22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教学课件(共19张PPT)-2025-2026学年人教版九年级数学上册

(共19张PPT)
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
初中数学
九年级上册
单元主题：二次函数
学习目标
会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.
掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会进行简单应用.
学习目标
会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.
掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会进行简单应用.
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一次函数的性质是如何研究的？
①列表；②描点；③连线
一条直线 画图观察、分析、归纳
查学诊断
知识精讲
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
探究一 画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数
2. 描点：
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
3
6
9
y
O
-3
3
x
观察：二次函数y = x2的图象像什么？
抛物线y = x2
事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c.
二次函数y = ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
函数y = x2的图象开口______.
向上
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
（0，0）
低
在抛物线y = x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y = x2上，所以抛
物线y = x2关于y轴对称。
特征
3
6
9
y
O
-3
3
x
当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
增减性
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=2x2
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，，y =2x2的图象.
a值越大，抛物线的开口越小．
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
思考
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
开口都向上；
对称轴都是y轴；
函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
探究二
画出函数y=-x 2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
··· -2 0 -2 ···
y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ···
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
开口都向下；
对称轴都是y轴；
| a |值越大，抛物线的开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
共同点和不同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
抛物线 a的 符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
归 纳
开口向上
开口
向下
y轴
y轴
(0,0)
x=0,y最小值为0
x=0,y最大值为0
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
(0,0)
二次函数a的作用:(1)a决定开口方向， ，开口向上； ，开口向下（2）a决定开口大小，| a |越大，开口越小，反之越小，开口越大 。
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
知识精讲
1.函数y = 2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________ .
向上
y轴
（0，0）
练测促学
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2.
②
①
①
③
⑤
④
a>0
a<0，
|a|越大，开口越小.
开口向下
a<0
3. 分别写出抛物线y=4x2与 的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
y
O
x
y
O
x
小结梳理
1.教材习题22.1第3、4题；
2.完成练习册本课时的习题。
3、布置作业