2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学习 目标 1．能通过比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系． 2．理解直线和圆的三种位置关系(相离、相切、相交)与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系．
新知初探基础落实
一、 概念表述
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置 关系 判断方法
几何法：设圆心到直线的距离为d，则d＝ 代数法：联立直线方程与圆的方程 消元得到一元二次方程，并求得判别式Δ
相交 d＜r Δ＞0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d＞r Δ＜0
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × )
(2) 直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交，且l过圆心．( √ )
(3) 若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a＞0)相切，则a＝4．( × )
(4) 若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 直线与圆的位置关系的判断
例1 (教材P91例1补充)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0．求当m为何值时，圆与直线：
(1) 有两个公共点；
(2) 只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
【解答】 方法一：将直线方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程并化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，且Δ＝4m(3m＋4)．
(1) 当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．
(2) 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3) 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(2，1)，半径r＝2．圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝．
(1) 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．
(2) 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3) 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
直线与圆的位置关系的判断方法
(1) 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2) 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3) 直线系法：若直线恒过定点，可以通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但此方法有一定的局限性，题目所给的必须是过定点的直线系．
探究2 直线与圆相交、弦长公式
例2 (教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．
(1) 求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
【解答】 直线l的方程mx－y＋1－m＝0可转化为m(x－1)－y＋1＝0，所以l过定点(1，1)．因为12＋(1－1)2＝1＜5，所以点(1，1)在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角α．
【解答】 设圆心C到直线l的距离为d．因为|AB|＝，圆C的半径r＝，所以d2＝r2－2＝，从而d＝．又C(0，1)，d＝＝，所以m＝±，从而tan α＝±，于是α＝或α＝．
求直线与圆相交所得弦长的两种方法：
几何法：如图(1)，直线l与圆C交于A，B两点，则弦长为|AB|．设弦心距为d，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即|AB|＝2．直线与圆的弦长问题常用几何法求解．
图(1)
代数法：如图(2)，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．
图(2)
注意：求弦长时，应注意斜率不存在的情形，有时还要注意斜率为0的情形．
变式2 若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是．
【解析】 直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)．由＝x－1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)，所以曲线C表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))．如图，当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2；当直线l与半圆相切时，由＝1，得k＝，由图可知当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点．
(变式2答)
探究3 直线与圆相切
例3 (教材P92例2补充)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切．
(1) 求直线l的方程；
【解答】 因为(2－1)2＋(3＋2)2＞1，所以点P在圆外．
方法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0．因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，圆心坐标为(1，－2)，所以＝1，解得k＝，从而直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0．②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2，也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
方法二：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3．将l的方程与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，所以Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，解得k＝，此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0．②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2，也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
(2) 求切线长．
【解答】 因为点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为＝，所以切线长为＝5．
当所求切线过已知点M时，务必要弄清点M在圆上还是在圆外．若点M在圆上，则圆心和点M的连线与切线垂直，从而可求得切线的斜率，继而可用直线的点斜式方程求得切线的方程．若点M在圆外，则过该点的切线有两条，但实际解题时求出的切线可能只有一条，此时要注意，另一条过该点的切线的斜率不存在，切勿遗漏．
变式3 已知P是直线l：x－y＋6＝0上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB周长的最小值为( B )
A．2＋2 B．4＋4
C．4＋2 D．8
