2.5有理数的混合运算
【题型1】有理数四则混合运算 5
【题型2】有理数混合运算的实际应用 6
【题型3】含乘方的混合运算 8
【题型4】程序流程图与有理数计算 10
【题型5】算”24“点 13
【题型6】利用计算器进行计算 15
【题型7】求一个数的近似数 17
【题型8】确定近似数的精确度 18
【题型9】近似数所对应的真值的取值范围 20
【知识点1】有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 1.（2025 鼓楼区二模）下列计算结果比-3小的是（ ） A．-2+（-4）B．-2-（-4）C．-2×（-4）D．-2÷（-4）
【答案】A． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A．∵-2+（-4）=-6，|-6|=6，|-3|=3，6＞3，∴-2+（-4）＜-3，故符合题意；
B．∵-2-（-4）=2，∴-2-（-4）＞-3，故不符合题意；
C．∵-2×（-4）=8，∴-2×（-4）＞-3，故不符合题意；
D．∵-2÷（-4）=，∴-2÷（-4）＞-3，故不符合题意；
故选：A． 2.（2024秋 株洲期末）计算（-3）2可以表示为（ ） A．（-3）×2B．（-3）+2C．（-3）×（-3）D．（-3）+（-3）
【答案】C 【分析】根据幂的意义得（-3）2=（-3）×（-3），解答即可． 【解答】解：（-3）2=（-3）×（-3），
故选：C． 【知识点2】计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．
（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．
（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．
（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M-、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M-则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 1.（2023 德宏州模拟）某款国产手机上有科学计算器，依次按键，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ） A．1～2B．2～3C．3～4D．4～5
【答案】A 【分析】用计算器计算得1.73205080……即可得出答案． 【解答】解：使用计算器计算得，
2cos30°≈1.73205080，
故选：A． 2.（2021 莱州市模拟）在计算器上，小明将按键顺序的显示结果记为a,的显示结果记为b,则a与b的乘积为（ ） A．B．C．D．6
【答案】A 【分析】先将计算器操作求出a和b的值即可． 【解答】解：由题意得：a=，
b=，
∴ab=．
故选：A． 【知识点3】计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：______（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．______（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．
（3）按下（-）键可输入负数，即先输入（-）号再输入数值．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“=”即可．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“=”即可
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 1.（2024 烟台）用科学计算器求35的值，按键顺序是（ ） A．3，xy，5，=B．3，5，xy，=C．5，3，xy，=D．5，xy，3，=
【答案】A 【分析】本题要求同学们熟练应用计算器，熟悉使用科学计算器进行计算． 【解答】解：根据计算器的使用，求35的值，按键顺序是3，xy，5，=；可得答案是A．
故选：A． 2.（2024秋 大同期末）利用计算器，按照下列步骤按键，显示结果为（ ） A．-10B．-32C．-2.5D．-7
【答案】B 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 【解答】解：由图可得出，（-2）5=-32．
故选：B．
【题型1】有理数四则混合运算
【典型例题】小燕做了下列三道计算：①﹣×2=0×2=0；②6÷(﹣)=6÷﹣6÷=9﹣4=5；③﹣22﹣(﹣3)3=4﹣27=﹣23其中正确的有( )
A.0道 B.1道 C.2道 D.3道
【答案】A
【解析】都错．
①错在运算顺序不对；
②错在除法不能用分配律；
③错在两个乘方运算的符号判断错误．
故选A．
【举一反三1】现规定一种运算：a※b＝ab＋a－b，其中b为有理数，则2※(－3)( )
A.－1 B.－6 C.-7 D.11
【答案】A
【解析】∵a※b＝ab＋a－b，∴2※(－3)=2×(-3)+2-(-3)=-6+2+3=-1.
故选A.
【举一反三2】为了使的计算结果是－21，那么在○中填入的运算符号是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为， 所以，
所以，，即在○中填入的运算符号是÷．
故选D.
【举一反三3】将12减去它的，再减去余下的，再减去余下的，……直到减法余下的，最后剩下的数是 ．
【答案】1
【解析】 ，
故答案为：1.
