2025--2026年数学北京版2024八年级上册专题04 实数和二次根式章末易错考点题型（含解析）

专题04实数和二次根式章末易错考点题型
易错题型一、平方根的概念理解
1．下列说法中正确的是（ ）
A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3
B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根
C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数
D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数
2．下列说法正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．的平方根是
C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根
3．下列说法正确的是（ ）
A．平方根是本身的数是0和1
B．1的平方根是1
C． 的平方根是
D．是的一个平方根
易错题型二、求平方根
4．的平方根是 ．
5．若，则 ．
6．一个正数的两个不同的平方根分别是和．
(1)求和的值．
(2)求的平方根．
易错题型三、利用平方根解方程
7．解方程：．
8．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
9．求下列各式中的x的值：
(1)
(2)
易错题型四、平方根的应用
10．如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号）
11．小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长．
12．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．
易错题型五、求算术平方根
13．计算：
(1)；
(2)．
14．数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．
以下是乐乐的解题过程：
解：因为一个数的算术平方根为，平方根为． 所以或． ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或．
李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程．
15．先说出下列各式的意义，再计算．
(1)
(2)
(3)．
易错题型六、算术平方根的双重非负性
16．若m、n满足，则的平方根为（ ）
A．4 B．8 C． D．
17．若，则正整数x的值为 ．
18．已知实数a满足，那么的值为多少？
易错题型七、算术平方根的整数部分与小数部分
19．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ．
20．的小数部分是m，则 ；
21．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题．
(1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________．
(2)计算的值．
(3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值．
易错题型八、算术平方根的规律探索题
22．（1）观察发现：表格中___________，___________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位；
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
23．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．
24．观察下面的等式：，，，，
(1)写出的结果；
(2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的．
易错题型九、算术平方根的实际应用
25．小明家买了一张边长是米的正方形新桌子，原有边长是1米的两块正方形台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按如图所示的方法，将两块台布裁剪拼成一块正方形大台布，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？
26．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）．
(1)步骤（一）：求出阴影部分的面积
(2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值．
27．如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形．
(1)则大正方形的边长是_________；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（参考数据：）
易错题型十、求立方根
28．求下列各数的立方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)512；
(6)．
29．（1）立方根等于本身的数为 ；
（2）已知，则 ．
30．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
易错题型十一、立方根的实际应用
31．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
32．某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ．
33．
核心素养：应用意识，创新意识
素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数．
步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9．
步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39．
问题解决
任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________；
任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根．
思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，）
易错题型十二、算术平方根与立方根的综合应用
34．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2)的平方根．
35．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
36．本学期第六章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写下表
1 16 81
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________．
（2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________；
【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________．
易错题型十三、与立方根有关的规律探索
37．已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
38．已知，，依据立方根运算规律得： ．
39．观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
(1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①= ．
②= ．
易错题型十四、无理数及其大小估算
40．在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
41．已知，，，．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
42．已知m是整数，且，若是无理数，则整数m的值为 ．
易错题型十五、实数的概念、分类与性质
43．已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
44．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，，
(1)有理数集合：{ }；
(2)无理数集合：{ }；
(3)负实数集合：{ }．
45．已知，且，求的值．
易错题型十六、实数的混合运算
46．计算：
(1)；
(2)．
47．计算：．
48．计算：
(1)；
(2)．
易错题型十七、新定义下的实数运算
49．请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根．
(1)81的四次方根为______；32的五次方根为______；
(2)若有意义，则______；
(3)求x的值：．
50．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，．
【解答问题】
(1)________；
(2)若，求整数的值；
(3)若，，求的值．
51．（1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，_____；
（2）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数，例如可将化为，再由近似公式得到．利用此公式计算的近似值．
