第2课时 圆的一般方程
学习 目标 1. 探索并掌握圆的一般方程，能进行圆的一般方程和标准方程的互化． 2. 会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程．初步掌握点的轨迹方程的求法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心坐标为，半径为．
(1) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，因而方程表示一个点．
(2) 当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形．
(3) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 圆的一般方程可以化为标准方程．( √ )
(2) 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × )
(3) 若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ )
(4) 任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 圆的一般方程的概念
例1 判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．
(1) 3x2＋y2＋2x＋1＝0；
【解答】 因为x2，y2的系数不相等，所以方程不表示圆．
(2) x2＋y2＋xy＋1＝0；
【解答】 因为方程中含有xy项，所以该方程不表示圆．
(3) x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；
【解答】 因为D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，所以方程表示圆．又x2＋y2＋x＋2y＋1＝0，即＋(y＋1)2＝，所以它表示以为圆心，为半径的圆．
(4) x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
【解答】 方法一：因为D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.当m＝2 时，方程表示一个点；当m≠2时，方程表示圆，此时圆心坐标为(2m，－m)，半径r＝＝|m－2|.
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2.当m＝2时，方程表示一个点；当m≠2时，方程表示一个圆，其圆心坐标为(2m，－m)，半径r＝|m－2|.
判断一个二元二次方程是否能表示圆的一般步骤：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即含x2与y2项的系数相等且不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再判断它能否表示圆，此时有两种方法：①判断D2＋E2－4F是否大于零；②直接配方变形为类似于圆的标准方程的形式，看等式的右边是否为大于零的常数．
探究2 求圆的一般方程
例2 经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|等于( A )
A. 2 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，所以解得从而圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0，整理得(x－1)2＋y2＝4，于是圆心到y轴的距离d＝1，故|MN|＝2＝2.
求圆的方程时，如何判断该用圆的一般方程还是标准方程？
(1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程时，一般采用圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，用待定系数法求出a，b，r.
(2) 如果已知条件和圆心、半径无直接关系时，一般采用圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，用待定系数法求出参数D，E，F.
变式2 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
(变式2)
【解答】 由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3).设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将M，N，P三点的坐标分别代入上述方程，可得解得所以所求圆的一般方程为x2＋y2－y－9＝0，其圆心坐标为，半径r＝＝.
探究3 求与圆有关的动点的轨迹方程
例3 (教材P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解答】 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x＝，y＝.于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3 ①.因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋y＝4 ②.把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理得＋＝1，即为点M的轨迹方程，它表示以为圆心，1为半径的圆．
求轨迹方程的方法：
(1) 代数法，建立关于动点的横、纵坐标x，y的方程；
(2) 几何法，通过已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程．
变式3 (教材P87例5补充)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0).
(1) 求直角顶点C的轨迹方程；
【解答】 方法一：设顶点C的坐标为(x，y).因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1).
方法二：设顶点的坐标为C(x，y)，则x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
方法三：设顶点C的坐标为(x，y)，则x≠3且x≠－1.设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0).由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心、2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).因此直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1).
(2) 求直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解答】 设点M的坐标为(x，y)，C的坐标为(x0，y0).因为B(3，0)，M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝(x0≠3且x0≠－1)，y＝，从而x0＝2x－3(x≠3且x≠1)，y0＝2y.由(1)知(x0－1)2＋y＝4(x0≠3且x0≠－1)，将x0，y0代入该方程，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1).因此，动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1).
随堂内化及时评价
1. (2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( D )
A. B. 2
C. 3 D. 3
【解析】 将圆的一般方程x2＋y2－2x＋6y＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3.
2. 已知圆M经过A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4)三点，则圆心M到直线l：3x－4y－9＝0的距离为( D )
A. B. 1
C. 2 D. 3
【解析】 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝，从而圆心M到直线l：3x－4y－9＝0的距离为d＝＝3.
3. 已知圆C的方程为x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0，若点(1，2)在圆外，则m的取值范围是( D )
A. ∪(0，＋∞)
B. (0，＋∞)
C.