【解析】 圆C：x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4．由对称性可知，四边形PACB的周长为2(|PA|＋|AC|)＝2(|PA|＋2)．而|PA|＝，|PC|的最小值为点C(2，0)到直线l：x－y＋6＝0的距离d，且d＝＝4，所以|PA|的最小值为2，从而四边形PACB的周长的最小值为2×(2＋2)＝4＋4．
随堂内化及时评价
1．若直线l：y＝x与圆M：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，则|AB|等于( D )
A．2 B．
C．2 D．
【解析】 圆M：x2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(0，1)，半径r＝2，圆心M到直线l的距离d＝＝，故|AB|＝2×＝．
2．(多选)若直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m的值可能为( AC )
A． B．－
C．－3 D．3
【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝3，圆心坐标为(1，0)，半径r＝．由题意知＝，即|m＋|＝2，所以m＝－3或m＝．
3．已知直线l：3x－4y＋6＝0，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝16，下列说法错误的是( B )
A．直线l在y轴上的截距为
B．圆C上的点到直线l的最大距离为5
C．圆C上的点到点(－2，－4)的最小距离为6－4
D．圆C上恰有三个点到直线l的距离为2
【解析】 对于A，在直线l的方程3x－4y＋6＝0中，令x＝0，得y＝，则直线l在y轴上的截距为，故A正确．对于B，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝16，圆心为C(4，2)，半径r＝4，圆C上的点到直线l的最大距离为＋4＝6，故B错误．对于C，因为(－2－4)2＋(－4－2)2＞16，所以点(－2，－4)在圆C外，所以圆C上的点到点(－2，－4)的最小距离为－4＝6－4，故C正确．对于D，圆心C到直线l：3x－4y＋6＝0的距离d＝＝2，因为4－2＝2，所以圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，故D正确．
4．已知直线l：y＝kx与圆C：(x－1)2＋(y－)2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的倾斜角为0或．
【解析】 直线l的方程y＝kx可化为kx－y＝0，圆C的圆心C(1， )到直线l的距离d＝．又圆C的半径r＝2，所以弦长|AB|＝2＝2＝2，整理可得k2＝－k，解得k＝0或－，故直线l的倾斜角为0或．
5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，点P的坐标为(2，3)，那么过点P的圆的切线的方程是3x－4y＋6＝0和x＝2，切线长是2．
【解析】 如图，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1，1)，|CA|＝|CB|＝1，则切线长|PA|＝＝＝2．①若切线的斜率存在，可设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y－2k＋3＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝1，解得k＝，故切线方程为3x－4y＋6＝0．②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，此时满足题意．综上，过点P的圆的切线的方程为3x－4y＋6＝0和x＝2，切线长为2．
(第5题答)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【解析】 圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝．又圆心C到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l与圆C相交．
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【解析】 方法一：由消去y并整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．
方法二：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，所以直线l与圆相交．
方法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)．因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．
3．圆x2＋y2－4y＋3＝0上的点到直线3x－4y－2＝0的距离的取值范围是( A )
A．[1，3] B．[2，4]
C．[0，3] D．[2－，2＋]
【解析】 由题意知圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，所以圆心坐标为(0，2)，半径r＝1，从而圆心到直线3x－4y－2＝0的距离d＝＝2．而圆上的点到该直线的距离的取值范围是[d－r，d＋r]，即为[1，3]．
4．已知圆O的圆心是坐标原点，且圆O被直线x－y＋2＝0截得的弦长为6，那么圆O的标准方程为( C )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
【解析】 设圆O的方程为x2＋y2＝r2．由题意知弦心距d＝＝．因为圆O被直线x－y＋2＝0截得的弦长为6，所以()2＋2＝r2，即r2＝12，从而圆O的标准方程为x2＋y2＝12．
二、 多项选择题
5．已知点P在圆C：x2－6x＋y2－6y＋14＝0上，直线AB：x＋y－2＝0，则( BCD )
A．直线AB与圆C相交
B．直线AB与圆C相离
C．点P到直线AB的距离大于
D．点P到直线AB的距离小于5
【解析】 由圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4知，圆心为C(3，3)，半径r＝2，则圆心C到直线AB：x＋y－2＝0的距离d＝＝2＞2．所以直线AB与圆C相离，故A错误，B正确．圆C上的点到直线AB的距离的最大值为2＋r＝2＋2＜5，最小值为2－r＝2－2＞，故C，D正确．
6．已知直线l：x＋my－4＝0和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，下列说法正确的是( ABC )
A．直线l恒过点(4，0)
B．圆C被x轴截得的弦长为2
C．当m＝0时，直线l与圆C相切
D．当直线l与圆C相交时，截得的最长弦长为2
【解析】 对于A，直线l：x＋my－4＝0，当y＝0时，x＝4，所以直线l过定点(4，0)，故A正确．对于B，圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(2，1)，半径r＝2，圆心C(2，1)到x轴的距离d＝1，所以圆C被x轴截得的弦长为2＝2，故B正确．对于C，当m＝0时，直线l：x＝4，圆心C(2，1)到l：x＝4的距离为2，故直线l与圆C相切，故C正确．对于D，当直线l：x＋my－4＝0过圆心C时，截得的最长弦长为4，故D错误．
三、 填空题
7．已知点C(m，0)，若以C为圆心的圆与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则圆C的标准方程是(x－7)2＋y2＝40．
【解析】 根据题意，圆C与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则T(1，n)在直线3x＋y－1＝0上，所以3＋n－1＝0，解得n＝－2．又由圆心C的坐标为(m，0)，直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，可知＝，解得m＝7，圆的半径r＝|TC|＝＝，故圆C的标准方程是(x－7)2＋y2＝40．
8．设P是直线l：x＋y＋1＝0上的动点，过点P作圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的切线，则切线长的最小值为2．
