第2课时 直线与圆的位置关系的应用
典例精讲能力初成
探究1 直线与圆的方程的实际应用
例1－1 (教材P94例4补充)已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，距台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40 km处，求B城市处于危险区内的时间．
【解答】 如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为20 km，所以射线AC被以B为圆心、30 km为半径的圆截得的弦长为2＝20 km，从而B城市处于危险区内的时间为t＝＝1 h．
(例1－1答)
例1－2 有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品并运回来，A地每千米的运费是B地每千米运费的两倍．若A，B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
【解答】 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km，则从B地运货到P地的运费为a元/km．若P地居民选择在A地购买此商品，则2a＜a，整理得＋y2＜，即点P在圆C：＋y2＝的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购买此商品，同理可推得圆C外的居民应在B地购买此商品，圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购买此商品．
(例1－2答)
探究2 圆上的点到直线的距离
例2 圆(x－2)2＋y2＝2上的动点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为，最大值为3．
【解析】 圆(x－2)2＋y2＝2的圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，从而圆(x－2)2＋y2＝2上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2－＝，最大值为2＋＝3．
变式2 (教材P99第13题改编)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b．当b＝±时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
【解析】 因为圆的方程为x2＋y2＝4，所以圆心坐标为(0，0)，半径为2．因为圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l的距离都等于1，所以只需要圆心到直线l：y＝x＋b的距离为1即可满足条件．直线l的方程可化为x－y＋b＝0，所以圆心到直线l的距离为＝1，解得b＝±，故当b＝±时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
探究3 与圆有关的最值问题
例3 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(1) 求的最大值和最小值；
【解答】 如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心、为半径的圆．设＝k，即y＝kx，易知当圆心(2，0)到直线y＝kx的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大值或最小值．由＝，得k2＝3，所以k＝或k＝－，从而的最大值为，最小值为－．
(例3答)
(2) 求y－x的最大值和最小值；
【解答】 设y－x＝b，则y＝x＋b，则直线y＝
x＋b与圆相交或相切．由点到直线的距离公式，可得≤，得－2－≤b≤－2＋，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3) 求x2＋y2的最大值和最小值．
【解答】 x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
随堂内化及时评价
1．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的距离的最小值为2－1．
【解析】 由题意知圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心坐标为(－2，1)，半径为1．因为圆心(－2，1)到直线y＝x－1的距离d＝＝2，所以所求距离的最小值是2－1．
2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2＝4上任意一点，则的最小值为．
(第2题答)
【解析】 由题意可得m≠－2，则表示圆C：x2＋y2＝4上的点M(m，n)(m≠－2)与点P(－2，－3)连线的斜率．显然当连线过点P(－2，－3)且与圆相切时，斜率取得最小值．如图，设此时切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－3＝0．由圆心到切线的距离等于半径，得＝2，即(2k－3)2＝4(1＋k2)，解得k＝，由图可知的最小值为．
3．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( C )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
【解析】 方法一：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9．设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3．
方法二：令x－y＝k，则x＝k＋y，将其代入x2＋y2－4x－2y－4＝0并化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0．因为存在实数y，所以Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y 的最大值是3＋1．
方法三：x2＋y2－4x－2y－4＝0可变形为(x－2)2＋(y－1)2＝9．令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1．因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，从而当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．
4．圆拱桥的水面跨度为24 m，拱高8 m，此拱桥所在圆的半径为13 m；现有一船，宽10 m，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过7 m．
(第4题答)
【解析】 如图，圆拱桥AMB所在圆的圆心为C，水面跨度为|AB|＝24 m，拱高为|OM|＝8 m．以AB的中点O为原心，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－12，0)，B(12，0)，
M(0，8)，易求得圆C的方程为x2＋(y＋5)2＝169，圆的半径R＝13 m，船宽|EF|＝10 m．若这条船能从桥下通过，则此船水面以上的最高高度为|NF|．设N(5，yN)，yN＞0，将点N的坐标代入圆的方程可得yN＝7，即|NF|＝7 m．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知半径为2的圆经过点(1，0)，那么该圆的圆心到直线3x－4y＋12＝0的距离的最小值为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 设圆心坐标为(a，b)，则有(a－1)2＋(b－0)2＝4，所以该圆的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心、2为半径的圆，故圆心到直线3x－4y＋12＝0的距离的最小值为点(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2＝1．