【举一反三4】计算
(1)-5-(-3)+(-4)-[-(-2)] ；
(2).
【答案】解 (1)原式=-5+3-4-2=-8；
(2)原式==81××=1.
【题型2】有理数混合运算的实际应用
【典型例题】济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票( )
A.110种 B.132种 C.55种 D.66种
【答案】A
【解析】由题知，只有一站的票有10×2种，
有两站的票有9×2种，
有三站的票有8×2种，
有四站的票有7×2种，
有11站的票有1×2种，
需要印制不同的火车票为：2×(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=110(种)．
故选：A.
【举一反三1】某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔( )
A.352支 B.320支 C.288支 D.32支
【答案】A
【解析】根据题意得：320×(1+10%)＝320×1.1＝352(支)，
则该文具店三月份销售各种水笔352支．
故选：A．
【举一反三2】某项工作由甲单独做三小时完成，由乙单独做四小时完成，乙单独做了一小时后，甲乙合作完成剩下的工作，完成这项工作共用( )
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
【答案】C
【解析】小时，
完成这项工作共用小时，
故选：C．
【举一反三3】现在给出1、2、3、…、100这100个数，请在他们的前面添加“+”或“﹣”，运算结果能为0吗？ ．(填“能”或“不能”)
【答案】能
【解析】1 2＋3 4＋ ＋49 50 51＋52 53＋54 99＋100
＝+
＝( 1)×25＋1×25
＝ 25＋25
＝0．
故答案为：能．
【举一反三4】(1)一件商品，标价100元，七折出售，则卖价是 元．
(2)进价10元的商品，卖12元，利润率是 ．
【答案】(1)70 (2)20%
【解析】(1)7折即为70%，100×70%=70(元)．
故答案为：70．
(2)．
故答案为：20%．
【举一反三5】从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长，一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家，稍稍休息后，他又用了25分钟走到学校，其速度比从体育馆回来时每分钟慢15米，王力家到学校的距离是多少米？
【答案】解 因为从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长，
设从王力家到体育馆的路程为4份，则从王力家到学校的路程为5份，
从王力家到体育馆每分钟走份，从王力家到学校每分钟走份，
每份为(米)，
从王力家到学校的路程为(米)，
答：王力家到学校的距离是2125米
【题型3】含乘方的混合运算
【典型例题】下列各组数中，相等的一组是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
【答案】A
【解析】A．，，相等；
B．，，不相等；
C．，，不相等；
D．，，不相等；
故选：A．
【举一反三1】已知n为正整数，从1开始，连续n个正整数的平方和有如下的公式：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)．请根据这个公式计算：从2开始，连续10个偶数的平方和22+42+62+82+…+202的值等于( )
A.2870 B.1540 C.770 D.385
【答案】B
【解析】22+42+62+82+…+202=
===1540；
故应选B．
【举一反三2】如图，某公园有一长方形广场，长为米，宽为米，在其两角修建半径均为米的扇形花坛，在广场中心修建一个直径为米的圆形喷泉水池，则该广场的空地面积为(取3)( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该广场的空地面积为：
，
故选：B．
【举一反三3】计算： ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】解 (1)
；
(2) ．
【举一反三5】计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】解 (1)==2；
(2)
=
=
=
===-9；
(3)===95；
(4)===.
【题型4】程序流程图与有理数计算
【典型例题】根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是( )
A.8 B.6 C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
故选：C.
【举一反三1】观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】∵x=2＞0，2x-1=2×2-1=3．
故选：B．
【举一反三2】输入数值1922，按如图所示的程序运算(完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算)，输出的结果为( )
A.1840 B.2022 C.1949 D.2021
【答案】B
【解析】把1922代入程序得
，
把代入运算程序得
，
，
所以输出的结果为2022．
故选：B.
