第3课时 圆与圆的位置关系
学习 目标 1．掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系的方法． 2．能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．(代数法)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)．
联立所得方程组的解的组数与两圆的位置关系如下：
方程组的解的组数 2 1 0
两圆的公共点的个数 2 1 0
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
2．(几何法)若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 图示 d与r1，r2的关系
外离 d＞r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2
内切 d＝|r1－r2|
内含 d＜|r1－r2|
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( × )
(2) 若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．( × )
(3) 若两圆有公共点，则两圆相交．( × )
(4) 若两圆有公共点，半径分别为r1，r2，圆心距为d，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 圆与圆的位置关系的判定
例1 (教材P96例5补充)(1) 圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为相交．
【解析】 由圆C1：(x＋2)2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9，可得两圆的圆心分别为C1(－2，0)，C2(2，1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，所以1＜|C1C2|＝＝＜5，从而两圆相交．
(2) 若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则实数m的值为－9或11．
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心为M(0，0)，半径r＝1．由x2＋y2－6x－8y－m＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝m＋25，所以圆x2＋y2－6x－8y－m＝0的圆心为N(3，4)，半径R＝．若两圆外切，则|MN|＝R＋r，即5＝＋1，解得m＝－9；若两圆内切，则|MN|＝R－r或|MN|＝r－R，即5＝－1或5＝1－(舍去)，解得m＝11．故m＝－9或m＝11．
探究2 两圆相交问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1) 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
【解答】 圆C1：(x＋3)2＋y2＝13的圆心为C1(－3，0)，半径r1＝；圆C2：x2＋(y＋3)2＝37的圆心为C2(0，－3)，半径r2＝．因为r2－r1＜|C1C2|＝＝3＜r1＋r2，所以两圆相交．设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标是方程组的解，由①－②得x－y＋4＝0．因为A，B两点的坐标都满足方程x－y＋4＝0，所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．因为点C1到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5．
(2) 求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
【解答】 方法一：解方程组得两圆的交点为A(－1，3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心坐标为(a，b)．因为该圆的圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，从而＝，解得a＝，故圆心坐标为，半径为＝，因此所求圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
方法二：因为圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为，将其代入x－y－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
(1) 求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．但必须注意只有两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
(2) 求两圆公共弦长的方法：①联立两圆的方程求出交点坐标，再用距离公式求解；②先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成直角三角形，根据勾股定理求解．
(3) 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，那么过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，不包括圆C2)．
变式2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在直线的方程和公共弦AB的长．
【解答】 圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为C1(－1，3)，半径r1＝3，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝16的圆心为C2(2，－1)，半径r2＝4．因为r2－r1＜|C1C2|＝＝5＜r1＋r2，所以两圆相交．由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理得方程3x－4y＋6＝0，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，所以3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在直线的方程．因为圆心C1到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，从而AB所在直线的方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为．
探究3 两圆相切问题
例3－1 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解答】 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1，0)，半径为1．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由题意可知解得所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4．
例3－2 (多选)已知直线l与圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝8和圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝8都相切，则直线l的方程可能为( ABC )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋5＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y－7＝0
