22.1.3（1）二次函数y=ax2 k的图象和性质 教学课件(共24张PPT)-2025-2026学年人教版九年级数学上册

(共24张PPT)
22.1.3（1） 二次函数y=ax2+k的图象和性质
初中数学
九年级上册
单元主题：二次函数
学习目标
1. 透彻理解二次函数图象上下移动的内在原理，明晰函数表达式中常数项变化如何引发图象在纵坐标方向的位置改变。
2. 熟练掌握“上加下减”这一二次函数图象上下平移的核心规律
。
3.可以灵活运用二次函数上下平移规律，解决各类与图象平移相关的数学问题。
4. 在学习二次函数上下移动过程中，注重培养数形结合的思维方式。
情 境 导 入
第3课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
复习
情 境 导 入
方向
向上
向下
大小
越小
越大
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
情境导入
新课探究
课堂小结
新 课 探 究
类比函数y=kx到y=kx+b的研究，来探究一下y=ax2到y=ax2+k的变化有哪些？
例1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 , y=x2+1,y=x2-1的图象.
列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 … …
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
第3课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
新课探究
情境导入
课堂小结
描点，连线
y=x2+1
10
8
6
4
2
-5
5
x
y=x2-1
y=x2
O
y
1.抛物线y=x2+1，y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
2.抛物y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？
思考
新课探究
情境导入
课堂小结
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位.
向上
向下
|k|
归纳
新课探究
情境导入
课堂小结
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
向上
向下
y轴
y轴
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k
当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
小试牛刀
1.抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到．
2.抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
上
3
向下
Y轴
（0，-5）
例题讲解
抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
8
解： 把A、C两点代入抛物线解析式，
得，
0=4a+c
-4=0+c
解得，
a= 1 , c= -4
所以，抛物线为
y=x2-4
当
y=0 时，x= -2 或 2
则
B点坐标为 （2,0）
所以三角形的底为 4，
高为 4，
三角形的面积为 8
小结：这类问题通常把符合条件的坐标值代入相应的解析式，列出方程或方程组求解.
生活中的抛物线
新课探究
情境导入
课堂小结
1.抛物线y= -x2+3的顶点坐标是( )
A.(0,3) B.(0,-3) C.(3,0) D.(-3,0)
2.在同一坐标平面内,图象可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到的函数是( )
A.y=2x-5 B.y=0.5x2+3 C.y=3x2-10 D.y=4+2x2
3.抛物线y=-x2-1的开口方向和对称轴分别是(　　)
A.向上,y轴 B.向下,y轴 C.向上,直线x=-1 D.向下,直线x=-1
D
B
A
当堂练习
4.抛物线y＝-x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=-x2．
新课探究
情境导入
课堂小结
下
1
5.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　)
A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
C
新课探究
情境导入
课堂小结
6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）,则a=____.
2
-2
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你运用了哪些数学思想？
3.还有什么感悟和思考？
第3课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
情境导入
课堂小结
新课探究
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
平移规律：
k正向上；k负向下.
口诀：上加下减常数项
1．(1)如果将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，那么所得到的抛物线的解析式是　 　；
(2)抛物线y＝－3x2向　 　平移　 　个单位长度可得到抛物线y＝－3x2＋2；
(3)把抛物线y＝5x2向下平移2个单位长度后，其顶点坐标为( )
A．(0，－2) B．(－2，0)
C．(2，0) D．(0，2)
A
　2　
　上　
　y＝x2＋2 　
当堂检测
小结：心中有y=ax2+k（a<0或a>0）的草图，性质理解于胸，问题迎刃而解.
2．抛物线y＝－x2＋5的开口向　 　，
对称轴是　 　，顶点坐标是　 　．
当x　 　时，y随x的增大而增大；
当x　 　时，y随x的增大而减小．
　＞0　
　＜0　
　(0，5)　
　y轴 　
　下　
3．(人教9上P32改编、北师9下P36改编)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2＋2的图象．
列表、描点、连线：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 …
y＝－x2＋2 … …
-2
1
2
1
-2
解：如图：
归纳：(1)抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为　 　；
(2)抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为　 　．
　y＝－x2－2　
观察图象填空：
　y＝－x2＋2　
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－x2＋2
(0，2)
(0，0)
y轴
y轴
向下
向下
课后作业
1.寻找生活中还有哪些二次函数抛物线。
2.完成二次函数练习题。
谢谢观看