易错题型十八、实数运算的规律题
52．观察下列算式：
①；②；③；④；…
(1)写出第⑥个等式；
(2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
53．观察下列各式：
；；；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；
(3)应用计算：．
54．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 　 　．
(2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　．
(3)利用（2）中结论计算：．
易错题型十九、二次根式有意义的条件
55．求使下列各式有意义的字母x的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)．
56．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
57．已知，则 ．
易错题型二十、利用二次根式的性质化简
58．化简：
（1） ， ；
（2） ， ．
59．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ．
60．已知，，的平方根是 ．
易错题型二十一、二次根式的混合运算
61．计算：．
62．计算：
(1)
(2)
63．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
易错题型二十二、最简二次根式与同类二次根式
64．将下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；
(2)；
(3)．
65．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)和；
(2)和．
66．判断下列二次根式是否为同类二次根式．
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
易错题型二十三、分母有理数
67．阅读下列解题过程：
；
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
；
；
(2)利用上面提供的解法，请计算：．
68．阅读下面的材料，并解答问题：
；
；
；
(1)填空： ， （为正整数；
(2)利用（1）发现的规律计算：
69．阅读下列材料，并回答问题
；
；
；
…
(1)填空：__________；
(2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果；
(3)试比较与的大小；
(4)计算：（提示：）．
易错题型二十四、已知字母的值化简求值
70．先化简，再求值：，其中．
71．先化简，再求值：，其中．
72．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴
∴，即
∴
∴．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
(1)分母有理化：______，
(2)计算：；
(3)若，求的值．
易错题型二十五、比较二次根式的大小
73．已知：，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
74．通过估算，比较下列各组数的大小：
（1）6 ；
（2） ；
（3） 1；
（4） ．
75．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以．
请结合上述材料解决下列问题．
(1)比较，的大小；
(2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”）
易错题型二十六、二次根式的应用
76．如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是．
(1)求长方形的周长；
(2)求长方形的面积．
77．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．

(1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（）
(2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比．
78．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响
(1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害
专题04 实数和二次根式章末易错考点题型
易错题型一、平方根的概念理解
1．下列说法中正确的是（ ）
A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3
B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根
C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数
D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数
【答案】B
【分析】本题考查了平方根的定义；根据平方根的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ∵的平方是9，∴9的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵的平方是25，∴是25的一个平方根，故该选项正确，符合题意；
C. 任何非零实数的平方都是正数，任何正数的算术平方根都是正数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 负数的平方是正数，负数没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．的平方根是
C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根
【答案】D
【分析】本题考查的是平方根的含义，根据平方根的含义逐一分析判断即可．
【详解】解：A，当，则，0的平方根为0，故本选项错误，不合题意；
B，没有平方根，故本选项错误，不合题意；
C，9的平方根是，故本选项错误，不合题意；
D，3是9的一个平方根，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．平方根是本身的数是0和1
B．1的平方根是1
C． 的平方根是
D．是的一个平方根
【答案】D
【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可．
【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意；
1的平方根是，则B不符合题意；
没有平方根，则C不符合题意；
是的一个平方根，则D符合题意；
故选：D．
易错题型二、求平方根
4．的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．先计算乘方可得，再根据平方根的性质求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴的平方根是，
故答案为：．
5．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义，由，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或（舍去），
故答案为：．
6．一个正数的两个不同的平方根分别是和．
(1)求和的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，解得，
∴；
（2）解：将代入中，
得，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
易错题型三、利用平方根解方程
7．解方程：．
【答案】，．
【分析】此题考查利用平方根求方程的解，将常数移动到等号右边，利用平方根定义开平方，由此得到方程的解．
【详解】解：移项，得，即．
开平方，得．
∴，．
8．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
解得或．
9．求下列各式中的x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）先整理为，再根据平方根的定义求解；
（2）根据平方根的定义求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
，
解得：．
易错题型四、平方根的应用
10．如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号）
【答案】这个长方体容器的长与宽至少是
【分析】此题主要考查长方体容积（体积）公式，平方根关键是熟记公式．
设这个长方体容器的长与宽至少为，根据长方体容积（体积）公式列式，再由平方根的定义计算，即可解答．
【详解】解：设这个长方体容器的长与宽至少为，则
，
解得或（不符合题意，舍去）．
答：这个长方体容器的长与宽至少是．
11．小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长．
【答案】
【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为得出方程求解即可．
【详解】解：设需要的地板砖的边长是，根据题意可得：
，
解得：或（不合题意，舍去），
答：需要的地板砖的边长是．