【解析】 由题意知圆心C1的坐标为(2，3)，圆心C2的坐标为(－2，－1)，两圆半径r1＝r2＝2，所以|C1C2|＝＝4＝r1＋r2，从而圆C1与圆C2外切，于是两圆有三条公切线．如图，C1C2的中点为两圆外切的切点G(0，1)．当直线l过C1C2的中点，且与C1C2垂直时，kC1C2＝＝1，所以直线l的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0．当直线l与C1C2平行，且点C1到l的距离为2时，设直线l的方程为x－y＋m＝0，所以＝2，解得m＝－3或m＝5，从而直线l的方程为x－y＋5＝0或x－y－3＝0．综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y＋5＝0或x－y－3＝0．
(例3－2答)
(1) 两圆的公切线的条数，可由圆与圆的位置关系求解．
(2) 两圆的公切线的方程，可由圆心到切线的距离d＝r求解．
(3) 与圆有关的最值问题，将圆的半径长、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解．
随堂内化及时评价
1．圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( B )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
【解析】 两个圆的半径分别是1和3，圆心坐标分别是(0，0)，(2，－1)，圆心距是 ．因为2＜＜4，所以两圆相交．
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( C )
A． B．
C．2 D．2
【解析】 两个圆的半径分别是5，，圆心坐标分别是(0，0)，(6，3)，圆心距是3．因为5－＜3＜5＋，所以两圆相交．由x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0．圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离为d＝3，则公共弦长为2＝2．
3．已知圆C的圆心坐标为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在的直线过点(5，－2)，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．
【解析】 设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，圆C与圆M的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0．因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．
4．已知圆C1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆C2：x2＋(y－1)2＝1相交于点A，B．
(1) 若a＝2，则公共弦所在直线的方程为x－y－1＝0；
【解析】 将圆C1和圆C2的方程作差整理得直线AB的方程为2x－2y－a＝0．当a＝2时，公共弦所在直线的方程为2x－2y－2＝0，即x－y－1＝0．
(2) 若弦长|AB|＝2，则a＝－2．
【解析】 圆C2的圆心为C2(0，1)，半径r2＝1，则圆心C2到直线AB的距离d＝＝．由|AB|＝2＝2＝2，解得a＝－2，经检验，满足题意．
5．如图，圆C1和圆C2的圆心分别为C1(1，2)，C2(3，4)，半径都为，写出一条与圆C1和圆C2都相切的直线的方程：y＝x＋3(或y＝x－1或y＝－x＋5，答案不唯一，写出一个即可)．
【解析】 由已知得圆C1和圆C2的半径满足r1＝r2＝，圆心距|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，所以圆C1和圆C2外切．
方法一：易知kC1C2＝＝1，C1C2的中点坐标为(2，3)，所以一条公切线的方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5．因为两圆的半径都为，所以另外两条切线与C1C2平行．设切线方程为y＝x＋b，则＝，解得b＝3或－1．所以与圆C1和圆C2都相切的直线的方程为y＝x＋3或y＝x－1或y＝－x＋5．
方法二：由图易知，与圆C1和圆C2都相切的直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，则C1(1，2)到直线kx－y＋b＝0的距离d1＝＝①，C2(3，4)到直线kx－y＋b＝0的距离d2＝＝②，由①②解得或或所以与圆C1和圆C2都相切的直线的方程为y＝x＋3或y＝x－1或y＝－x＋5．
(第5题)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋y2＝9的位置关系是( B )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
【解析】 因为圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径r1＝1，圆O2：(x－2)2＋y2＝9的圆心为O2(2，0)，半径r2＝3，所以这两个圆的圆心距|O1O2|＝2．又r2－r1＝3－1＝2，所以圆O1与圆O2内切．
2．圆x2＋y2＝1 与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 的交点的坐标为( C )
A．(1，0)和(0，1) B．(1，0)和(0，－1)
C．(－1，0)和(0，－1) D．(－1，0)和(0，1)
【解析】 由可得x＋y＋1＝0，即y＝－x－1．联立解得或所以两圆的交点的坐标为(－1，0)和(0，－1)．
3．若圆C1：x2＋y2＋4x－6y－12＝0与圆C2：(x－4)2＋(y＋5)2＝m有且仅有3条公切线，则实数m的值为( B )
A．4 B．25
C．5 D．16
【解析】 圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝25的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝5；圆C2的圆心为C2(4，－5)，半径r2＝．由题意得圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即＝5＋，解得m＝25．
4．已知圆C1：(x－a)2＋(y－a)2＝8(a＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0没有公共点，那么实数a的取值范围为( C )
A．(0，2) B．(4，＋∞)
C．(0，2)∪(4，＋∞) D．(0，1)∪(0，2)∪(4，＋∞)
【解析】 圆C1的圆心为C1(a，a)，半径r1＝2，a＞0，圆C2的圆心为C2(1，1)，半径r2＝，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝|a－1|．因为两圆没有公共点，所以两圆外离或内含，从而d＞r1＋r2或d＜|r1－r2|，即|a－1|＞3或 |a－1|＜，又a＞0，解得0＜a＜2或a＞4．
二、 多项选择题
5．下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是( BCD )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
【解析】 圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C(－1，2)，半径为2．对于A，圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的圆心为A(－2，－2)，半径为3，故|AC|＝＝．因为|AC|≠2＋3且|AC|≠3－2，所以圆C与圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝9不相切，故A错误．对于B，圆(x－2)2＋(y＋2)2＝9的圆心为B(2，－2)，半径为3，故|BC|＝＝5．因为|BC|＝2＋3，所以圆C与圆(x－2)2＋(y＋2)2＝9外切，故B正确．对于C，圆(x－2)2＋(y－2)2＝25的圆心为E(2，2)，半径为5，故|EC|＝＝3．因为|EC|＝5－2，所以圆C与圆(x－2)2＋(y－2)2＝25内切，故C正确．对于D，圆(x－2)2＋(y＋2)2＝49的圆心为F(2，－2)，半径为7，故|FC|＝＝5．因为|FC|＝7－2，所以圆C与圆(x－2)2＋(y＋2)2＝49内切，故D正确．
