南阳一中高二年级 2025 年秋期第一次月考
数学学科试题
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分）
1．（教材 p13）经过点 1,2 ，且在 x 轴和 y 轴上截距相等的直线方程是（）
A、 x y 3 0 B、 x y 3 0或2x y 0
C、 x y 1 0 D、 x y 1 0或2x y 0
2.（教材 P35 改编）已知直线 l：y x b，圆 C： x 1 2 y 1 2 2，当直线 l 与圆 C 有交
点时，b 的取值范围是（ ）
A、 0，4 B、 1，3 C、 ，4 D、 0，4
3．（教材 P19 改编）已知两条不重合直线 l1 : ax 3y 3 0 和 l2 : x (a 2)y 1 0，若 l1 // l2 ，
则 a 的值为（ ）
A、 3 3B、 C、1 D、 3或1
2
4．直线 l 经过 A 2,1 ，B 1, m2 m R 两点，那么直线 l 的倾斜角a 的取值范围是（ ）
é π
A． ê ,
π é
÷ B． ê0,
π ù U π , π éC 0,
π ù é π , πD
π
4 2 4 ú
．
2 ÷ ê 4 ú
． ê 4 2 ÷
U , π ÷
è è 2
5．已知 A 8, 4 ，B 6, 6 ，直线 l1： kx y 2k 4 0 与直线 l2： x ky 2k 4 0相交于点
M ，则VABM 的面积最大值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．20
2 2
6. x y已知椭圆C ： 2 2 1(a > b > 0) 的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上任意一点到F1，F2的a b
距离之和为 4，过焦点F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆C 于A ， B 两点，若线段 AB 的长为 3，则
椭圆C 的方程为（ ）
2 2 2 2 2 2
A y x． x2 1 B． y2 1 C x y． 1 D x y． 1
3 3 4 3 3 2
7．（教材 P27 改编）若点 A（ 2，1），点 B 为曲线 C： x y 1上一点，则直线 AB 的倾斜角
取值范围是（）
é 0ù é3 A、 ê ，ú B
ù
、
4 ê
，
4 ú
3
C é 、 ê ， ÷ D、以上三项都不对 4
8．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在
1765 年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧
拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系 xOy 中，VABC 的顶点 A 0,2 ，B 1,0 ，则
“VABC 的欧拉线方程为 x= 1”是“点 C 的坐标为 2,2 ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9．（教材 P27）（多选）已知三条直线 l1, l2 , l3的斜率分别为 k1,k2 ,k3，倾斜角分别为a， ， ，
且 k1 k2 k3，则倾斜角a， ， 的大小关系可能是
A、a B、a
C、 a D、 a
10．下列结论正确的是（ ）
A．若直线 l ：ax by 1 2 2 1与圆O： x y 相交，则点 a,b 在圆O的外部
4
B．直线 kx y 3k 1 0被圆 x 2 2 y 2 2 4所截得的最长弦长为 2 2
C．若圆 x2 y2 r 2 上有 4 个不同的点到直线 x y 2 0 的距离为 1，则有 r > 2 1
D．若过点P 1, 3 作圆O： x2 y2 r 2 的切线只有一条，则切线方程为 x 3y 4 0
11．已知圆 x2 (y 1)2 1与 y 轴交于O（原点）,C 两点,点A 是圆上的动点, B 2,0 ,则（ ）
uuur
A． AB 的最大值为 5 1
uuur uuur
B．"x R, OB xBC 的最小值为 1
uuur uuur
C． 2 OA ×OB 2
uuur uuur uuur
D．令OA lOB mOC ,则存在两个不同的点A ,使l m 1
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12 y
2 x2
．若 2 1表示椭圆，则实数 k 的取值范围为 4k 1 k 5
13．（教材 P23 改编）已知 A x1, y1 , B x2 , y2 是直线 l : y kx 1上的两点，若 x1 x2 4，且
AB 5，则直线 l 的一般式方程为
14．已知点 P 2,1 到动直线 ax a by 5b 0的投影点为 Q，若点R 3,3 ，则 QR 的最大值
是 ．
四、解答题（共 77 分）
15．（13 分）已知圆C 过点 1,1 ，圆心在 y 轴正半轴上，且与直线 y x 4相切.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)已知过点P 1,4 的直线 l 交圆C 于 A, B两点，且 AB 2 ，求直线 l 的方程.
16．（15 分）已知 的顶点B 3,4 ， AB 边上的高所在直线为 l1： x y 3 0，BC 边上
的中线所在直线为 l2： x 3y 7 0， E 为 AB 的中点.
(1)求点 E 的坐标；
(2)求过点 E 且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线 l的方程.