12．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】能，理由见解析
【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果．
【详解】解：能，理由如下：
∵正方形贺卡的面积为，
∴正方形的边长为，
设长方形的信封的长为，宽为，依题得：
，
即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
易错题型五、求算术平方根
13．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0.05
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
（1）根据算术平方根的概念即可求解；
（2）根据算术平方根的概念即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
14．数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．
以下是乐乐的解题过程：
解：因为一个数的算术平方根为，平方根为． 所以或． ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或．
李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程．
【答案】乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当时，这个数的算术平方根为，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确过程见解析
【分析】本题考查了算术平方根及平方根，一元一次方程，正确理解算术平方根的意义是解题的关键，根据算术平方根及平方根的意义求解即可得解．
【详解】解：乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当时，这个数的算术平方根为，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确的解题过程如下：
因为一个数的算术平方根为，平方根为，
所以或．
①当时，解得，
所以，不符合题意，舍去；
②当时，解得，
所以，所以这个数为．
综上所述，这个数为．
15．先说出下列各式的意义，再计算．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟知平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可；
（2）根据算术平方根的计算方法和算术平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：解： 表示 的平方根，
；
（2）解：表示225的算术平方根，
；
（3）解：表示的负平方根，
．
易错题型六、算术平方根的双重非负性
16．若m、n满足，则的平方根为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，解题关键是掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性．
先根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求出m，n的值，再代入代数式进行计算．
【详解】解：、n满足，
，，
，，
，
，
故选：D．
17．若，则正整数x的值为 ．
【答案】1，2，3
【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
根据算术平方根的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴正整数x的值为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
18．已知实数a满足，那么的值为多少？
【答案】2026
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可，得出是解决此题的关键．
【详解】解：实数满足，
，
解得：，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
易错题型七、算术平方根的整数部分与小数部分
19．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是无理数的估算．估算出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为7，则小数部分为，
故答案为：.
20．的小数部分是m，则 ；
【答案】/
【分析】本题考查了算术平方根的估算，估算出的整数部分是解题的关键．根据算术平方根的大小估算可得，得出的整数部分，进而得到的小数部分，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是3，
∴的小数部分是，
∴．
故答案为：．
21．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题．
(1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________．
(2)计算的值．
(3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值．
【答案】(1)，，5，0
(2)
(3)
【分析】本题考查算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值．
（1）根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案；
（2）将（1）中数值代入计算即可；
（3）根据x是c的算术平方根的小数部分，，得，再代入计算即可．
【详解】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身，
，，
，，且与乘积小于0，，
，，
故答案为：，，5，0；
（2）解：由（1）得：
；
（3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，，
∴，
∴．
易错题型八、算术平方根的规律探索题
22．（1）观察发现：表格中___________，___________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位；
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50
【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求出答案；
（2）找到规律即可得出答案；
（3）根据（2）中的规律即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：0.1；10．
（2）根据表格可得，
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右；1．
（3）①∵，
∴．
②∵，，
∴．
故答案为：22.4；50．
23．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．
【答案】(1)①两；②，；③
(2)，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根；
（1）根据所提供的方法进行计算即可；
（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．
【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，
所以选择较小的个位数字，则．
故答案为：①两；②，；③；
（2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下：
①由，可以确定是两位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，
所以选择较大的个位数字，则．
24．观察下面的等式：，，，，
(1)写出的结果；
(2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索．
（1）由上述等式得，；
（2）观察上面的等式可得规律，（n为正整数）；
（3）计算是否等于．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
，
∴；
（2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）；
（3）证明：
，
因此归纳正确．
易错题型九、算术平方根的实际应用
25．小明家买了一张边长是米的正方形新桌子，原有边长是1米的两块正方形台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按如图所示的方法，将两块台布裁剪拼成一块正方形大台布，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？
【答案】这块大台布能盖住现在的新桌子
【分析】本题考查了算术平方根的应用；
先求出大台布的面积，再根据算术平方根的意义求出大台布的边长，然后可得答案．
【详解】解：根据题意得：大台布的面积为（平方米），
所以大台布的边长为米．
因为，
所以这块大台布能盖住现在的新桌子．
26．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）．
(1)步骤（一）：求出阴影部分的面积
(2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值．
