北师大2025版数学八年级上册4.3 第1课时 正比例函数的图象及性质-课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第四章 一次函数
北师大版2024·八年级上册
4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象及性质
学 习 目 标
1
2
理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤．
掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点）
情景引入
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象（graph）。本章第1节的图4-1就是摩天轮上某一点离地面的高度h（单位：m）与旋转时间t（单位：min）之间函数关系的图象，借助图象可以直观地认识函数。
在前一节学习中，我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！
新知探究
操作思考
画正比例函数y=2x的图象。
（1）为了画出函数的图象，首先需要选取 些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。那么，列表时选取自变量x的哪些值呢？观察这个函数表达式，x可以取0吗？可以取正数吗？可以取负数吗？
任意实数
解：①列表；
x … -2 -1 0 1 2 …
y
0
2
4
-4
-2
···
···
新知探究
（2）以你所列表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？
画正比例函数y=2x的图象。
y=2x
②描点；
x … -2 -1 0 1 2 …
y
0
2
4
-4
-2
···
···
③连线.
新知探究
（3）其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上吗？
都在直线上. 因为每个点都代表 x 的值与 y 的值的一种对应.
由函数表达式到图象，你体会到了什么样的数学思想？
数形结合
思考
新知探究
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
根据这个步骤画出函数y=-3x的图象
新知探究
(1) 画出正比例函数 y＝﹣3x 的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y
0
-3
-6
6
3
···
···
(2) 在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式 y＝﹣3x.
满足
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y =﹣3x
新知探究
观察比较，两个函数的图象有什么相同点，有什么不同点？
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y＝﹣3x
y = 2x
① y =2x 经过一、三象限，
② y =﹣3x 经过二、四象限.
①函数图象都经过原点 (0，0)
②函数图象都是一条直线.
不同点
相同点
新知探究
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y＝﹣3x
y = 2x
一般地，正比例函数的图象y＝kx有何特点？
正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过_____________的______.
原点（0,0）
直线
正比例函数图象的特点
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
新知探究
知道了正比例函数图象的特点，画正比例函数的图象时，怎样画最简单 为什么
正比例函数y＝kx(k≠0) 的图象是一条经过原点 (0，0)的直线，只要再确定一个点 (1，k)即可确定函数图象，即过这点与原点的直线就是该函数图象.
两点作图法
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y＝﹣3x
y = 2x
典例分析
按“两点法”找(0，0)和(1，k)作图
方法技巧
例1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝5x和y＝x的图象.
解：列表：
x 0 1
y＝5x 0 5
y＝x 0 1
描点、连线，如图4-3-2.
新知探究
尝试思考
画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y=x，y=3x，y=- x和y =-4x的图象.
上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化
观察图象可以发现： 直线 y= x，y= 3x 向右逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而增大；
直线 y=- x，y=-4x 向右逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而减小.
上升
下降
新知探究
尝试思考
在正比例函数 y = kx 中：
当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
新知探究
思考交流
(1) 正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y = x
y = 3x
观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = 3x 的函数值都是 y = x 的三倍，并且随着 x 的增加，y = 3x 的函数值增长速度更快.
新知探究
思考交流
(2) 正比例函数 y = x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = -4x 的函数值都是 y = x的三倍，并且随着 x 的增加，y = -4x 的函数值增长速度更快.
新知探究
思考交流
当 _____ 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快.
|k|
典例分析
正比例函数中比较函数值大小的方法：
(1)求值比较法；(2)用“形”上的点的位置比较“数”的大小；(3)利用函数的增减性比较大小 .
方法技巧
例2.已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1____y2(填“>”“<”或“=”).
＞
解：方法一 把点A、B的坐标分别代入y＝3x，
当x＝－1 时，y1＝3×(－1)＝－3；
当x＝－2 时，y2＝3×(－2)＝－6.
因为－3>－6，所以y1>y2.
典例分析
根据正比例函数性质求值：
(1)用“形”上的点的位置比较“数”的大小；(2)利用函数的增减性比较大小 .
方法技巧
例3.已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，9），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，9）,
所以9=m·m，解得m=±3.
又y的值随着x值的增大而减小，
所以m<0，故m=－3.
课堂小结
正比例函数的图象和性质
图象
当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而_____；
当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而_____
经过原点的直线.
当 k＞0 时，经过第______象限；当 k＜0 时，经过第______象限
一、三
二、四
增大
减小
性质
变式训练
1.下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ）
D
C
B
A
B
变式训练
2. 已知正比例函数 y = (2m + 4)x.
（1）当 m 时，函数图象经过第一、三象限；
（2）当 m 时，y 随 x 的增大而减小；
（3）当 m 时，函数图象经过点（2，10）.
＞-2
＜ -2
= 0.5
变式训练
3.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/L．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程
x（km）之间的函数关系式.
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象.
（3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.
解析在下一页
变式训练
y/元
x/km
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
O
（1）y=5×15x/100，
即 .
（2）
x 0 4
y 0 3
列表
（3）当x=220时，
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
描点
连线
（元）.
解：
感谢聆听!