2.4 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
学习 目标 1. 根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程． 2. 会根据已知条件求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 若圆A的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆A的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2．
2. 已知点P(x0，y0)和圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆A的圆心坐标为(a，b)，半径为r，设d＝|PA|.
位置关系 几何法 代数法
点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × )
(2) 确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ )
(3) 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(1，2)，半径为4.( × )
(4) 点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( × )
典例精讲能力初成
探究1 求圆的标准方程
例1 (教材P83例2、P84例3补充)求满足下列条件的圆的标准方程．
(1) 圆心坐标为(3，4)，且经过坐标原点；
【解答】 设所求圆的半径为r，又圆经过坐标原点，圆心坐标为(3，4)，所以r＝＝5，从而所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
(2) 经过点A(3，1)，B(－1，3)，且圆心在直线3x－y－2＝0上；
【解答】 方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得
即解得所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法二：由直线AB的斜率k＝＝－，可知AB的垂直平分线m的斜率为2.因为线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为＝1，＝2，所以m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心为上述两条直线的交点，联立方程组得所以圆心为C(2，4)，半径r＝|CA|＝，从而所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法三：设圆心为C.因为圆心在直线3x－y－2＝0上，所以可设圆心C的坐标为(a，3a－2).又因为|CA|＝|CB|，所以＝，解得a＝2，从而所求圆心的坐标为(2，4)，半径r＝|CA|＝，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
(3) 已知直线y＝2x－4与两坐标轴交于A，B两点，O为原点，求△AOB外接圆的方程．
【解答】 因为∠AOB＝90°，所以AB就是圆的直径．因为A，B的坐标分别为(2，0)，(0，－4)，所以线段AB的中点C的坐标为(1，－2)，且为所求圆的圆心．又因为|AB|＝＝＝2，所以r＝＝，从而所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
确定圆的标准方程，从思路上可分为两种方法：几何法和待定系数法．
(1) 几何法：由圆的几何性质求出圆心的坐标和半径长，然后将对应值代入标准方程求解即可．
(2) 待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数的值，从而确定圆的标准方程．
变式1 (多选)已知圆M过点A(1，3)，B(－2，4)，且圆心M在x轴上，则下列说法正确的是( ABD )
A. 圆心M的坐标为
B. 圆M的方程为＋y2＝
C. 圆M与y轴的交点为
D. 圆M上一点到点的距离的最大值为5＋
【解析】 根据圆心M在x轴上，设M(m，0)，由|AM|2＝|BM|2，得(m－1)2＋9＝(m＋2)2＋16，解得m＝－，所以M，故A正确；圆的半径r满足r2＝(m－1)2＋9＝，所以圆的标准方程为＋y2＝，故B正确；对于＋y2＝，令x＝0，得y＝±，所以圆M与y轴的交点的坐标为，故C错误；因为点到圆心M的距离为＝5，半径r＝＝，所以圆M上一点到点的距离的最大值为5＋，故D正确．
探究2 点与圆的位置关系
例2 (教材P83例1补充)已知点A(－1，4)，B(5，－4)，求以AB为直径的圆的标准方程，并判断点C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系．
【解答】 方法一：设圆心为Q(x0，y0)，半径为r.由题意得即所以圆心为Q(2，0).又r＝＝5，所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.因为|QC|2＝(5－2)2＋12＝10r2，所以点E在圆外．
方法二：设圆上任意一点P的坐标为(x，y)，由题意知·＝0，则(x＋1，y－4)·(x－5，y＋4)＝0，即(x＋1)(x－5)＋(y－4)(y＋4)＝0，化简并整理得(x－2)2＋y2＝25.以下同方法一．
(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(设圆上任意一点P的坐标为(x，y)，可以由·＝0推得).
(2) 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是将圆心到该点的距离与半径比较；二是将该点的坐标代入圆的标准方程，判断所得数值与r2的大小关系．
变式2 已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则的最大值为＋2，最小值为－2．
【解析】 因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，所以表示点A(－1，－1)与圆x2＋(y＋4)2＝4上点的距离．如图，设圆心为C，则|AC|＝＝>2，所以点A在圆C外，从而的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2.
(变式2答)
随堂内化及时评价
1. 若点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为．
【解析】 由得a＜－.
2. 若直线x＋2y＋3＝0平分圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长，则a＝7．
【解析】 当直线过圆心时，直线将圆的周长平分，将圆心的坐标(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0，解得a＝7.
3. 已知点A(1，1)，B(5，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5．
【解析】 方法一：由题意知圆心即为AB的中点，所以圆心坐标为(3，2)，从而圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5.
方法二：设圆上任一点P的坐标为(x，y)，则·＝0，即(x－1)(x－5)＋(y－1)(y－3)＝0，整理可得x2＋y2－6x－4y＋8＝0，即(x－3)2＋(y－2)2＝5.