【答案】(1)阴影部分的面积为17；
(2)x的值为．
【分析】本题主要考查了实数的性质．
（1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可．
（2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可．
【详解】（1）解：，
则阴影部分的面积为17；
（2）解：由题意得
，
解得，（舍去）
∴阴影部分的边长为．
27．如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形．
(1)则大正方形的边长是_________；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（参考数据：）
【答案】(1)4
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的实际应用：
（1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为，
∴大正方形的边长：；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：（负值已舍掉），
，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
易错题型十、求立方根
28．求下列各数的立方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)512；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)8
(6)
【分析】本题考查求一个数的立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
（1）根据立方根的定义计算即可；
（2）根据立方根的定义计算即可；
（3）根据立方根的定义计算即可；
（4）根据立方根的定义计算即可；
（5）根据立方根的定义计算即可；
（6）根据立方根的定义计算即可；
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，，
；
（5）解：，
；
（6）解：，
．
29．（1）立方根等于本身的数为 ；
（2）已知，则 ．
【答案】 0，1和
【分析】本题考查立方根、平方根：
（1）根据，，可得答案；
（2）先计算出x的值，再求它的立方根即可．
【详解】解：（1），，，
立方根等于本身的数为0，1和；
故答案为：0，1和；
（2），
，
当时，，
当时，，
故答案为：．
30．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．
首先计算，然后根据立方根定义进行求解即可．
【详解】解：，
12的立方根是．
故选：B．
易错题型十一、立方根的实际应用
31．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
【答案】A
【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．
【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：，
体积为的正方体的棱长为：，
又 ∵，
∴棱长应变为原来的2倍．
故选：A．
32．某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可．
【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为，
由题意得：，
解得：，
∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为．
故答案为：6．
33．
核心素养：应用意识，创新意识
素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数．
步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9．
步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39．
问题解决
任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________；
任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根．
思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，）
【答案】任务1：两； 5
任务 2：48
【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解此题的关键．
任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解；
任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可得解．
【详解】解：任务1：∵，，，
∴
∴能确定195112的立方根是个两位数，
∵，
∴，
∴它的立方根的十位上的数是；
任务：∵，，，
∴
∴能确定110592的立方根是个两位数，
∵，
∴，
∴它的立方根的十位上的数是；
∵，
∴的个位上的数是，
∴．
易错题型十二、算术平方根与立方根的综合应用
34．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题；
（2）根据平方根的定义解决此题．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4
∴，．
∴，；
（2）解：由（1）得，，，
∴
，
∴的平方根为：．
35．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，或，
【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1
解得：或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，；
当，．
36．本学期第六章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写下表
1 16 81
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________．
（2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________；
【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________．
【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
拓展应用：（1）；（2）
【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键．
【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表；
（2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可；
【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根；
（2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可．
【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，；
类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
【拓展应用】（1）；
故答案为：
（2）∵，∴．
故答案为：
易错题型十三、与立方根有关的规律探索
37．已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算
【详解】解：∵，而，
∴==
因此，的值约为，
故选B
38．已知，，依据立方根运算规律得： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
39．观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
(1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①= ．
②= ．
【答案】(1)2，27
(2)①；②
【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键
（1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
（2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可
【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3，
∴猜想的立方根的个位数为7，
又∵，
∴猜想的立方根的十位数为2，
验证：，
∴19683的立方根是27；
故答案为2，27；
（2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ，
∴猜想的立方根的个位数为．
又， ，且 ．
∴猜想的立方根的十位数为7，
验证： ．
∴ ．
②∵的末位数是1，而，
∴猜想的立方根的末位数为1，
又∵，
∴猜想的立方根的十分位数为8，
验证：；
故答案为，；
易错题型十四、无理数及其大小估算
40．在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查无理数的定义，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数。