17．（15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O为坐标原点，已知直线 l1 : 2x y 2 0和
l2 : x (a 1)y 3 0 .
(1)若 l1 //l2，求 a的值及 l1与 l2之间的距离；
uuur uuur
(2)若 a 2，过点 P(3,0)
1
作直线 l 与直线 l1， l2分别交于点 A、B，且满足 AP AB ，求直线 l2
的方程.
18．（17 分）已知圆O : x2 y2 r 2 (r > 0) 与圆C : (x 4)2 ( y 3)2 16
(1)若圆O与圆C 有两个不同的交点，求 r 的取值范围;
(2)若 r 2，且圆O与圆C 有两个不同的交点D, E, 求线段 DE 的长;
(3)若 r=1，求圆O与圆C 的公切线方程.
19.（17 2 2分）已知方程： x y 2 t 3 x 2 1 4t 2 y 16t 4 9 0（ t R ）表示的图形是圆.
(1)求 t 的取值范围；
(2)求圆心的轨迹方程；
(3)求其中面积最大的圆的方程.南阳一中高二年级 2025 年秋期第一次月考
数学学科答案
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分）
1．B 2.D 3．C
4．B
π
【详解】因为 A, B两点横坐标不同，故倾斜角不为 2 ，
2
tana m -1= =1- m2 - ,1
由题意得 1- 2 ，
é π ù π
a 0, π a ê0, ú U , π ÷因为 ，所以 4 è 2 .
故选：B
5．B
6.C
依题意，由椭圆定义得 2a = 4，即 a = 2，
x2 y2
2 + 2 = 1(a > b > 0)
令椭圆C ： a b 的半焦距为 c，则 F2(c，0)，直线 AB：x=c，
ì x = c
í x2 y2 2
+ =1 | y | b= | AB | 2b
2
由 a
2 b2 = = 3得 a
2
，于是得 a ，则b = 3，
x2 y2
+ =1
所以椭圆C 的方程为 4 3 .
故选：C
0 U é3 ê ， ÷
7．D，应为 4
(a -1, b + 2)
8．A【详解】若VABC 的欧拉线方程为 x=-1，设点C(a,b) ，则VABC 的重心为 3 3 ，显然点
(a -1, b + 2)
3 3 在直线 x=-1上，于是得 a = -2 ，
( 1- ,1) y -1 1= - (x 1+ )
直线 AB 的斜率为 2，线段 AB 的中点 2 ，则线段 AB 的中垂线方程为 2 2 ，即
x 2y 3+ - = 0
2 ，
ìx= -1
í 3
x + 2y - = 0 O
5
1(-1, ) | CO |=| BO | (-2 +1)
2 + (b 5- )2 (5= )2
由 2 得VABC 的外心 4 ，即有 1 1 ，因此 4 4 ，
b 1= -2,2 (-2,
1)
解得b = 2 或 2 ，于是得点 C 的坐标为 或 2 ；
4 5
C -2,2
(-1, ) (-1, )
当 的坐标为 时，VABC 的重心为 3 ，外心为 4 ，因此VABC 的欧拉线方程为
x=- 1，
所以“VABC -2,2 的欧拉线方程为 x=- 1”是“点 C 的坐标为 ”的必要不充分条件.
故选：A
9．ACD
10．AD
1 1
< 2 1
2 2 a + b2 > 4 >
【详解】对于 A a + b 2 a,b 项，由题意可得 ，所以 4 ，从而点 在圆O的外部，
故 A 项正确；
B kx - y - 3k +1 = 0 3,1 3 - 2
2 + 1- 2 2 < 4
对于 项，直线 恒过定点 ， ，
3,1
点 在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径 4，故 B 项错；
2
= 2 >1
对于 C 项，圆心到直线的距离为 2 ，如图，直线 x - y - 2 = 0 与圆相交，
l1，l2与 l r > 2 +1平行，且与直线 l 的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该满足 ，故 C 项错
误；
P 1, 3 2
对于 D 项，过点 作圆O： x + y
2 = r 2 的切线只有一条，则点 P 在圆O上，
1 1
- = -
k = 3
又 OP ，故切线的斜率为 kOP 3 ，
y 1- 3 = - x -1
所以切线方程为 3 ，即 x + 3y - 4 = 0，故 D 项正确.
故选：AD.