4. 已知圆C过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线x＋y－3＝0上，则该圆的半径为．
【解析】 由题意知AB的中点的坐标为，kAB＝＝－，则线段AB的垂直平分线的方程为y－＝3，即y＝3x－5.联立解得所以圆心C的坐标为(2，1)，从而该圆的半径r＝|CA|＝.
5. 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1关于原点对称的圆的方程为( C )
A. (x－1)2＋(y－2)2＝1
B. (x＋1)2＋(y＋2)2＝1
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
D. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
【解析】 因为圆心坐标为(1，－2)，半径为1的圆关于原点对称的圆的圆心坐标为(－1，2)，半径为1，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知．已知点A(1，3)，B(3，－1)，则以AB为直径的圆的标准方程为( A )
A. (x－2)2＋(y－1)2＝5
B. (x－2)2＋(y－1)2＝20
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝5
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝20
【解析】 由题意得所求圆的圆心坐标为(2，1)，半径为|AB|＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
2. 若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则实数k的值为( B )
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
【解析】 依题意，圆心在直线y＝kx＋3上，则1＝k＋3，解得k＝－2.
3. 若点(2，1)在圆＋＝a的外部，则实数a的取值范围是( C )
A. (0，＋∞) B.
C. D.
【解析】 由点(2，1)在圆＋＝a的外部，可知a>0，且＋>a，解得0＜a＜.
4. 已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( B )
A. (x－2)2＋(y＋3)2＝36
B. (x－2)2＋(y＋3)2＝25
C. (x－2)2＋(y＋3)2＝18
D. (x－2)2＋(y＋3)2＝9
【解析】 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0.由解得所以P(－1，1).因为圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，所以|PC|＝＝5，从而所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
二、 多项选择题
5. 已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( ABC )
A. 圆M的圆心坐标为(4，－3)
B. 点(1，0)在圆M内
C. 圆M的半径为5
D. 点(－3，1)在圆M内
【解析】 圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A，C正确；由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆M内，故B正确；由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆M外，故D错误．
6. 过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为( BC )
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
【解析】 因为圆过点A(1，－1)与B(－1，1)，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，且kAB＝＝－1.因为AB的中点为C(0，0)，所以过圆心且与AB垂直的直线l的方程为y＝x.设所求圆的圆心坐标为(m，m)，因为半径为2，所以圆的方程为(x－m)2＋(y－m)2＝4，将点A的坐标代入，得(1－m)2＋(－1－m)2＝4，解得m＝±1.综上，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4.
三、 填空题
7. 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
【解析】 方法一：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M的坐标为(a，1－2a).因为点(3，0)和(0，1)均在圆M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，从而＝＝R，即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，于是M(1，－1)，R＝，故圆M的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二：由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线 y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点，可得M(1，－1).所以R＝，故圆M的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
8. 已知圆C的圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25．
【解析】 如图，由题意知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3.故圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
(第8题答)
四、 解答题
9. 已知圆M过A(1，－1)，B(－1，1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1) 求圆M的标准方程；
【解答】 设圆M的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意得解得所以圆M的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2) 若圆M上存在点P，使|OP|＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围．
【解答】 由(1)知M(1，1)，r＝2，故|OM|＝.如图，易得m＝|OP|∈[2－，2＋].
(第9题答)
10. 已知点A，B的中点的坐标是(1，5)，且________.
在①A(4，a)，B(－2，4)，②A(b，6)，B(－2，b)，③A(4，6)，B(c，4)中任选一个条件，补充在上面的问题中，并解答．
(1) 求直线AB的方程；
【解答】 若选①，则＝(1，5)，解得a＝6，所以A(4，6)，B(－2，4)；若选②，则＝(1，5)，解得b＝4，所以A(4，6)，B(－2，4)；若选③，则＝(1，5)，解得c＝－2，所以A(4，6)，B(－2，4).由A(4，6)，B(－2，4)，得直线AB的方程为y－6＝(x－4)，化简得x－3y＋14＝0.
(2) 求以线段AB为直径的圆的方程．
【解答】 由|AB|＝＝2，知圆的半径r＝，又圆心坐标为(1，5)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－5)2＝10.
11. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( A )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】 设圆心C的坐标为(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆．如图，由图知|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当点C在点C′的位置时取等号．
(第11题答)
12. 某圆拱形桥一孔圆拱如图所示，圆拱跨度|AB|＝24 m，拱高|OP|＝6 m，建造时每间隔3 m需要用一根支柱支撑，则|A1P1|＝3 m．
(第12题)
【解析】 如图，建立平面直角坐标系．设过点A，P，B的圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为点B(12，0)，P(0，6)在圆上，所以解得所以圆的标准方程为x2＋(y＋9)2＝225.令x＝－9，得81＋(y＋9)2＝225，即(y＋9)2＝225－81＝144，又y>0，所以y＋9＝12，解得y＝3.