【解析】 圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为C(3，4)，半径r＝2，设切点为Q．因为圆心C到直线l：x＋y＋1＝0的距离d＝＝4＞2，所以l与圆C相离．因为|PQ|＝，所以当|PQ|最小时，|PC|最小，此时CP与直线l：x＋y＋1＝0垂直，|CP|＝4，|PQ|＝＝2，故|PQ|的最小值为2．
四、 解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
(1) 当a为何值时，直线l与圆C相切？
【解答】 由圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，得圆心为C(0，4)，半径r＝2．因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝r＝2，解得a＝－，从而当a＝－时，直线l与圆C相切．
(2) 当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【解答】 圆心C到直线l的距离d＝，弦长|AB|＝2＝2＝2，整理可得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7，所以直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0．
10．已知圆C经过A(2，0)，B(0，4)两点，且圆心C在直线x＋y－6＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
【解答】 因为A(2，0)，B(0，4)，所以kAB＝＝－2，线段AB的中点的坐标为(1，2)，从而AB的中垂线的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故圆C的圆心在直线x－2y＋3＝0上．联立解得故圆C的圆心坐标为(3，3)，半径r＝＝，从而圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10．
(2) 若直线3x＋y－7＝0与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，求·．
【解答】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去y并整理得2x2－6x＋3＝0，则Δ＝12＞0，x1＋x2＝3，x1x2＝．故·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－3x1＋7)(－3x2＋7)＝10x1x2－21(x1＋x2)＋49＝1．
11．已知点P(1，0)，C(0，)，O是坐标原点，点B满足||＝1，则与夹角的最大值为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 设点B的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)．由||＝1，得x2＋(y－)2＝1，即点B的轨迹是以C(0，)为圆心，半径r＝1的圆．如图，当PB与圆C相切时，与的夹角最大，设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．由圆心C到直线PB的距离等于圆C的半径，可得＝1，解得k＝－．设切线PB的倾斜角为α(0≤α＜π)，则tan α＝－，可得α＝，所以与夹角的最大值为．
(第11题答)
12．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，那么( ACD )
A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0的距离是定值
B．点(－a，b)一定在该圆外
C．的最小值是
D．的取值范围是(0，1)
【解析】 由直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，可得圆心(b，1)到直线x＋y＋a＝0的距离d＝＝．又因为a，b为正实数，所以a＋b＋1＝2，即a＋b＝1．对于A，直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0的距离是＝，为定值，故A正确；对于B，因为a＋b＝1且a，b均为正实数，所以0＜a＜1，(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋a2＜2，点(－a，b)一定在该圆内，故B错误；对于C，＝＝＝≥，当且仅当a＝时等号成立，即的最小值是，故C正确；对于D，＝＝＝＝(b＋1)＋－4，设f(x)＝x＋－4，x∈(1，2)，易知f(x)在(1，2)上单调递减，则f(x)∈(0，1)，即的取值范围是(0，1)，故D正确．
13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0．
(1) 当k取何值时，直线l：y＝kx＋1与圆C相交得到的弦长最短？
【解答】 如图，设直线l与圆C相交于A，B两点．由题意知l：y＝kx＋1过定点M(0，1)，当l⊥CM时，弦长|AB|取最小值．因为kCM＝＝1，所以k＝－1．故k＝－1时，直线l：y＝kx＋1与圆C相交得到的弦长最短．
(第13题答)
(2) 若直线m过点P(4，－4)且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
【解答】 如图，设直线m与圆C相交于E，F两点．①当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x＝4，因为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝52，所以弦长|EF|＝2＝8，符合题意．②当直线m的斜率存在时，设直线m：y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0，因为弦长|EF|＝8，r＝5，所以圆心C到m的距离d＝＝3．因为C(1，2)，所以＝3，解得k＝－．所以直线m的方程为－x－y－1＝0，即3x＋4y＋4＝0．综上，直线m的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0．2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学习 目标 1．能通过比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系． 2．理解直线和圆的三种位置关系(相离、相切、相交)与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系．
新知初探基础落实
一、 概念表述
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置 关系 判断方法
几何法：设圆心到直线的距离为d，则d＝ 代数法：联立直线方程与圆的方程 消元得到一元二次方程，并求得判别式Δ
相交 d r Δ 0
相切 d r Δ 0
相离 d r Δ 0
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )
(2) 直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交，且l过圆心．( )
(3) 若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a＞0)相切，则a＝4．( )
(4) 若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( )
典例精讲能力初成
探究1 直线与圆的位置关系的判断
例1 (教材P91例1补充)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0．求当m为何值时，圆与直线：
(1) 有两个公共点；
(2) 只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
直线与圆的位置关系的判断方法