【举一反三3】按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为 ．
【答案】
【解析】输入，
由题意得，
故答案为：．
【举一反三4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ．
【答案】4
【解析】∵输入x的值为，
∴，，故继续计算，
，，故输出，
故答案为：．
【举一反三5】如图所示的是一个数值转换程序的示意图，若输入的值为3，的值为-6，请根据程序列出算式并求输出的结果．
【答案】解 根据流程图可得代数式：(2x+y-2)÷2，
将x=3和y=-6代入，
原式=(2×3-6-2)÷2=-1，
故算式为：(2x+y-2)÷2，值为-1.
【举一反三6】按照如图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
【答案】解 (1)由题意可得：，
∵， 输出结果为1．
(2)由题意可得：，故．
∵，进行第二次运算：．
输出结果为24．
【题型5】算”24“点
【典型例题】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是( )
A.1，6，8，7 B.1，2，3，4 C.4，4，10，10 D.6，3，3，8
【答案】A
【解析】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意；
B项，，能算出结果为24，故不符合题意；
C项，，能算出结果为24，故不符合题意；
D项，，能算出结果为24，故不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】“24点”游戏规则是：从一副牌中(去掉大、小王)任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为(－4)×(－3－6÷2)＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【答案】D
【解析】①这四个数分别为6、-3、6、2，
∵，
∴①符合题意；
②这四个数分别为-4、-6、6、2，
∵，
∴②符合题意；
③这四个数分别为-4、-3、12、2，
∵，
∴③符合题意；
④这四个数分别为-4、-3、6、1，
∵，
∴④符合题意；
故选D．
【举一反三2】小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算(每张卡片只能用一次，可以加括号)使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误；
B．(8-3)×5+(-1)=24，故B错误；
C．(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误；
D．无法组成24点，故D正确；
故答案选择：D.
【举一反三3】有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数(每个数只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1、2、3、4可做运算：，现有四个有理数7，-2，4，-4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，你的算式是 ．
【答案】=24
【解析】由题意可得：
=24，
故答案为： =24.
【举一反三4】根据二十四点算法，现有四个数3、4、6、10，每个数用且只用一次进行加、减、乘、除，使其结果等于24，则列式为 =24．
【答案】6÷3×10+4
【解析】由题意可得，6÷3×10+4．
故答案为：6÷3×10+4．
【举一反三5】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌(去掉“大王”“小王”)中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌上的数字只能用一次)，使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式．
【答案】解 由题意得：
，
，
故答案为，
【题型6】利用计算器进行计算
【典型例题】与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是，
故选B
【举一反三1】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出的结果应为( )
A. B. C.1.5 D.
【答案】A
【解析】
故选：A．
【举一反三2】在计算器上，依次按键2、x2，得到的结果是 ．
【答案】4
【解析】根据题意得出22=4．
【举一反三3】用计算器计算(-3)2，正确的按键方法是 ．
【答案】( (-) 3 ) x2 =．
【解析】按照计算器的基本应用，用计算器求(-3)2，按键顺序是( (-) 3 ) x2 =．
故答案为：( (-) 3 ) x2 =．
【举一反三4】用计算器计算：
(1)15＋5×23.4÷15； (2)×3.14×0.92.
【答案】解 (1)按键顺序为，计算器显示的结果为22.8， 所以15＋5×23.4÷15＝22.8.
(2)按键顺序为，计算器显示的结果为3.17925，所以×3.14×0.92＝3.17925.
【题型7】求一个数的近似数
【典型例题】近似数0.02010的有效数字的个数是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】近似数0.02010的有效数字为：2、0、1、0．
故选：B．
【举一反三1】用四舍五入法按要求对 1.06042 取近似值，其中错误的是( )
A.1.1(精确到 0.1)
B.1.06(精确到 0.01)
C.1.061(精确到千分位)
D.1.0604(精确到万分位)
【答案】C
【解析】1.06042≈1.1(精确到0.1)，故A选项正确，不符合题意；
1.06042≈1.06(精确到0.01)，故B选项正确，不符合题意；.