(第12题答)
13. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点M(3，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0，1)在BC边所在直线上．
(第13题)
(1) 求AD边所在直线的方程；
【解答】 因为AB⊥AD，所以kAD＝－＝－＝－3.又因为点E(0，1)关于点M(3，0)的对称点(6，－1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)，即3x＋y－17＝0.
(2) 求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程．
【解答】 联立得所以A(5.8，－0.4)，从而r2＝|AM|2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8.所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8.2.4 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
学习 目标 1. 根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程． 2. 会根据已知条件求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 若圆A的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆A的标准方程为 ．
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为 ．
2. 已知点P(x0，y0)和圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆A的圆心坐标为(a，b)，半径为r，设d＝|PA|.
位置关系 几何法 代数法
点在圆外 d r
点在圆上 d r
点在圆内 d r
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2) 确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( )
(3) 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(1，2)，半径为4.( )
(4) 点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( )
典例精讲能力初成
探究1 求圆的标准方程
例1 (教材P83例2、P84例3补充)求满足下列条件的圆的标准方程．
(1) 圆心坐标为(3，4)，且经过坐标原点；
(2) 经过点A(3，1)，B(－1，3)，且圆心在直线3x－y－2＝0上；
(3) 已知直线y＝2x－4与两坐标轴交于A，B两点，O为原点，求△AOB外接圆的方程．
确定圆的标准方程，从思路上可分为两种方法：几何法和待定系数法．
(1) 几何法：由圆的几何性质求出圆心的坐标和半径长，然后将对应值代入标准方程求解即可．
(2) 待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数的值，从而确定圆的标准方程．
变式1 (多选)已知圆M过点A(1，3)，B(－2，4)，且圆心M在x轴上，则下列说法正确的是( )
A. 圆心M的坐标为
B. 圆M的方程为＋y2＝
C. 圆M与y轴的交点为
D. 圆M上一点到点的距离的最大值为5＋
探究2 点与圆的位置关系
例2 (教材P83例1补充)已知点A(－1，4)，B(5，－4)，求以AB为直径的圆的标准方程，并判断点C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系．
(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(设圆上任意一点P的坐标为(x，y)，可以由·＝0推得).
(2) 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是将圆心到该点的距离与半径比较；二是将该点的坐标代入圆的标准方程，判断所得数值与r2的大小关系．
变式2 已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则的最大值为 ，最小值为 ．
随堂内化及时评价
1. 若点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为 ．
2. 若直线x＋2y＋3＝0平分圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长，则a＝ ．
3. 已知点A(1，1)，B(5，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ．
4. 已知圆C过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线x＋y－3＝0上，则该圆的半径为 ．
5. 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1关于原点对称的圆的方程为( )
A. (x－1)2＋(y－2)2＝1
B. (x＋1)2＋(y＋2)2＝1
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
D. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
配套新练案
一、 单项选择题
1. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知．已知点A(1，3)，B(3，－1)，则以AB为直径的圆的标准方程为( )
A. (x－2)2＋(y－1)2＝5
B. (x－2)2＋(y－1)2＝20
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝5
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝20
2. 若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则实数k的值为( )
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
3. 若点(2，1)在圆＋＝a的外部，则实数a的取值范围是( )
A. (0，＋∞) B.
C. D.
4. 已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A. (x－2)2＋(y＋3)2＝36
B. (x－2)2＋(y＋3)2＝25
C. (x－2)2＋(y＋3)2＝18
D. (x－2)2＋(y＋3)2＝9
二、 多项选择题
5. 已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A. 圆M的圆心坐标为(4，－3)
B. 点(1，0)在圆M内
C. 圆M的半径为5
D. 点(－3，1)在圆M内
6. 过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为( )
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
三、 填空题
7. 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的标准方程为 .
8. 已知圆C的圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则圆C的标准方程为 ．
四、 解答题
9. 已知圆M过A(1，－1)，B(－1，1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1) 求圆M的标准方程；
(2) 若圆M上存在点P，使|OP|＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围．
10. 已知点A，B的中点的坐标是(1，5)，且________.
在①A(4，a)，B(－2，4)，②A(b，6)，B(－2，b)，③A(4，6)，B(c，4)中任选一个条件，补充在上面的问题中，并解答．
(1) 求直线AB的方程；
(2) 求以线段AB为直径的圆的方程．
11. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
12. 某圆拱形桥一孔圆拱如图所示，圆拱跨度|AB|＝24 m，拱高|OP|＝6 m，建造时每间隔3 m需要用一根支柱支撑，则|A1P1|＝ m．
(第12题)
13. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点M(3，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0，1)在BC边所在直线上．
(第13题)
(1) 求AD边所在直线的方程；
(2) 求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程．(共43张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
学习 目标 1. 根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程．
2. 会根据已知条件求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 若圆A的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆A的标准方程为_________________ ____．
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为_____________．
2. 已知点P(x0，y0)和圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆A的圆心坐标为(a，b)，半径为r，设d＝|PA|.