(1) 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2) 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3) 直线系法：若直线恒过定点，可以通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但此方法有一定的局限性，题目所给的必须是过定点的直线系．
探究2 直线与圆相交、弦长公式
例2 (教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．
(1) 求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角α．
求直线与圆相交所得弦长的两种方法：
几何法：如图(1)，直线l与圆C交于A，B两点，则弦长为|AB|．设弦心距为d，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即|AB|＝2．直线与圆的弦长问题常用几何法求解．
图(1)
代数法：如图(2)，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．
图(2)
注意：求弦长时，应注意斜率不存在的情形，有时还要注意斜率为0的情形．
变式2 若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ．
探究3 直线与圆相切
例3 (教材P92例2补充)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切．
(1) 求直线l的方程；
(2) 求切线长．
当所求切线过已知点M时，务必要弄清点M在圆上还是在圆外．若点M在圆上，则圆心和点M的连线与切线垂直，从而可求得切线的斜率，继而可用直线的点斜式方程求得切线的方程．若点M在圆外，则过该点的切线有两条，但实际解题时求出的切线可能只有一条，此时要注意，另一条过该点的切线的斜率不存在，切勿遗漏．
变式3 已知P是直线l：x－y＋6＝0上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB周长的最小值为( )
A．2＋2 B．4＋4
C．4＋2 D．8
随堂内化及时评价
1．若直线l：y＝x与圆M：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．2 B．
C．2 D．
2．(多选)若直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m的值可能为( )
A． B．－
C．－3 D．3
已知直线l：3x－4y＋6＝0，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝16，下列说法错误的是( )
A．直线l在y轴上的截距为
B．圆C上的点到直线l的最大距离为5
C．圆C上的点到点(－2，－4)的最小距离为6－4
D．圆C上恰有三个点到直线l的距离为2
4．已知直线l：y＝kx与圆C：(x－1)2＋(y－)2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的倾斜角为 ．
5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，点P的坐标为(2，3)，那么过点P的圆的切线的方程是 ，切线长是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3．圆x2＋y2－4y＋3＝0上的点到直线3x－4y－2＝0的距离的取值范围是( )
A．[1，3] B．[2，4]
C．[0，3] D．[2－，2＋]
已知圆O的圆心是坐标原点，且圆O被直线x－y＋2＝0截得的弦长为6，那么圆O的标准方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
二、 多项选择题
5．已知点P在圆C：x2－6x＋y2－6y＋14＝0上，直线AB：x＋y－2＝0，则( )
A．直线AB与圆C相交
B．直线AB与圆C相离
C．点P到直线AB的距离大于
D．点P到直线AB的距离小于5
6．已知直线l：x＋my－4＝0和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，下列说法正确的是( )
A．直线l恒过点(4，0)
B．圆C被x轴截得的弦长为2
C．当m＝0时，直线l与圆C相切
D．当直线l与圆C相交时，截得的最长弦长为2
三、 填空题
7．已知点C(m，0)，若以C为圆心的圆与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则圆C的标准方程是 ．
8．设P是直线l：x＋y＋1＝0上的动点，过点P作圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的切线，则切线长的最小值为 ．
四、 解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
(1) 当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2) 当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
10．已知圆C经过A(2，0)，B(0，4)两点，且圆心C在直线x＋y－6＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 若直线3x＋y－7＝0与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，求·．
11．已知点P(1，0)，C(0，)，O是坐标原点，点B满足||＝1，则与夹角的最大值为( )
A． B．
C． D．
12．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，那么( )
A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0的距离是定值
B．点(－a，b)一定在该圆外
C．的最小值是
D．的取值范围是(0，1)
13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0．
(1) 当k取何值时，直线l：y＝kx＋1与圆C相交得到的弦长最短？
(2) 若直线m过点P(4，－4)且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．(共48张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学习 目标 1．能通过比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系．
2．理解直线和圆的三种位置关系(相离、相切、相交)与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系．
新知初探·基础落实
一、 概念表述
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置 关系 判断方法
几何法：设圆心到直线的距离为d， 代数法：联立直线方程与圆的方程
消元得到一元二次方程，并求得判别式Δ
相交 d______r Δ______0
相切 d______r Δ______0
相离 d______r Δ______0
＜
＞
＝
＝
＞
＜
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． ( )
(2) 直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交，且l过圆心． ( )
(3) 若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a＞0)相切，则a＝4． ( )
(4) 若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解． ( )
×
√
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
直线与圆的位置关系的判断
(教材P91例1补充)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0．求当m为何值时，圆与直线：
(1) 有两个公共点；(2) 只有一个公共点；(3) 没有公共点．
1
【解答】