11．ACD
x2 + (y -1)2 =1 M 0,1 ，【 详 解 】 圆 的 圆 心 为 半 径 r =1,
uuur
\ MB = 22 + -1 2 = 5,\ AB = MB + r = 5 +1,
max 故A 正确；
uuur uuur
C 0,2 ,\OB - xBC = 2 + 2x, -2x ,
由 题 知
uuur uuur 2
\ OB - xBC = 2 + 2x 2 + -2x 2 = 2 2x2 + 2x +1 = 2 2 x
1 1
+ ÷ + ,
è 2 2
1 uuur uuur 1x = - OB - xBC 2 = 2,
当 2 时, 取得最小值为 2 故B错误；
uuur uuur uuur -1,1 , OB = 2,
根据向量投影的几何意义 , 知 OA在 OB方向上的投影的取值范围为
uuur uuur
\OA ×OB -2,2 ,故C 正确；
uuur uuur uuur
若OA = lOB + mOC ,且l + m =1 ,则 A, B,C 三点共线.
1- 2 1
= < r,
Q直线BC 的方程为 x + y - 2 = 0,\
2 2
圆心M 到直线BC 的距离为 1 +1 2
所以直线BC 与圆相交,故存在两个不同的点A ,使l + m =1 ,故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
- 5 1 ，2 - 2 2 2 - 2 2， ÷
12． è 4
13．3x - 4y + 4 = 0或3x + 4y - 4 = 0
14．6
ax - a + by - 5b = 0 a x -1 + b y - 5 = 0【详解】 变形为 ，
ìx -1 = 0 ìx =1
í í
令 y - 5 = 0 ，解得 y = 5，
故 ax - a + by - 5b = 0 A 1,5 恒过点 ，
Q x, y
设点 ，则 PQ⊥ AQ ，
uuur uuur
PQ × AQ = x + 2, y -1 × x -1, y - 5 = 0
即 ，
1 2 x y 3 2 25 + ÷ + - =
整理得 è 2 4 ，
B 1 - ,3
5
Q 2 ÷所以 点轨迹为以 è 为圆心， 2 为半径的圆，
1 2 3+ + 3- 3 2 25 ÷ >
又 è 2 4 R 3,3 ，即 在圆外，
2
BR 5+ = 3 1+ QR ÷ + 3- 3
2 5+ = 6
则 的最大值为 2 è 2 2 .
故答案为：6
四、解答题（共 77 分）
15．（13 分）
2
(1) x + (y - 2)
2 = 2
(2) x=- 1或3x + 4y -13 = 0 .
1 C 0, t , t > 0（ ）解：设圆心为 ，
t - 4
(0 -1)2 + (t -1)2 =
依题意有 2 ，解得 t = 2或 t = -6（舍去），
\C 20,2 r = 0 -1 + 2 -1 2 = 2
，则 ，
故圆C x
2
的标准方程为 + (y - 2)
2 = 2
2 2
（2）若 l 斜率不存在，则 l : x = -1 C -1 + (y - 2) = 2，代入圆 方程得 ，
解得 y = 3 y =1 \ AB = 2或 ， ，符合题意；
l l : y - 4 = k x +1 若 斜率存在，设斜率为 k ，则直线 ，即 kx - y + k + 4 = 0 ，
2
AB
d = r 2 - =1
C 2
÷
由圆心 到直线 l 的距离为 è ，
k + 2
=1 3 l : 32 k = - \ - x y
3
- - + 4 = 0
即 k +1 ，所以 4 ， 4 4 ，即3x + 4y -13 = 0
综上，所求直线 l 的方程为 x=- 1或3x + 4y -13 = 0 .
16．（15 分）
(1) AB ^ l1 l解：因为 ，而直线 1： x + y - 3 = 0的斜率为 -1，
y - 4 =1 x - 3
所以直线 AB 的斜率为1，即直线 AB 的方程为： ，即 x - y +1 = 0 ，
ìx + 3y - 7 = 0
í
所以点A 在直线 AB 与BC 边上的中线的交点， x - y +1 = 0 ，解得 x =1， y = 2，
所以顶点 A 1,2的坐标 ( ) ，而 E 为线段 AB 的中点，所以
E 1+ 3 , 4 + 2
è 2 2 ÷ E 2,3 ，即 的坐标 ；
(2)解：当直线 l经过原点时，设直线 l的方程为 y = kx ，将 E 的坐标
3
2,3 k = y
3
= x
代入可得3 = 2k ，解得 2 ，这时直线的方程为 2 ；当
x y
+ =1
直线 l不过原点时，设直线 l的方程为 a a ，
2 3
E 2,3 + =1
将 代入可得 a a ，解得a = 5，这时直线 l的方程为 x + y - 5 = 0，
y 3= x
综上所述：直线 l的方程为 2 或 x + y - 5 = 0 .
8 5
17．（15 分）(1) 5
(2)8x - y - 24 = 0
【详解】（1）直线 l1的斜率 k1 = 2，
因为 l1 //l2，所以直线 l2 k = 2的斜率存在，设为 k2 ，且 2 .
k 1 1 12 = - - = 2 a =
即 a -1，所以 a -1 ，解得 2 .
