《角平分线的性质》习题
1、已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：(1)∠ABC＝∠ABC′；
(2)BC＝BC′(要求：不用三角形全等判定)．
?
2、如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
3、如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
4、如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．(1)学校距铁路的距离是多少？(2)请写出学校所在位置的坐标．
例5图
5、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
《角平分线的性质》习题
1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是( )
A.PC＞PD B.PC＝PD C.PC＜PD D.不能确定
3.在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则( )
A.BC＞AE B.BC＝AE C.BC＜AE D.以上都有可能
6.到三角形三边距离相等的点是( )
A.三条高的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.不能确定
4.如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？
5.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．
《角平分线的性质》教案
教学目标
1．掌握角平分线的画法．
2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
3．掌握、运用角的平分线的性质．
教学重难点
1．利用直尺和圆规作已知角的平分线．
2．角平分线的性质及其应用．
教学过程
一、提出问题，思考引入
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．(利用“边边边”定理证明)
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．(分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性)
讨论结果展示，作已知角的平分线的方法．
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
(2)分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
(3)作射线OC，射线OC即为所求．
二、思考、探索
我们发现PD＝PE，于是我们猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
我们做出了猜想，下一步我们来验证这个猜想是否正确．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB．
∴∠PDO＝∠PEO=90°．
在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE．
这样我们验证了我们的猜想，通过(1)明确已知和所求；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程．这样的步骤，我们证明了一个几何命题，得到了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
下面请同学们思考一个问题．
思考：如图所示，
要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？(学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导)
引导学生总结出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．利用这一结论解答上题．
三、例题
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
教师板书，解释说明证明过程．
四、随堂练习
课本第53页的练习第1、2题．
五、课堂小结
今天，我们学习了角平分线的画法和性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们要灵活运用性质，解决问题．
课件20张PPT。八年级 上册角平分线的性质本课说明 利用三角形全等来作已知角的平分线，角的平分线的
性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条
线段相等．
课件说明学习目标：
1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．
2．探索并证明角的平分线的性质．
3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点：
探索并证明角的平分线的性质． 问题 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的
平分线？
追问 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这
些方法是否可行呢？感悟实践经验，用尺规作角的平分线用量角器度量，也可用折纸的方法． 感悟实践经验，用尺规作角的平分线 追问 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？ ABDCE感悟实践经验，用尺规作角的平分线 追问 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？感悟实践经验，用尺规作角的平分线利用尺规作角的平分线的具体方法: ABOMNC感悟实践经验，用尺规作角的平分线 追问 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点
P 画出OA，OB 的垂线，分别记
垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？ 问题 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
么角的平分线有什么性质呢？ 经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 问题 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
么角的平分线有什么性质呢？ 在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角
的平分线的什么性质？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点
P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 追问 通过动手实验、观察比较，我们发现“角
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严
格的逻辑推理证明这个结论吗？ 追问 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 角的平分线的性质的作用是什么？ 经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方
法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等． 思考 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到
公路、铁路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，
请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何处（在图上
标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 思考角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．探索并证明角平分线的性质定理的逆定理 问题 交换角的平分线的性质中的已知和结论，
你能得到什么结论，这个新结论正确吗？探索并证明角平分线的性质定理的逆定理 追问 你能证明这个结论的正确性吗？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性
质可用来证明线段相等．探索并证明角平分线的性质定理的逆定理 追问 这个结论与角的平分线的性质在应用上有
什么不同？例题学习 例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联
系是什么？
（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？课堂小结教科书习题2.5第1、2、3题．布置作业课件2张PPT。如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米，应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺 1:20 000）？SO公路铁路解：设OD=xm 则由题得
解得x=0.025m，
即OD=2.5cm，
作夹角的角平分线OC，
截取 OD=2.5cm ，D即为所求.课件1张PPT。1、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，PA=2.Q是边OM上的一个动点，则线段PQ的最小值是多少？为什么？课件3张PPT。已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 证明：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，
∴ ∠QDO和∠QEO是直角． 在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO=QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD=∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，
∴OQ平分∠AOB．用数学语言表示为：