1.06042≈1.060(精确到千分位)，故C选项错误，符合题意；
1.06042≈1.0604(精确到万分位)，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【举一反三2】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是( )
A.(精确到)
B.(精确到百分位)
C.(精确到万分位)
D.(精确到)
【答案】C
【解析】A．精确到为，此选项正确，不合题意；
B．精确到百分位，此选项正确，不合题意；
C．精确到万分位为，此选项错误，符合题意；
D．精确到为，此选项正确，不合题意；
故选：C．
【举一反三3】数0.0158(精确到0.01)≈ ．
【答案】0.02
【解析】0.0158≈0.02(精确到0.01)，
故答案为：0.02．
【举一反三4】有理数精确到个位的近似数为 ．
【答案】61
【解析】有理数精确到个位的近似数为61，
故答案为：61．
【举一反三5】按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)2.715(精确到百分位)；
(2)0.139 5(精确到0.001)；
(3)561.53(精确到个位)；
(4)21.345(精确到0.1)．
【答案】解 (1)2.715≈2.72；
(2)0.139 5≈0.140；
(3)561.53≈562；
(4)21.345≈21.3．
【题型8】确定近似数的精确度
【典型例题】由四舍五入得到的近似数是，下面说法中正确的是( )
A.精确到百分位 B.精确到千分位 C.精确到万分位 D.精确到十万分位
【答案】D
【解析】近似数精确到十万分位．
故选：D．
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.近似数13.5亿精确到亿位
B.近似数3.1×105精确到十分位
C.近似数1.80精确到百分位
D.用四舍五入法取2.258精确到0.1的近似值是2.2
【答案】C
【解析】A．近似数13.5亿精确到千万位，故选项错误；
B．近似数3.1×105精确到万位，故选项错误；
C．近1.80精确到百分位，故选项正确；
D．用四舍五入法取2.258精确到0.1的近似值是2.3，故选项错误．
故选C．
【举一反三2】湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？( )
A.万位 B.十万位 C.百万位 D.亿位
【答案】B
【解析】数据亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【举一反三3】(1)由四舍五入得到的近似数0.600精确到 位；
(2)近似数3.0万精确到 位．
【答案】(1)千分 (2)千
【解析】根据精确度可知，近似数0.600精确到千分位； 近似数3.0万精确到千位.
故答案为千分；千.
【举一反三4】列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)38200；(2)0.040；(3)20.05000.
【答案】解 (1)38 200精确到个位；
(2)0.040精确到千分位；
(3)20.05000精确到十万分位．
【举一反三5】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105
【答案】解 (1)600万的末尾为万位，600万精确到万位；
(2)7.03万的末尾为百位，7.03万精确到百位；
(3)5.8亿的末尾为千万位，5.8亿精确到千万位；
(4)3.30×105的末尾为千位，3.30×105亿精确到千位.
【题型9】近似数所对应的真值的取值范围
【典型例题】近似数3.50的准确a的取值范围是（ ）
A.3.40≤a≤3.60 B.3.495≤a<3.505 C.3.49≤a≤3.605 D.3.500≤a<3.60
【答案】B
【解析】近似数3.50的准确值a的取值范围为3.495≤a＜3.505．
故选B．
【举一反三1】把a精确到十分位的近似数是23.6，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把a精确到十分位的近似数是23.6，则a的取值范围是，
故选：B．
【举一反三2】若某人体重约41kg，那么这个人的准确体重kg的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据取近似数四舍五入，某人体重约41kg，则准确体重kg的范围是
故选A．
【举一反三3】已知是由四舍五入得到的近似数，则的可能取值范围是___________．
【答案】3.495<3.505．
【解析】时，a的取值范围可能为：3.495<3.505，
故答案为：3.495<3.505
【举一反三4】车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
【答案】解 （1）近似数的要求是精确到，
所以原轴的范围是.
