到
分层练习，巩固提升
基础练习
（1）指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
① y=3(x 2)2+1
② y= 2(x+1)2 3
③ y=12x2+2
（2）判断下列说法是否正确，并说明理由：
①函数y= 3(x 1)2+2的图像开口向上
②函数y=2(x+2)2的对称轴是x=2
③函数y= (x 3)2+4的顶点坐标是(3,4)
（3）画出下列函数的图像草图（标出关键点）：
①y= 12(x 1)2+2
②y=(x+2)2 1
③y=2x2+3
分层练习，巩固提升
拓展应用
（1）喷泉问题：某喷泉的水流高度h（米）与时间t（秒）满足h= 5t2+20t。请问：
①喷泉最高能达到多少米？
②最高点出现在第几秒？
③请画出水流高度随时间变化的示意图。
（2）小球抛射问题：小明在操场上以初速度向上抛掷一个小球，小球离地高度h（米）与时间t（秒）的关系为h= 4t2+12t+1.5。请回答：
①小球出手时的高度是多少？
②小球能达到的最大高度是多少？
③经过多少秒后小球落回地面？
课堂总结，构建知识体系
1.二次函数的图像是抛物线，a控制开口，h、k控制位置。
2.通过顶点式快速分析函数图像特征。
3.数形结合让抽象的数学变得直观易懂。
课堂总结，构建知识体系
数学学习：要善于从具体例子中发现一般规律。
今天我们从几个具体的二次函数图像中抽象出了y=a(x-h)2+k的一般性质，这种从特殊到一般的思想方法对我们今后的学习很有帮助。
巩固
1、基本形式：y=ax2
抛物线，顶点在原点(0,0)
a>0：开口向上；a<0：开口向下；∣a∣越大，开口越小
2、平移形式：y=a(x-h)2+k
顶点：(h,k)
对称轴：x=h
平移规律：由y=ax2平移得到
3、参数作用：
a：开口方向与大小
h：左右平移（左加右减）
k：上下平移（上加下减）
4、数学思想：
数形结合
从特殊到一般
函数与图像对应
运动变换观点
一切皆有可能，只有二次函数有不可能。
——高斯
感谢倾听！
二次函数的图像与性质
北师大版九年级数学下册
情境导入
你们发现这些图形有什么共同特征吗？
雅典奥林匹克体育中心的拱形结构
赵州桥的弧形桥洞
喷泉水珠划过的优美轨迹
夯实基础：通过完整的列表、描点、连线作图过程，准确画出二次函数y=ax2的图像，理解抛物线的基本特征，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标等核心概念，构建二次函数图像的知识体系。
提升能力：在观察、比较不同系数二次函数图像的过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力；通过分析a、h、k对图像形状和位置的影响规律，发展学生分析问题、解决问题的能力。
学习目标
渗透思想：让学生在“由数想形、由形定数”的探究过程中，深刻体会数形结合思想的价值，培养从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法，形成用函数观点认识世界的意识。
积累经验：通过小组合作、自主探究、软件验证等多种学习方式，积累数学活动经验，培养严谨求实的科学态度和合作交流的学习习惯，提升数学探究的综合素养。
学习目标
动手操作
探究y=ax2的图像
绘制y=x2 的图像：
1、精心列表选点：既要选x=0，也要选正数和负数，比如-3、-2、-1、0、1、2、3，这样可全面反映图像特征。请大家计算对应的y值，完成表格。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
2、准确描点定位：描点时要细心，坐标要准确。既要描第一象限的点，也要描第二象限的点。
3、观察连线成图：观察这些点的分布，你们发现了什么规律？
呈现出对称分布的特点！现在请用光滑的曲线把这些点连接起来。
第二环节
观察归纳图像特征
思考：
观察你画出的图像，它具有哪些特征？
请从形状、对称性、特殊点等角度进行描述。