2．已知直线l：y＝(x＋2)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|等于( B )
A． B．2
C．3 D．2
【解析】 直线l的方程y＝(x＋2)化成一般式，可得x－y＋2＝0，圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2．因为圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆O截得的弦长|AB|＝2＝2＝2．
3．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，那么的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意知表示圆x2＋y2＝1上任意一点(x，y)与点(－2，0)所在直线的斜率．设过点(－2，0)与圆x2＋y2＝1相切的直线的方程为y＝k(x＋2)，与x2＋y2＝1联立，消去y得(k2＋1)x2＋4k2x＋4k2－1＝0．由Δ＝0，解得k＝±，所以∈．
4．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为( B )
A．2 B．
C．3 D．4
【解析】 原多项式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为直线x＋y＋1＝0上的点P(x，y)和点Q(1，1)的距离的平方，且点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上．设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，则|PQ|≥d．因为d＝＝，所以≥，即x2＋y2－2x－2y＋2≥，故所求的最小值为．
二、 多项选择题
5．已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，那么实数m的取值可以是( BC )
A．0 B．1
C．3 D．5
【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，则圆心坐标为(1，－2)，半径r＝，其中m＜5．因为圆上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，所以圆上的点到直线的最小距离大于等于1．又圆心到直线3x＋4y－10＝0的距离为＝3，所以3－≥1，解得m≥1，从而1≤m＜5．
6．如图，已知直线l：y＝x－4，l与x轴、y轴分别交于A，B两点，圆C的半径为，圆心C从点开始以每秒个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可能为( AC )
(第6题)
A．6 s B．8 s
C．16 s D．10 s
【解析】 设圆C与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心C到直线l的距离为＝，解得m＝－或m＝－，所以该圆运动的时间为＝6 s或＝16 s．
三、 填空题
7．圆x2＋(y＋4)2＝4上的点到直线l：x＋y＝1的距离的最大值为＋2，最小值为－2．
【解析】 圆x2＋(y＋4)2＝4的圆心为C(0，－4)，半径r＝2．由题意得圆上的点到直线l的距离的最小值dmin＝－2＝－2，最大值dmax＝＋2＝＋2．
8．若直线y＝2x＋b与曲线y＝－没有公共点，则实数b的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．
(第8题答)
【解析】 由y＝－可得x2＋y2＝9(y≤0)，所以曲线y＝－为以O(0，0)为圆心、r＝3为半径的下半圆，如图．当直线y＝2x＋b过点A(－3，0)时，0＝2×(－3)＋b，可得b＝6．当直线y＝2x＋b与半圆相切时，由圆心O(0，0)到直线y＝2x＋b的距离d＝＝r＝3，可得b＝－3或b＝3(舍去)．若直线y＝2x＋b与曲线y＝－没有公共点，由图可知b＜－3或b＞6，所以实数b的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．
四、 解答题
9．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1) 求的最大值和最小值；
【解答】 圆C的方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2．(转化为斜率的最值问题)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图(1)．设切线的方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于圆C的半径，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为．
图(1)
图(2)
(第9题答)
(2) 求x＋y的最大值和最小值．
【解答】 (转化为截距的最值问题)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图(2)．由圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2．
10．在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船，正以北偏西α(α为锐角)角方向航行，速度为40 km/h．已知距离风暴中心180 km以内的水域会受其影响．
(1) 若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值；
【解答】 如图，圆的方程为x2＋y2＝1802，设过点B(200，0)的直线的方程为y＝k(x－200)，k＜0，即kx－y－200k＝0．当l与圆O相切时，tan α取得最大值，则圆心O(0，0)到直线l的距离d＝＝180，化简得19k2＝81．结合k＜0，解得k＝－，所以tan (90°＋α)＝－，从而－＝－，于是tan α＝，因此若轮船不被风暴影响，角α的正切值的最大值为．
(第10题答)
(2) 若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续的时间．
【解答】 若轮船航行方向为北偏西45°，则航行路线所在直线的方程为x＋y＝200，所以圆心O到该直线的距离d＝＝100(km)，弦长为2＝2＝40(km)，从而轮船被风暴影响持续的时间为＝(h)．
11．在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则( C )
A．圆C的面积有最大值，有最小值
B．圆C的面积有最大值，无最小值
C．圆C的面积无最大值，有最小值
D．圆C的面积无最大值，无最小值
【解析】 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可得圆心C到x轴的距离d1＝|b|，圆心C到y轴的距离d2＝|a|．由圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，可得则r2＝＋b2＝1＋a2≥1，当a2＝0时取等号，所以圆的面积S＝πr2有最小值，无最大值．