D. ∪(0，＋∞)
【解析】 因为点(1，2)在圆外，所以5－2m＋4m＋2m2－m－5＝2m2＋m>0，解得m<－或m>0.将圆C的一般方程x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0化为标准方程，得(x－m)2＋(y＋m)2＝m＋5，所以m＋5>0，即m>－5.综上，m的取值范围为∪(0，＋∞).
4. (2025·无锡期末)已知点A(5，0)，点B在圆(x－1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是( A )
A. x2＋y2－6x＋8＝0 B. x2＋y2－6x＋5＝0
C. x2＋y2＋6x＋8＝0 D. x2＋y2＋6x＋5＝0
【解析】 设点B的坐标为(x0，y0)，M的坐标为(x，y)，由题意可知所以又因为(x0－1)2＋y＝4，所以(2x－5－1)2＋(2y)2＝4，化简可得x2＋y2－6x＋8＝0，所以点M的轨迹方程为x2＋y2－6x＋8＝0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知圆C：x2＋y2＝2ax，若直线y＝2x＋1过圆心C，则实数a的值为( B )
A. 0 B. －
C. D. 1
【解析】 圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2，所以圆心坐标为C(a，0).因为直线y＝2x＋1过圆心C，所以2a＋1＝0，解得a＝－.
2. 若直线2x＋by－4＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则实数b的值为( D )
A. 2 B. －2
C. －3 D. 3
【解析】 因为直线2x＋by－4＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，所以直线2x＋by－4＝0过该圆的圆心．又圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(－1，2)，所以2×(－1)＋b×2－4＝0，解得b＝3.
3. 已知圆x2＋y2＋ax＋by＋1＝0关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则a＋b的值为( C )
A. －2 B. ±2
C. －4 D. ±4
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心是原点(0，0)，半径为1.设(0，0)关于直线x＋y＝1对称的点的坐标为(m，n)，则解得从而点(0，0)关于直线x＋y＝1对称的点的坐标为(1，1).所以圆x2＋y2＝1关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，将其化为一般式，得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，从而a＝b＝－2，于是a＋b＝－4.
4. 已知圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点，则圆C的方程为( D )
A. x2＋y2－4x－3y＝0
B. x2＋y2－x＋3y＝0
C. x2＋y2－5x－5＝0
D. x2＋y2－7x＋y＝0
【解析】 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点，所以解得D＝－7，E＝1，F＝0，所以圆C的方程为x2＋y2－7x＋y＝0.
二、 多项选择题
5. 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，那么下列说法正确的是( ABD )
A. 圆M的圆心坐标为(4，－3)
B. 圆M与x轴的交点为(0，0)和(8，0)
C. 圆M的半径为25
D. 点(1，－7)在圆M上
【解析】 由题意知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A正确，C不正确；在(x－4)2＋(y＋3)2＝25中，令y＝0，得(x－4)2＝16，所以x－4＝±4，从而x＝0或x＝8，于是圆M与x轴的交点为(0，0)和(8，0)，故B正确；在(x－4)2＋(y＋3)2＝25中，令x＝1，得(y＋3)2＝16，所以y＋3＝±4，从而y＝1或y＝－7，于是点(1，－7)在圆M上，故D正确．
6. 已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则下列结论正确的是( ACD )
A. 实数k的取值范围是
B. 实数k的取值范围是∪
C. 当圆的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
D. 圆的最大面积是π
【解析】 由题意知圆的标准方程为＋(y＋1)2＝1－k2.由1－k2>0，解得－三、 填空题
7. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，M(a，3)共圆，则实数a的值为7．
【解析】 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0.因为M(a，3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0，即a2－4a－21＝0，解得a＝7或a＝－3(舍去)，从而实数a的值为7.
8. 由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，面积最大的圆的方程为x2＋y2＋x－2y＋＝0，最大面积是．
【解析】 所给圆的半径r＝＝，所以当m＝－1时，半径r取得最大值，此时圆的方程为x2＋y2＋x－2y＋＝0，最大面积是.