（2）原轴的范围是，
故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格
【举一反三5】某车间接受了加工两根轴的任务，车间工人看了看图纸，轴长，他用很短的 时间完成了任务，可是把轴交给主任验收时，主任很不高兴，说不合格，只能报废！原来工人加工完的轴一根长，另一根长，请你利用所学的知识解释：为什么两根轴不合格呢？
【答案】解 车间工人把看成了，近似数的要求是精确到；而近似数的要求是精确到，所以轴长为的车间工人加工完的轴长满足的条件应该是，故轴长为与的产品不合格．2.5有理数的混合运算
【题型1】有理数四则混合运算 3
【题型2】有理数混合运算的实际应用 4
【题型3】含乘方的混合运算 5
【题型4】程序流程图与有理数计算 6
【题型5】算”24“点 7
【题型6】利用计算器进行计算 8
【题型7】求一个数的近似数 9
【题型8】确定近似数的精确度 10
【题型9】近似数所对应的真值的取值范围 10
【知识点1】有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 1.（2025 鼓楼区二模）下列计算结果比-3小的是（ ） A．-2+（-4）B．-2-（-4）C．-2×（-4）D．-2÷（-4）
2.（2024秋 株洲期末）计算（-3）2可以表示为（ ） A．（-3）×2B．（-3）+2C．（-3）×（-3）D．（-3）+（-3）
【知识点2】计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．
（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．
（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．
（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M-、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M-则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 1.（2023 德宏州模拟）某款国产手机上有科学计算器，依次按键，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ） A．1～2B．2～3C．3～4D．4～5
2.（2021 莱州市模拟）在计算器上，小明将按键顺序的显示结果记为a,的显示结果记为b,则a与b的乘积为（ ） A．B．C．D．6
【知识点3】计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：______（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．______（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．
（3）按下（-）键可输入负数，即先输入（-）号再输入数值．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“=”即可．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“=”即可
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 1.（2024 烟台）用科学计算器求35的值，按键顺序是（ ） A．3，xy，5，=B．3，5，xy，=C．5，3，xy，=D．5，xy，3，=
2.（2024秋 大同期末）利用计算器，按照下列步骤按键，显示结果为（ ） A．-10B．-32C．-2.5D．-7
【题型1】有理数四则混合运算
【典型例题】小燕做了下列三道计算：①﹣×2=0×2=0；②6÷(﹣)=6÷﹣6÷=9﹣4=5；③﹣22﹣(﹣3)3=4﹣27=﹣23其中正确的有( )
A.0道 B.1道 C.2道 D.3道
【举一反三1】现规定一种运算：a※b＝ab＋a－b，其中b为有理数，则2※(－3)( )
A.－1 B.－6 C.-7 D.11
【举一反三2】为了使的计算结果是－21，那么在○中填入的运算符号是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】将12减去它的，再减去余下的，再减去余下的，……直到减法余下的，最后剩下的数是 ．
【举一反三4】计算
(1)-5-(-3)+(-4)-[-(-2)] ；
(2).
【题型2】有理数混合运算的实际应用
【典型例题】济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票( )
A.110种 B.132种 C.55种 D.66种
【举一反三1】某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔( )
A.352支 B.320支 C.288支 D.32支
【举一反三2】某项工作由甲单独做三小时完成，由乙单独做四小时完成，乙单独做了一小时后，甲乙合作完成剩下的工作，完成这项工作共用( )
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
【举一反三3】现在给出1、2、3、…、100这100个数，请在他们的前面添加“+”或“﹣”，运算结果能为0吗？ ．(填“能”或“不能”)
【举一反三4】(1)一件商品，标价100元，七折出售，则卖价是 元．
(2)进价10元的商品，卖12元，利润率是 ．
【举一反三5】从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长，一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家，稍稍休息后，他又用了25分钟走到学校，其速度比从体育馆回来时每分钟慢15米，王力家到学校的距离是多少米？
【题型3】含乘方的混合运算
【典型例题】下列各组数中，相等的一组是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
【举一反三1】已知n为正整数，从1开始，连续n个正整数的平方和有如下的公式：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)．请根据这个公式计算：从2开始，连续10个偶数的平方和22+42+62+82+…+202的值等于( )
A.2870 B.1540 C.770 D.385
【举一反三2】如图，某公园有一长方形广场，长为米，宽为米，在其两角修建半径均为米的扇形花坛，在广场中心修建一个直径为米的圆形喷泉水池，则该广场的空地面积为(取3)( )
A. B. C. D.
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)．
【举一反三5】计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【题型4】程序流程图与有理数计算
【典型例题】根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是( )
A.8 B.6 C. D.