12．已知过点(5，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为8．
【解析】 如图，过点(5，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，则直线l的斜率k＜0，且l：y＝k(x－5)，所以点O(0，0)到l的距离d＝．因为S△AOB＝|AB|·d＝×2×d＝＝，所以d2＝8时S△AOB取最大值，此时＝8，故k＝－时，S△AOB取得最大值8．
(第12题答)
13．(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4和直线l：x－y＋2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB与圆C分别相切于点A，B，则下列说法正确的是( BC )
A．切线长|PA|的最小值为2
B．四边形PACB的面积的最小值为4
C．当|PA|取得最小值时，弦AB所在直线的方程为x－y＝0
D．弦长|AB|的最小值为2
【解析】 对于A，如图，圆C的圆心为C(2，0)，半径r＝2，连接AC，BC，则AC⊥PA．由勾股定理可得|PA|＝＝．当PC⊥l时，|PC|取最小值，此时|PA|也取最小值，且|PC|min＝＝2，则|PA|min＝＝＝2，所以切线长|PA|的最小值为2，故A错误．对于B，由|PA|＝|PB|，|AC|＝|BC|，|PC|＝|PC|，可得△PAC≌△PBC，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝|PA|·r＝2|PA|≥2×2＝4，当且仅当PC⊥l时等号成立，因此四边形PACB的面积的最小值为4，故B正确．对于C，当|PA|取得最小值时，PC⊥l，因为直线l的斜率为1，所以kPC＝－1，此时，直线PC的方程为y＝－x＋2．联立可得此时，点P(0，2)，线段PC的中点的坐标为(1，1)．因为|PA|＝2＝|AC|＝|BC|＝|PB|，且AC⊥PA，所以四边形PACB为正方形，此时AB⊥PC，且直线AB过线段PC的中点(1，1)，从而直线AB的方程为y－1＝x－1，即x－y＝0．所以当|PA|取得最小值时，弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故C正确．对于D，设AB∩PC＝E，因为△PAC≌△PBC，所以∠APC＝∠BPC．又因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥AB，且E为AB的中点，从而|AB|＝2|AE|＝2|AC|sin ∠ACP＝4sin ∠ACP，且tan ∠ACP＝＝．因为|PA|≥2，所以当|PA|＝2时，tan ∠ACP取最小值1，此时∠ACP＝，|AB|min＝4sin ＝2，从而弦长|AB|的最小值为2，故D错误．
(第13题答)第2课时 直线与圆的位置关系的应用
典例精讲能力初成
探究1 直线与圆的方程的实际应用
例1－1 (教材P94例4补充)已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，距台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40 km处，求B城市处于危险区内的时间．
例1－2 有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品并运回来，A地每千米的运费是B地每千米运费的两倍．若A，B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
探究2 圆上的点到直线的距离
例2 圆(x－2)2＋y2＝2上的动点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为 ，最大值为 ．
变式2 (教材P99第13题改编)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b．当b＝ 时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
探究3 与圆有关的最值问题
例3 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(1) 求的最大值和最小值；
(2) 求y－x的最大值和最小值；
(3) 求x2＋y2的最大值和最小值．
随堂内化及时评价
1．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的距离的最小值为 ．
2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2＝4上任意一点，则的最小值为 ．
3．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
4．圆拱桥的水面跨度为24 m，拱高8 m，此拱桥所在圆的半径为 m；现有一船，宽10 m，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过 m．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知半径为2的圆经过点(1，0)，那么该圆的圆心到直线3x－4y＋12＝0的距离的最小值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知直线l：y＝(x＋2)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|等于( )
A． B．2
C．3 D．2
3．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，那么的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为( )
A．2 B．
C．3 D．4
二、 多项选择题
5．已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，那么实数m的取值可以是( )
A．0 B．1
C．3 D．5
6．如图，已知直线l：y＝x－4，l与x轴、y轴分别交于A，B两点，圆C的半径为，圆心C从点开始以每秒个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可能为( )
(第6题)
A．6 s B．8 s
C．16 s D．10 s
三、 填空题
7．圆x2＋(y＋4)2＝4上的点到直线l：x＋y＝1的距离的最大值为 ，最小值为 ．
8．若直线y＝2x＋b与曲线y＝－没有公共点，则实数b的取值范围是 ．
四、 解答题
9．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1) 求的最大值和最小值；
(2) 求x＋y的最大值和最小值．
10．在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船，正以北偏西α(α为锐角)角方向航行，速度为40 km/h．已知距离风暴中心180 km以内的水域会受其影响．
(1) 若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值；
(2) 若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续的时间．
11．在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则( )
A．圆C的面积有最大值，有最小值
B．圆C的面积有最大值，无最小值
C．圆C的面积无最大值，有最小值