四、 解答题
9. 已知△ABC的顶点C的坐标为(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
(1) 求顶点A和B的坐标；
【解答】 由解得所以顶点B的坐标为(7，－3).因为AC⊥BH，kBH＝－，所以设直线AC的方程为y＝3x＋b.因为直线AC过点C(2，－8)，所以－8＝3×2＋b，解得b＝－14，从而直线AC的方程为y＝3x－14.由可得所以顶点A的坐标为(5，1).所以点A和B的坐标分别为(5，1)和(7，－3).
(2) 求△ABC外接圆的一般方程．
【解答】 设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆经过A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三点，所以解得从而△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.
10. 已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半．
(1) 求动点M的轨迹方程；
【解答】 设动点M的坐标为(x，y).因为A(2，0)，B(8，0)，|MA|＝|MB|，所以(x－2)2＋y2＝[(x－8)2＋y2]，化简得x2＋y2＝16，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
(2) 若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
【解答】 设点N的坐标为(x，y).因为N为线段AM的中点，A(2，0)，所以点M的坐标为(2x－2，2y).又点M在圆x2＋y2＝16上，所以(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4.所以点N的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆．
11. 若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( C )
A. －5 B. 5－
C. 30－10 D. 无法确定
【解析】 把圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心为A(1，－2)，半径r＝5.如图，设圆上一点的坐标为(x，y)，则x2＋y2表示圆A上的点与原点的距离的平方．延长AO交圆A于点B.因为|AO|＝，|AB|＝r＝5，所以|BO|＝|AB|－|OA|＝5－.故x2＋y2的最小值为(5－)2＝30－10.
(第11题答)
12. (教材P103第18题改编)由曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积为2＋π．
【解析】 当x≥0，y≥0时，曲线方程可转化为＋＝，由对称性可画出曲线围成的图形(如图)，则所求面积为S＝4×＝2＋π.
(第12题答)
13. 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1) 求实数b的取值范围．
【解答】 令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b).令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1且b≠0，故实数b的取值范围为(－∞，0)∪(0，1).
(2) 求圆C的方程．
【解答】 设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根b，将b代入可知E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3) 试问：圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
【解答】 圆C必过定点(0，1)和(－2，1).证明如下：
方法一：将点(0，1)的坐标代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1).同理可证圆C必过定点(－2，1).
方法二：圆C的方程可化为x2＋y2＋2x－y＋(1－y)b＝0，当y＝1时，x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0.故圆C过定点(－2，1)和(0，1).第2课时 圆的一般方程
学习 目标 1. 探索并掌握圆的一般方程，能进行圆的一般方程和标准方程的互化． 2. 会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程．初步掌握点的轨迹方程的求法．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心坐标为 ，半径为 ．
(1) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，因而方程表示一个点．
(2) 当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形．
(3) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 圆的一般方程可以化为标准方程．( )
(2) 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( )
(3) 若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
(4) 任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( )
典例精讲能力初成
探究1 圆的一般方程的概念
例1 判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．
(1) 3x2＋y2＋2x＋1＝0；
(2) x2＋y2＋xy＋1＝0；
(3) x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；
(4) x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
判断一个二元二次方程是否能表示圆的一般步骤：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即含x2与y2项的系数相等且不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再判断它能否表示圆，此时有两种方法：①判断D2＋E2－4F是否大于零；②直接配方变形为类似于圆的标准方程的形式，看等式的右边是否为大于零的常数．
探究2 求圆的一般方程
例2 经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|等于( )
A. 2 B. 2
C. 3 D. 4
求圆的方程时，如何判断该用圆的一般方程还是标准方程？
(1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程时，一般采用圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，用待定系数法求出a，b，r.
(2) 如果已知条件和圆心、半径无直接关系时，一般采用圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，用待定系数法求出参数D，E，F.
变式2 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
(变式2)
探究3 求与圆有关的动点的轨迹方程
例3 (教材P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
求轨迹方程的方法：
(1) 代数法，建立关于动点的横、纵坐标x，y的方程；
(2) 几何法，通过已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程．
变式3 (教材P87例5补充)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0).