1
a 1= l : x - y + 3 = 0
将 2 l
2
2 2 l2 : 2x - y + 6 = 0代入直线 得 ，即 ，
C1 - C2 | -2 - 6 | 8 8 5d = = = =
所以 l1与 l
2
2之间的距离为 A + B
2 22 +12 5 5 .
（2）若 a = 2 l2 : x + y + 3 = 0，则 ，
uuur 1 uuurAP = AB
由 2 可知，点 P 是线段 AB 的中点，
B x0 , -3 - x 设 0 ，所以点 B P(3,0) A 6 - x ,3 + x 关于 的对称点 0 0 ，
因为点A 在直线 l1上，
A 6 - x0 ,3 + x 把点 0 代入 l1方程 2x - y - 2 = 0 2 6 - x0 - 3+ x0 - 2 = 0，即 ，
x 70 =
解得 3 ，
B 7 , 16- ÷
所以 è 3 3 ，
16
- - 0
k 3l = 7 = 8 16
- 3 y + = 8
x
7
- ÷
可得直线斜率 3 ，所以直线 l 的方程为 3 è 3 ，即 y = 8x - 24，
所以直线 l 的方程为8x - y - 24 = 0 .
18．（17 分）(1)1< r < 9；
231
(2) 5 ；
(3) 4x + 3y - 5 = 0， y = -1， 24x - 7y + 25 = 0 .
2 2 2
【详解】（1）圆O : x + y = r (r > 0) 的圆心O(0,0) ，半径为 r ，
圆C : (x - 4)
2 + ( y - 3)2 = 16的圆心C(4,3)，半径为 4，
由圆O与圆C 有两个不同的交点，得 | r - 4 |<| OC |< r + 4，而 | OC |= 5，
因此 | r - 4 |< 5 < r + 4，解得1< r < 9，
所以 r 的取值范围是1< r < 9 .
2 2
（2）当 r = 2时，圆 O : x + y = 4 ，此时圆 O与圆 C 相交，两圆方程相减得直线 DE 方程
8x + 6y -13 = 0 ，
d | -13 | 13= =
O 2 2点 到直线DE 的距离 8 + 6 10 ，
| DE |= 2 r 2 - d 2 = 2 4 169 231- =
所以 100 5 .
（3）当 r =1时， | OC |= r + 4，即圆O与圆C 外切，圆O与圆C 有 1 条内公切线 l ，2 条外公切
线 l1, l2 ，
ì t
=1
k 2 +1
í
4k - 3 + t = 4
显然切线 l, l1, l
2
2的斜率存在，设方程为 y = kx + t ，则 k +1 ，
ìk 4 = -
ì-5t = 4k - 3 ì 3t = 4k - 3 ì -5t
= 4k - 3 3í
í 2 í í
5
k +1 = t k 2 +1 = t k 2
+1 = t
t =
整理得 或 ，解 ，得 3
ìk 24 =
3t 4k 3 = - 7ì ìk = 0 íí 25
k 2 +1 = t ít 1 t =解 ，得 = - 或 7 ，
y 4= - x 5+
因此内公切线 l 的方程为 3 3 ，即 4x + 3y - 5 = 0；
y 24 x 25
外公切线 l1的方程为 y = -1
= +
， l2的方程为 7 7 ，即 24x - 7y + 25 = 0，
所以圆O与圆C 的公切线方程为 4x + 3y - 5 = 0， y = -1， 24x - 7y + 25 = 0 .
19.（17 分）
1
- < t <1
【答案】(1) 7
y = 4x2 - 24x + 35 x
20 , 4
è 7 ÷ ÷(2) è
24 2 2 x - + ÷ y
13 16+ ÷ =
(3) è 7 è 49 7
2
é x -
2
t + 3 ù + é y + 1- 4t 2 ù = -7t 2 + 6t +1（1）原方程可整理为 .
1
2 2 - < t <1
则 r = -7t + 6t +1 > 0，解得 7 .
ì x = t + 3, 1
P x, y íy = 4t 2 -1, - < t <1
20
< x < 4
（2）设圆心坐标为 ，则 ，由 7 得 7 .
y 20 = 4x2 - 24x + 35 x , 4÷
消去 t 可得 è è 7
÷
，此即为圆心的轨迹方程，
（3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大，
3 2r 2 = -7t 2 + 6t +1 = -7 t 16 1 - ÷ + t
- ,1
÷
则 è 7 7 ， è 7 .
24 2 2 13 16
t 3 16= x - + y + =
7 2
÷ ÷
所以当 时， r 的最大值为 7 ，此时圆的方程为 è 7 è 49 7 .