【举一反三1】观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】输入数值1922，按如图所示的程序运算(完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算)，输出的结果为( )
A.1840 B.2022 C.1949 D.2021
【举一反三3】按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为 ．
【举一反三4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ．
【举一反三5】如图所示的是一个数值转换程序的示意图，若输入的值为3，的值为-6，请根据程序列出算式并求输出的结果．
【举一反三6】按照如图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
【题型5】算”24“点
【典型例题】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是( )
A.1，6，8，7 B.1，2，3，4 C.4，4，10，10 D.6，3，3，8
【举一反三1】“24点”游戏规则是：从一副牌中(去掉大、小王)任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为(－4)×(－3－6÷2)＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【举一反三2】小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算(每张卡片只能用一次，可以加括号)使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数(每个数只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1、2、3、4可做运算：，现有四个有理数7，-2，4，-4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，你的算式是 ．
【举一反三4】根据二十四点算法，现有四个数3、4、6、10，每个数用且只用一次进行加、减、乘、除，使其结果等于24，则列式为 =24．
【举一反三5】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌(去掉“大王”“小王”)中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌上的数字只能用一次)，使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式．
【题型6】利用计算器进行计算
【典型例题】与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出的结果应为( )
A. B. C.1.5 D.
【举一反三2】在计算器上，依次按键2、x2，得到的结果是 ．
【举一反三3】用计算器计算(-3)2，正确的按键方法是 ．
【举一反三4】用计算器计算：
(1)15＋5×23.4÷15； (2)×3.14×0.92.
【题型7】求一个数的近似数
【典型例题】近似数0.02010的有效数字的个数是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【举一反三1】用四舍五入法按要求对 1.06042 取近似值，其中错误的是( )
A.1.1(精确到 0.1)
B.1.06(精确到 0.01)
C.1.061(精确到千分位)
D.1.0604(精确到万分位)
【举一反三2】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是( )
A.(精确到)
B.(精确到百分位)
C.(精确到万分位)
D.(精确到)
【举一反三3】数0.0158(精确到0.01)≈ ．
【举一反三4】有理数精确到个位的近似数为 ．
【举一反三5】按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)2.715(精确到百分位)；
(2)0.139 5(精确到0.001)；
(3)561.53(精确到个位)；
(4)21.345(精确到0.1)．
【题型8】确定近似数的精确度
【典型例题】由四舍五入得到的近似数是，下面说法中正确的是( )
A.精确到百分位 B.精确到千分位 C.精确到万分位 D.精确到十万分位
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.近似数13.5亿精确到亿位
B.近似数3.1×105精确到十分位
C.近似数1.80精确到百分位
D.用四舍五入法取2.258精确到0.1的近似值是2.2
【举一反三2】湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？( )
A.万位 B.十万位 C.百万位 D.亿位
【举一反三3】(1)由四舍五入得到的近似数0.600精确到 位；
(2)近似数3.0万精确到 位．
【举一反三4】列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)38200；(2)0.040；(3)20.05000.
【举一反三5】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105
【题型9】近似数所对应的真值的取值范围
【典型例题】近似数3.50的准确a的取值范围是（ ）
A.3.40≤a≤3.60 B.3.495≤a<3.505 C.3.49≤a≤3.605 D.3.500≤a<3.60
【举一反三1】把a精确到十分位的近似数是23.6，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若某人体重约41kg，那么这个人的准确体重kg的范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知是由四舍五入得到的近似数，则的可能取值范围是___________．
【举一反三4】车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
【举一反三5】某车间接受了加工两根轴的任务，车间工人看了看图纸，轴长，他用很短的 时间完成了任务，可是把轴交给主任验收时，主任很不高兴，说不合格，只能报废！原来工人加工完的轴一根长，另一根长，请你利用所学的知识解释：为什么两根轴不合格呢？