【详解】解：：分数，属于有理数，
：整数，属于有理数，
：非完全平方数的平方根，属于无理数，
：无限不循环小数，属于无理数，
：立方根结果为，属于有理数，
：有限小数，属于有理数，
：分数，属于有理数，
综上，无理数有和，共2个，
故选：C．
41．已知，，，．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可知：
∴，
∴；
故选B．
42．已知m是整数，且，若是无理数，则整数m的值为 ．
【答案】或0或2
【分析】本题考查无理数的定义以及不等式的求解．先根据求出m的取值范围，再结合m是整数确定m的可能值，最后根据是无理数来确定m的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m是整数，
∴m的值可能为，，0，1，2，
∴当时，，是有理数，不符合要求；
当时，，是无理数，符合要求；
当时，，是无理数，符合要求；
当时，，是有理数，不符合要求；
当时，，是无理数，符合要求．
所以整数m的值为或0或2，
故答案为：或0或2．
易错题型十五、实数的概念、分类与性质
43．已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键．
根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确；
实数与数轴上的点一一对应，故③项正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴无理数也有无限个，故④项错误．
∴正确的是②③．
故选：B．
44．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，，
(1)有理数集合：{ }；
(2)无理数集合：{ }；
(3)负实数集合：{ }．
【答案】(1)，，，，，
(2)，，
(3)，，
【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义分类即可得．
（1）整数和分数统称为有理数，包含有限小数，无限循环小数，据此求解即可；
（2）无限不循环小数是无理数，常见形式：开方开不尽的数，含的式子等，据此求解即可；
（3）小于的实数为负实数，据此求解即可．
【详解】（1）解：，故是分数，是有理数；
，故是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是无限循环小数，是有理数；
故有理数集合：{，，，，，}．
（2）解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数；
中是无限不循环小数，故是无限不循环小数，是无理数；
，是开方开不尽的数，故是无限不循环小数，是无理数；
故无理数集合：{，，}．
（3）解：∵，故是负实数；
∵，故是负实数；
∵，故是负实数；
故负实数集合：{，，}．
45．已知，且，求的值．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，实数的性质，根据题意可得或，据此分情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴或，
当时，；
当时，．
综上所述，的值为2或．
易错题型十六、实数的混合运算
46．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是关键．
（1）利用立方根和算术平方根化简，再计算即可；
（2）利用立方根、算术平方根、绝对值化简，再计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
47．计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
48．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）利用立方根的定义计算后再算加减即可；
（2）先去括号及绝对值，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
易错题型十七、新定义下的实数运算
49．请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根．
(1)81的四次方根为______；32的五次方根为______；
(2)若有意义，则______；
(3)求x的值：．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
（1）根据四次方根和五次方根的定义求解即可；
（2）根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可；
（3）利用四次方根解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
或，
或．
50．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，．
【解答问题】
(1)________；
(2)若，求整数的值；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)6
(2)10，11
(3)12
【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据实数的新定义直接解答即可；
（2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解；
（3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解；
【详解】（1）解：∵，
，
，
故答案为：6；
（2）解：∵，
，
解得：，
∴整数的值为 10，11 ；
（3）解：，
，
，
原式
．
51．（1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，_____；
（2）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数，例如可将化为，再由近似公式得到．利用此公式计算的近似值．
【答案】（1）4，5；（2）
【分析】本题考查无理数的估值计算方法，对阅读资料的归纳和应用以及正整数的平方与非平方正整数的和，找出无理数的最大整数平方是解题关键．
（1）结合，得，再根据介于连续的两个整数a和b之间，即可作答．
（2）由题意得到a和r的值，再利用所给的公式可得解答．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵介于连续的两个整数a和b之间，
∴，
故答案为：4，5；
（2）∵公式，
将其变形得，
∴，，
∴．
故答案为．
易错题型十八、实数运算的规律题
52．观察下列算式：
①；②；③；④；…
(1)写出第⑥个等式；
(2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可；
（2）通过观察可得第个等式为；
（3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可．
【详解】（1）解：第⑥个等式为，
故答案为：；
（2）第个等式为，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键．
53．观察下列各式：
；；；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；
(3)应用计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据提供的解法可得答案；
（2）根据规律推广至一般情况即可；
（3）利用上述规律方法解答即可．
【详解】（1），
故答案为：，；
（2）由上述规律可得，
；
（3）．
【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键．
54．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 　 　．
(2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　．
(3)利用（2）中结论计算：．
【答案】(1)＝7
(2)n+1
(3)14
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据得出的结论可知，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：，
故答案为：；
（3）解：根据（2）中的规律知，
．
【点睛】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．
易错题型十九、二次根式有意义的条件
55．求使下列各式有意义的字母x的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；
（3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；
【详解】（1）解：∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴，
∴；
（3）解：∵
∴，
∴．
56．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴且，
解得且，
即，
故选：B
57．已知，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握被开方数的非负性是解题的关键．
利用被开方数的非负性可求出x的值，进而求出y的值，即可求出答案;
【详解】解：由题意得，，解集为：
∴
∴
故答案为：3.