总结：图像是一条开口向上的抛物线
关于y轴对称
顶点在原点(0,0)，是最低点
从顶点向左、右两侧，图像都上升
顶点是抛物线的重要特征点，对于y=x2，顶点就是原点
第三环节
探究a对图像的影响
在同一坐标系中画出和的图像，比较它们与的异同。
三者都是开口向上的抛物线 y=2x2的图像比y=x2“瘦” 的图像比y=x2“胖”
第三环节
探究a对图像的影响
如果a是负数呢？比如y=-x2会怎样？
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下
∣a∣越大，开口越窄；∣a∣越小，开口越宽
a就像抛物线的'体型调节器'，不仅决定开口方向，还控制着开口大小。
深化理解
探究平移类二次函数
探究y=ax2+k的图像：
三条抛物线形状完全相同 y=2x2+1的图像是由y=2x2向上平移1个单位得到
y=2x2-1的图像是由y=2x2向下平移1个单位得到
y=2x2+1和y=2x2-1，请大家先独立完成图像绘制。思考：它们与y=2x2有什么联系？
深化理解
探究平移类二次函数
y=2(x-1)2的图像是由y=2x2向右平移1个单位得到
y=2(x+1)2的图像是由y=2x2向左平移1个单位得到
如果是一般的y=ax2+k呢？k值的正负对图像位置有什么影响？
如果改变x的形式，比如y=2(x-1)2，它的图像又会发生什么变化？
探究y=a(x-h)2的图像：
深化理解
探究平移类二次函数
对于一般的y=a(x-h)2，h值的正负对图像位置有什么影响？
探究y=a(x-h)2的图像：
当 h>0 时，图像向右平移 h 个单位
当 h<0 时，图像向左平移 ∣h∣ 个单位
深化理解
探究平移类二次函数
对于 y=a(x-h)2+k，它的图像特征是怎样的？
归纳y=a(x-h)2+k的特征：
函数形式 开口方向 对称轴 顶点坐标 图像平移关系
y=a(x-h)2+k 向上（a>0） 直线x=h (h,k) 由y=ax2平移得到
分层练习，巩固提升
基础练习
（1）指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
① y=3(x 2)2+1
② y= 2(x+1)2 3
③ y=12x2+2
（2）判断下列说法是否正确，并说明理由：
①函数y= 3(x 1)2+2的图像开口向上
②函数y=2(x+2)2的对称轴是x=2
③函数y= (x 3)2+4的顶点坐标是(3,4)
（3）画出下列函数的图像草图（标出关键点）：
①y= 12(x 1)2+2
②y=(x+2)2 1
③y=2x2+3
分层练习，巩固提升
拓展应用
（1）喷泉问题：某喷泉的水流高度h（米）与时间t（秒）满足h= 5t2+20t。请问：
①喷泉最高能达到多少米？
②最高点出现在第几秒？
③请画出水流高度随时间变化的示意图。
（2）小球抛射问题：小明在操场上以初速度向上抛掷一个小球，小球离地高度h（米）与时间t（秒）的关系为h= 4t2+12t+1.5。请回答：
①小球出手时的高度是多少？
②小球能达到的最大高度是多少？
③经过多少秒后小球落回地面？
课堂总结，构建知识体系
1.二次函数的图像是抛物线，a控制开口，h、k控制位置。
2.通过顶点式快速分析函数图像特征。
3.数形结合让抽象的数学变得直观易懂。
课堂总结，构建知识体系
数学学习：要善于从具体例子中发现一般规律。
今天我们从几个具体的二次函数图像中抽象出了y=a(x-h)2+k的一般性质，这种从特殊到一般的思想方法对我们今后的学习很有帮助。
巩固
1、基本形式：y=ax2
抛物线，顶点在原点(0,0)
a>0：开口向上；a<0：开口向下；∣a∣越大，开口越小
2、平移形式：y=a(x-h)2+k
顶点：(h,k)
对称轴：x=h
平移规律：由y=ax2平移得到
3、参数作用：
a：开口方向与大小
h：左右平移（左加右减）
k：上下平移（上加下减）
4、数学思想：
数形结合
从特殊到一般
函数与图像对应
运动变换观点
一切皆有可能，只有二次函数有不可能。
——高斯
感谢倾听！