(1) 求直角顶点C的轨迹方程；
(2) 求直角边BC的中点M的轨迹方程．
随堂内化及时评价
(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( )
A. B. 2
C. 3 D. 3
2. 已知圆M经过A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4)三点，则圆心M到直线l：3x－4y－9＝0的距离为( )
A. B. 1
C. 2 D. 3
3. 已知圆C的方程为x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0，若点(1，2)在圆外，则m的取值范围是( )
A. ∪(0，＋∞)
B. (0，＋∞)
C.
D. ∪(0，＋∞)
4. (2025·无锡期末)已知点A(5，0)，点B在圆(x－1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是( )
A. x2＋y2－6x＋8＝0 B. x2＋y2－6x＋5＝0
C. x2＋y2＋6x＋8＝0 D. x2＋y2＋6x＋5＝0
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知圆C：x2＋y2＝2ax，若直线y＝2x＋1过圆心C，则实数a的值为( )
A. 0 B. －
C. D. 1
2. 若直线2x＋by－4＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则实数b的值为( )
A. 2 B. －2
C. －3 D. 3
3. 已知圆x2＋y2＋ax＋by＋1＝0关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则a＋b的值为( )
A. －2 B. ±2
C. －4 D. ±4
4. 已知圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点，则圆C的方程为( )
A. x2＋y2－4x－3y＝0
B. x2＋y2－x＋3y＝0
C. x2＋y2－5x－5＝0
D. x2＋y2－7x＋y＝0
二、 多项选择题
5. 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，那么下列说法正确的是( )
A. 圆M的圆心坐标为(4，－3)
B. 圆M与x轴的交点为(0，0)和(8，0)
C. 圆M的半径为25
D. 点(1，－7)在圆M上
6. 已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则下列结论正确的是( )
A. 实数k的取值范围是
B. 实数k的取值范围是∪
C. 当圆的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
D. 圆的最大面积是π
三、 填空题
7. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，M(a，3)共圆，则实数a的值为 ．
8. 由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，面积最大的圆的方程为 ，最大面积是 ．
四、 解答题
9. 已知△ABC的顶点C的坐标为(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
(1) 求顶点A和B的坐标；
(2) 求△ABC外接圆的一般方程．
10. 已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半．
(1) 求动点M的轨迹方程；
(2) 若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
11. 若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A. －5 B. 5－
C. 30－10 D. 无法确定
12. (教材P103第18题改编)由曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积为 ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1) 求实数b的取值范围．
(2) 求圆C的方程．
(3) 试问：圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．(共46张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
第2课时 圆的一般方程
学习 目标 1. 探索并掌握圆的一般方程，能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
2. 会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程．初步掌握点的轨迹方程的求法．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 当________________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方
程，圆心坐标为______________，半径为___________．
D2＋E2－4F>0
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 圆的一般方程可以化为标准方程． ( )
(2) 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． ( )
(3) 若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. ( )
(4) 任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． ( )
√
×
√
√
典例精讲 能力初成
判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．
(1) 3x2＋y2＋2x＋1＝0；
1
圆的一般方程的概念
【解答】
因为x2，y2的系数不相等，所以方程不表示圆．
探究
1
(2) x2＋y2＋xy＋1＝0；
【解答】
因为方程中含有xy项，所以该方程不表示圆．
(3) x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；
【解答】
(4) x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
【解答】
判断一个二元二次方程是否能表示圆的一般步骤：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即含x2与y2项的系数相等且不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再判断它能否表示圆，此时有两种方法：①判断D2＋E2－4F是否大于零；②直接配方变形为类似于圆的标准方程的形式，看等式的右边是否为大于零的常数．
经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|等于 ( )
2
求圆的一般方程
【解析】
A
探究
2
求圆的方程时，如何判断该用圆的一般方程还是标准方程？
(1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程时，一般采用圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，用待定系数法求出a，b，r.