易错题型二十、利用二次根式的性质化简
58．化简：
（1） ， ；
（2） ， ．
【答案】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简即可得解；
（2）根据二次根式的性质化简即可得解．
【详解】解：（1），，
故答案为：；；
（2），，
故答案为：；．
59．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简．观察数轴可知：，，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算化简即可．
【详解】解：观察数轴可知：，，，
，
，
故答案为：．
60．已知，，的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式，
解得，
∵，
∴，，
∴，
则，
∴，
则的平方根为，
故答案为：．
易错题型二十一、二次根式的混合运算
61．计算：．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和法则．
先利用二次根式的除法和平方差公式计算，然后利用二次根式的性质化简，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
62．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再进行加减混合运算；
（2）先计算乘法，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
63．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数混合运算法则，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可；
（3）根据算术平方根定义，立方根定义和绝对值意义，进行计算即可；
（4）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
易错题型二十二、最简二次根式与同类二次根式
64．将下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键．
（1）利用二次根式的性质化简求解；
（2）利用二次根式的性质化简求解；
（3）利用二次根式的性质化简求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴．
65．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)和；
(2)和．
【答案】(1)不是；
(2)不是．
【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．
（1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
（2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】（1）解：；
．
∴和不是同类二次根式；
（2）解：；
．
∴和不是同类二次根式．
66．判断下列二次根式是否为同类二次根式．
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
【答案】(1)不是；
(2)不是；
(3)不是；
(4)是．
【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．
（1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；
（2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；
（3）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；
（4）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴和不是同类二次根式；
（2）解：∵；
∴和不是同类二次根式；
（3）解：∵；
∴和不是同类二次根式；
（4）解：∵，，
∴和是同类二次根式．
易错题型二十三、分母有理数
67．阅读下列解题过程：
；
；
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，化简：
；
；
(2)利用上面提供的解法，请计算：．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了利用平方差公式对分母进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键．
（1）根据题目的运算法则计算，即可得答案；
（2）根据规律，化简求值即可．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
．
68．阅读下面的材料，并解答问题：
；
；
；
(1)填空： ， （为正整数；
(2)利用（1）发现的规律计算：
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式分母有理化即可；
（2）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；
【详解】（1）解：由题意知
，
，
故答案为： ；；
（2）解：
．
69．阅读下列材料，并回答问题
；
；
；
…
(1)填空：__________；
(2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果；
(3)试比较与的大小；
(4)计算：（提示：）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)44
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键．
（1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答；
（2）仿照材料方法计算即可；
（3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可；
（4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：
．
（3）解：根据材料可知，，，
∵，
，即．
（4）解：
．
易错题型二十四、已知字母的值化简求值
70．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化．，先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
71．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后去括号合并化简，再把a的值代入计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
72．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴
∴，即
∴
∴．
请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：
(1)分母有理化：______，
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)9
【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键.
（1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案；
（2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案；
（3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，即．
∴，
∴．
易错题型二十五、比较二次根式的大小
73．已知：，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化，
先分别表示出，再比较分母即可.
【详解】解：，，，
，
，
即.
故选：D.
74．通过估算，比较下列各组数的大小：
（1）6 ；
（2） ；
（3） 1；
（4） ．
【答案】
【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键．
（1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解；
（2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可；
（3）把与作差，再与比较即可；
（4）把与作差，再与比较即可．
【详解】解：（1），且，
，
故答案为：．
（2）被开方数，
，
故答案为：．
（3），
，即，
故答案为：．
（4），
，即，
故答案为：．
75．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以．
请结合上述材料解决下列问题．
(1)比较，的大小；
(2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
（1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可；
（2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，
；
（2）解：， ，
， ，
，
，
，
故答案为：．
易错题型二十六、二次根式的应用
76．如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是．
(1)求长方形的周长；
(2)求长方形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了算术平方根的应用，
（1）首先求出，，得到，进而求解即可；
（2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是
∴，
∴
∴长方形的周长；
（2）∵
∴
∴长方形的面积．
77．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．

(1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（）
(2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键．
（1）代入和到，即可求解；
（2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，
则，
答：广州塔发射节目信号的传播半径为；
（2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为，
∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为，
∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为，
答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为．
78．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响
(1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害
【答案】(1)落到地面的时间为；
(2)这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
（1）依据题意，由，，则，进而可以得解；
（2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，，，
，
答：落到地面的时间为；
（2）由题意，，，
，
这串钥匙在下落后会对人体造成危害．