位置关系 几何法 代数法
点在圆外 d_____r _________________________
点在圆上 d_____r _________________________
点在圆内 d_____r _________________________
x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
＞
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
＝
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
＜
(x0－a)2＋(y0－b)2二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． ( )
(2) 确定一个圆的几何要素是圆心和半径． ( )
(3) 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(1，2)，半径为4. ( )
(4) 点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上． ( )
×
√
×
×
典例精讲 能力初成
(教材P83例2、P84例3补充)求满足下列条件的圆的标准方程．
(1) 圆心坐标为(3，4)，且经过坐标原点；
1
求圆的标准方程
【解答】
探究
1
(2) 经过点A(3，1)，B(－1，3)，且圆心在直线3x－y－2＝0上；
【解答】
(3) 已知直线y＝2x－4与两坐标轴交于A，B两点，O为原点，求△AOB外接圆的方程．
【解答】
确定圆的标准方程，从思路上可分为两种方法：几何法和待定系数法．
(1) 几何法：由圆的几何性质求出圆心的坐标和半径长，然后将对应值代入标准方程求解即可．
(2) 待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数的值，从而确定圆的标准方程．
变式1
【解析】
【答案】ABD
(教材P83例1补充)已知点A(－1，4)，B(5，－4)，求以AB为直径的圆的标准方程，并判断点C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系．
2
点与圆的位置关系
【解答】
探究
2
因为|QD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2，所以点D在圆上．因为|QE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2，所以点E在圆外．
(2) 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是将圆心到该点的距离与半径比较；二是将该点的坐标代入圆的标准方程，判断所得数值与r2的大小关系．
【解析】
变式2
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 若点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为_________．
【解析】
当直线过圆心时，直线将圆的周长平分，将圆心的坐标(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0，解得a＝7.
2. 若直线x＋2y＋3＝0平分圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长，则a＝____．
7
【解析】
3. 已知点A(1，1)，B(5，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______________________．
(x－3)2＋(y－2)2＝5
【解析】
4. 已知圆C过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线x＋y－3＝0上，则该圆的半径为_____．
【解析】
因为圆心坐标为(1，－2)，半径为1的圆关于原点对称的圆的圆心坐标为(－1，2)，半径为1，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
5. 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1关于原点对称的圆的方程为 ( )
A.(x－1)2＋(y－2)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝1 D.(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C
配套新练案
一、 单项选择题
1. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知．已知点A(1，3)，B(3，－1)，则以AB为直径的圆的标准方程为 ( )
A.(x－2)2＋(y－1)2＝5 B.(x－2)2＋(y－1)2＝20
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝20
A
【解析】
2. 若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则实数k的值为 ( )
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
B
【解析】
依题意，圆心在直线y＝kx＋3上，则1＝k＋3，解得k＝－2.
【解析】
C
4. 已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为 ( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
【解析】
B
二、 多项选择题
5. 已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是 ( )
A. 圆M的圆心坐标为(4，－3) B. 点(1，0)在圆M内
C. 圆M的半径为5 D. 点(－3，1)在圆M内
ABC
【解析】
圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A，C正确；由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆M内，故B正确；由(－3－4)2＋ (1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆M外，故D错误．
6. 过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为 ( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
BC
【解析】
三、 填空题
7. 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的标准方程为______________________.
【解析】
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
8. 已知圆C的圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则圆C的标准方程为___________________________________．
【解析】
(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25
四、 解答题
9. 已知圆M过A(1，－1)，B(－1，1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1) 求圆M的标准方程；
【解答】
(2) 若圆M上存在点P，使|OP|＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围．
【解答】
10. 已知点A，B的中点的坐标是(1，5)，且________.
在①A(4，a)，B(－2，4)，②A(b，6)，B(－2，b)，③A(4，6)，B(c，4)中任选一个条件，补充在上面的问题中，并解答．
(1) 求直线AB的方程；
【解答】
(2) 求以线段AB为直径的圆的方程．
【解答】
11. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
【解析】
12. 某圆拱形桥一孔圆拱如图所示，圆拱跨度|AB|＝24 m，拱高|OP|＝6 m，建造时每间隔3 m需要用一根支柱支撑，则|A1P1|＝____ m．
【解析】
【答案】3
13. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点M(3，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0，1)在BC边所在直线上．
(1) 求AD边所在直线的方程；
【解答】
(2) 求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程．
【解答】