(2) 如果已知条件和圆心、半径无直接关系时，一般采用圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，用待定系数法求出参数D，E，F.
如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
变式2
【解答】
(教材P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
3
求与圆有关的动点的轨迹方程
【解答】
探究
3
求轨迹方程的方法：
(1) 代数法，建立关于动点的横、纵坐标x，y的方程；
(2) 几何法，通过已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程．
(教材P87例5补充)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0).
(1) 求直角顶点C的轨迹方程；
【解答】
方法二：设顶点的坐标为C(x，y)，则x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
变式3
(2) 求直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解答】
随堂内化 及时评价
【解析】
1. (2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为 ( )
D
【解析】
D
【解析】
【答案】D
4. (2025·无锡期末)已知点A(5，0)，点B在圆(x－1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是 ( )
A. x2＋y2－6x＋8＝0
B. x2＋y2－6x＋5＝0
C. x2＋y2＋6x＋8＝0
D. x2＋y2＋6x＋5＝0
【解析】
【答案】A
配套新练案
【解析】
B
2. 若直线2x＋by－4＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则实数b的值为
( )
A. 2 B. －2 C. －3 D. 3
D
【解析】
因为直线2x＋by－4＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，所以直线2x＋by－4＝0过该圆的圆心．又圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(－1，2)，所以2×(－1)＋b×2－4＝0，解得b＝3.
3. 已知圆x2＋y2＋ax＋by＋1＝0关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则a＋b的值为 ( )
A. －2 B. ±2 C. －4 D. ±4
C
【解析】
4. 已知圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点，则圆C的方程为 ( )
A. x2＋y2－4x－3y＝0 B. x2＋y2－x＋3y＝0
C. x2＋y2－5x－5＝0 D. x2＋y2－7x＋y＝0
D
【解析】
二、 多项选择题
5. 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，那么下列说法正确的是 ( )
A. 圆M的圆心坐标为(4，－3)
B. 圆M与x轴的交点为(0，0)和(8，0)
C. 圆M的半径为25
D. 点(1，－7)在圆M上
【解析】
由题意知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A正确，C不正确；
在(x－4)2＋(y＋3)2＝25中，令y＝0，得(x－4)2＝16，所以x－4＝±4，从而x＝0或x＝8，于是圆M与x轴的交点为(0，0)和(8，0)，故B正确；
在(x－4)2＋(y＋3)2＝25中，令x＝1，得(y＋3)2＝16，所以y＋3＝±4，从而y＝1或y＝－7，于是点(1，－7)在圆M上，故D正确．
【答案】ABD
【解析】
当k＝0时，圆的半径最大，则圆的周长和面积都最大，此时圆心坐标是(0，－1)，圆的面积是π，故C，D正确．
【答案】ACD
三、 填空题
7. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，M(a，3)共圆，则实数a的值为____．
【解析】
7
【解析】
四、 解答题
9. 已知△ABC的顶点C的坐标为(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
(1) 求顶点A和B的坐标；
【解答】
(2) 求△ABC外接圆的一般方程．
【解答】
10. 已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半．
(1) 求动点M的轨迹方程；
【解答】
(2) 若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
【解答】
设点N的坐标为(x，y).因为N为线段AM的中点，A(2，0)，所以点M的坐标为(2x－2，2y).又点M在圆x2＋y2＝16上，所以(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4.所以点N的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆．
【解析】
【答案】C
12. (教材P103第18题改编)由曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积为_______．
【解析】
2＋π
13. 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1) 求实数b的取值范围．
【解答】
令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b).令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1且b≠0，故实数b的取值范围为(－∞，0)∪(0，1).
(2) 求圆C的方程．
【解答】
设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根b，将b代入可知E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3) 试问：圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
【解答】
圆C必过定点(0，1)和(－2，1).证明如下：
方法一：将点(0，1)的坐标代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1).同理可证圆C必过定点(－2，1).
方法二：圆C的方程可化为x2＋y2＋2x－y＋(1－y)b＝0，当y＝1时，x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0.故圆C过定点(－2，1)和(0，1).
