22.1.1 二次函数 教学课件(共23张PPT)-2025-2026学年人教版九年级数学上册

(共23张PPT)
22.1.1 二次函数
初中数学
九年级上册
单元主题：二次函数
学习目标
理解掌握二次函数的概念和一般形式.
会利用二次函数的概念解决问题.
学习目标
胸怀全局
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题引入
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
【分析】每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 .
n-1
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.
问题引入
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
【分析】这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________.
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)(1+x)
y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题引入
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
【分析】这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________.
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)(1+x)
y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题引入
问题1-3中函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次整式表示的
y=6x2
y=20x2+40x+20
知识精讲
二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
知识精讲
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t ③y=x2
④ ⑤y=x +x +25 ⑥ y=(x+3) -x
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，右边是分式.
不是，x的最高次数是3.
y=6x+9
【点睛】判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
典例解析
把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项.
y=2x2+2x+1
2
2
1
y=2x2+x+2
2
1
2
y=-8x2-12x
-8
-12
0
y=x2-1
1
0
-1
针对练习
例2 函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知,
解得
（2）由题可知,
解得
m=3.
【点睛】第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
典例解析
若函数 是二次函数，那么m的取值范围是什么？
解：
由题意得：
针对练习
例3 一个二次函数 .
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
将x=0.5代入函数关系式
（2）当k=2时，
【点睛】此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
典例解析
思考:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.
知识延伸
小结梳理
二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
如何根据实际问题列二次函数关系式？
1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
2．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
达标检测
3. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；
③ 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
0
达标检测
4.若函数 是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为 .
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
达标检测
作业布置
练习册
P34-36页 必做
P37页选做
3.mp4