D．圆C的面积无最大值，无最小值
12．已知过点(5，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为 ．
13．(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4和直线l：x－y＋2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB与圆C分别相切于点A，B，则下列说法正确的是( )
A．切线长|PA|的最小值为2
B．四边形PACB的面积的最小值为4
C．当|PA|取得最小值时，弦AB所在直线的方程为x－y＝0
D．弦长|AB|的最小值为2(共37张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
第2课时 直线与圆的位置关系的应用
典例精讲·能力初成
探究
1
直线与圆的方程的实际应用
(教材P94例4补充)已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，距台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40 km处，求B城市处于危险区内的时间．
【解答】
1－1
有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品并运回来，A地每千米的运费是B地每千米运费的两倍．若A，B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
1－2
【解答】
如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km，则从B地运货到P地的运费为a元/km．
探究
2
圆上的点到直线的距离
圆(x－2)2＋y2＝2上的动点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为______，最大值为_______．
2
【解析】
变式2 (教材P99第13题改编)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b．当b＝________时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
【解析】
探究
3
与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
3
【解答】
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(2) 求y－x的最大值和最小值；
3
【解答】
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(3) 求x2＋y2的最大值和最小值．
3
【解答】
随堂内化·及时评价
1．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的距离的最小值为__________．
【解析】
【解析】
3．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是 ( )
【解析】
【答案】C
4．圆拱桥的水面跨度为24 m，拱高8 m，此拱桥所在圆的半径为______ m；现有一船，宽10 m，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过_____ m．
【解析】
如图，圆拱桥AMB所在圆的圆心为C，水面跨度为|AB|＝24 m，拱高为|OM|＝8 m．以AB的中点O为原心，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－12，0)，B(12，0)，M(0，8)，易求得圆C的方程为x2＋(y＋5)2＝169，圆的半径R＝13 m，船宽|EF|＝10 m．若这条船能从桥下通过，则此船水面以上的最高高度为
|NF|．设N(5，yN)，yN＞0，将点N的坐标代入圆的方程可得yN＝7，即|NF|＝7 m．
13
7
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知半径为2的圆经过点(1，0)，那么该圆的圆心到直线3x－4y＋12＝0的距离的最小值为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
C
4．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为 ( )
C．3 D．4
【解析】
B
二、 多项选择题
5．已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，那么实数m的取值可以是 ( )
A．0 B．1 C．3 D．5
【解析】
BC
【解析】
【答案】 AC
三、 填空题
7．圆x2＋(y＋4)2＝4上的点到直线l：x＋y＝1的距离的最大值为_________，最小值为__________．
【解析】
【解析】
四、 解答题
9．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
【解答】
图(1)
9．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(2) 求x＋y的最大值和最小值．
【解答】
图(2)
10．在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船，正以北偏西α(α为锐角)角方向航行，速度为40 km/h．已知距离风暴中心180 km以内的水域会受其影响．
(1) 若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值；
【解答】
如图，圆的方程为x2＋y2＝1802，设过点B(200，0)的直线的方程为y＝k(x－200)，k＜0，即kx－y－200k＝0．当l与圆O相切时，tan α取得最大值，
10．在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船，正以北偏西α(α为锐角)角方向航行，速度为40 km/h．已知距离风暴中心180 km以内的水域会受其影响．
(2) 若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续的时间．
【解答】
11．在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则( )
A．圆C的面积有最大值，有最小值 B．圆C的面积有最大值，无最小值
C．圆C的面积无最大值，有最小值 D．圆C的面积无最大值，无最小值
【解析】
C
【解析】
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13．(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4和直线l：x－y＋2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB与圆C分别相切于点A，B，则下列说法正确的是 ( )
B．四边形PACB的面积的最小值为4
C．当|PA|取得最小值时，弦AB所在直线的方程为x－y＝0
D．弦长|AB|的最小值为2
【解析】
对于B，由|PA|＝|PB|，|AC|＝|BC|，|PC|＝|PC|，可得△PAC≌△PBC，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝|PA|·r＝2|PA|≥2×2＝4，当且仅当PC⊥l时等号成立，因此四边形PACB的面积的最小值为4，故B正确．
【答案】 BC