方法一：将直线方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程并化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，且Δ＝4m(3m＋4)．
直线与圆的位置关系的判断方法
(1) 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2) 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3) 直线系法：若直线恒过定点，可以通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但此方法有一定的局限性，题目所给的必须是过定点的直线系．
探究
2
直线与圆相交、弦长公式
(教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．
(1) 求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
2
【解答】
直线l的方程mx－y＋1－m＝0可转化为m(x－1)－y＋1＝0，所以l过定点(1，1)．因为12＋(1－1)2＝1＜5，所以点(1，1)在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点．
(教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．
(2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角α．
【解答】
2
求直线与圆相交所得弦长的两种方法：
图(1)
注意：求弦长时，应注意斜率不存在的情形，有时还要注意斜率为0的情形．
图(2)
【解析】
探究
3
直线与圆相切
(教材P92例2补充)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切．
(1) 求直线l的方程；
3
【解答】
因为(2－1)2＋(3＋2)2＞1，所以点P在圆外．
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2，也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2，也符合要求． 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
(教材P92例2补充)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切．
(2) 求切线长．
【解答】
3
当所求切线过已知点M时，务必要弄清点M在圆上还是在圆外．若点M在圆上，则圆心和点M的连线与切线垂直，从而可求得切线的斜率，继而可用直线的点斜式方程求得切线的方程．若点M在圆外，则过该点的切线有两条，但实际解题时求出的切线可能只有一条，此时要注意，另一条过该点的切线的斜率不存在，切勿遗漏．
变式3 已知P是直线l：x－y＋6＝0上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB周长的最小值为 ( )
【解析】
B
随堂内化·及时评价
1．若直线l：y＝x与圆M：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，则|AB|等于 ( )
【解析】
D
【解析】
AC
3．已知直线l：3x－4y＋6＝0，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝16，下列说法错误的是 ( )
【解析】
【答案】 B
【解析】
5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，点P的坐标为(2，3)，那么过点P的圆的切线的方程是______________________，切线长是_____．
【解析】
②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，此时满足题意． 综上，过点P的圆的切线的方程为3x－4y＋6＝0和x＝2，切线长为2．
3x－4y＋6＝0和x＝2
2
配套新练案
一、 单项选择题
1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【解析】
A
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【解析】
方法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)．因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．
A
3．圆x2＋y2－4y＋3＝0上的点到直线3x－4y－2＝0的距离的取值范围是 ( )
【解析】
A
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8
C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16
【解析】
C
二、 多项选择题
5．已知点P在圆C：x2－6x＋y2－6y＋14＝0上，直线AB：x＋y－2＝0，则 ( )
A．直线AB与圆C相交 B．直线AB与圆C相离
【解析】
BCD
6．已知直线l：x＋my－4＝0和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，下列说法正确的是 ( )
A．直线l恒过点(4，0)
【解析】
对于A，直线l：x＋my－4＝0，当y＝0时，x＝4，所以直线l过定点(4，0)，故A正确．
对于C，当m＝0时，直线l：x＝4，圆心C(2，1)到l：x＝4的距离为2，故直线l与圆C相切，故C正确．
对于D，当直线l：x＋my－4＝0过圆心C时，截得的最长弦长为4，故D错误．
【答案】ABC
三、 填空题
7．已知点C(m，0)，若以C为圆心的圆与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则圆C的标准方程是___________________．
【解析】
根据题意，圆C与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则T(1，n)在直线3x＋y－1＝0上，所以3＋n－1＝0，解得n＝－2．
(x－7)2＋y2＝40
8．设P是直线l：x＋y＋1＝0上的动点，过点P作圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的切线，则切线长的最小值为_______．
【解析】
四、 解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
(1) 当a为何值时，直线l与圆C相切？
【解答】
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
【解答】
10．已知圆C经过A(2，0)，B(0，4)两点，且圆心C在直线x＋y－6＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
【解答】
10．已知圆C经过A(2，0)，B(0，4)两点，且圆心C在直线x＋y－6＝0上．
【解答】
【解析】
【答案】A
12．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，那么 ( )
A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0的距离是定值
B．点(－a，b)一定在该圆外
【解析】
对于B，因为a＋b＝1且a，b均为正实数，所以0＜a＜1，(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋a2＜2，点(－a，b)一定在该圆内，故B错误；
【答案】ACD
13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0．
(1) 当k取何值时，直线l：y＝kx＋1与圆C相交得到的弦长最短？
【解答】
13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0．
(2) 若直线m过点P(4，－4)且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
【解答】