6．若圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交点为A，B，则( BD )
A．线段AB的中垂线的方程为x－y＋1＝0
B．公共弦AB所在直线的方程为x＋y－3＝0
C．公共弦AB的长为2
D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1
【解析】 圆C1：2＋2＝，圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆心C1的坐标为，圆C1的半径r1＝，圆心C2的坐标为(1，1)，圆C2的半径r2＝．因为|r1－r2|＜|C1C2|＝＜r1＋r2，所以两圆相交．联立可得x＋y－3＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－3＝0，故B正确；由题意可知线段AB的中垂线为直线C1C2，易得直线C1C2的方程为x－y＝0，故A错误；因为圆心C1在公共弦AB上，所以公共弦AB的长为，故C错误；在过A，B两点的所有圆中，直径的最小值为|AB|＝，则面积最小的圆是圆C1，故D正确．
三、 填空题
7．若点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为1．
【解析】 由题意知|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆的半径和，即|PQ|min＝|OC|－2＝3－2＝1．
8．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝1，公切线的方程为x＋y＋2＝0．
【解析】 由题意得圆C1与圆C2内切．因为C1(0，0)，圆C2：(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5a，所以|C1C2|＝＝－1，从而2a＋1＝，解得a＝1，于是C2(，1)，kC1C2＝＝．联立解得所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为y＋＝－，即x＋y＋2＝0．
四、 解答题
9．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0．
(1) 求经过圆C1与圆C2交点的直线的方程；
【解答】 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C2(1，1)，半径r2＝1，于是|C1C2|＝∈(r1－r2，r1＋r2)，即圆C1与圆C2相交．令两圆的交点分别为A，B，则A，B的坐标是方程组的解．方程组中的两式相减得x＋y－1＝0，则A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，所以AB所在直线的方程为x＋y－1＝0．
(第9题答)
(2) 求圆C1与圆C2的公共弦长．
【解答】 对于圆C1：x2＋y2＝1，圆心C1到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，所以圆C1与圆C2的公共弦的长为2＝2＝．
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0．
(1) 当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
【解答】 当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1，0)，半径r2＝1，两圆的圆心距d＝＝2．又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，从而圆C1和圆C2相交．
(2) 是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】 不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3．假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d＝＜3－1，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．
11．(多选)已知两个不重合的圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，则下列说法正确的是( ABD )
A．圆C1，C2恒有公共点
B．圆C1，C2至多有三条公切线
C．若圆C2平分圆C1的周长，则m＋2n＝10
D．若圆C2平分圆C1的周长，则n2－m的最小值为9
【解析】 圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C1(1，2)，半径r1＝，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0的圆心为C2，半径r2＝．对于A，圆C1和圆C2都一定过原点(0，0)，则圆C1，C2恒有公共点，故A正确．对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，故B正确．对于C，若圆C2平分圆C1的周长，则两圆的公共弦必过圆C1的圆心C1(1，2)，联立整理可得(m＋2)x＋(n＋4)y＝0，所以m＋2＋2(n＋4)＝0，即m＋2n＝－10，故C错误．对于D，由C可得m＋2n＝－10，即m＝－2n－10，所以n2－m＝n2＋2n＋10＝(n＋1)2＋9，当n＝－1时，n2－m取得最小值9，故D正确．
12．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点．
(1) 求线段PQ的长；
【解答】 由圆O与圆C的方程相减，知公共弦PQ所在直线的方程为3x＋y－3＝0．因为点(0，0)到直线PQ的距离d＝，所以|PQ|＝2＝．
(2) 记圆O与x轴的正半轴交于点M，点N在圆C上运动，求△MNC的面积最大时的直线MN的方程．
【解答】 易知M(2，0)．因为|MC|＝，|NC|＝2，所以S△MNC＝|MC|·|NC|·sin ∠MCN＝2sin ∠MCN．当∠MCN＝90°时，S△MNC取得最大值，此时MC⊥NC．又kCM＝1，则直线NC的方程为y＝－x＋4．由得N(1，3)或N(5，－1)．当点N的坐标为(1，3)时，kMN＝－3，此时直线MN的方程为3x＋y－6＝0；当点N的坐标为(5，－1)时，kMN＝－，此时直线MN的方程为x＋3y－2＝0．综上，直线MN的方程为3x＋y－6＝0或x＋3y－2＝0．第3课时 圆与圆的位置关系
学习 目标 1．掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系的方法． 2．能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．(代数法)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)．
联立所得方程组的解的组数与两圆的位置关系如下：
方程组的解的组数 2 1 0
两圆的公共点的个数
两圆的位置关系
2．(几何法)若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 图示 d与r1，r2的关系
外离
外切
相交
内切
内含
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( )
(2) 若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．( )
(3) 若两圆有公共点，则两圆相交．( )
(4) 若两圆有公共点，半径分别为r1，r2，圆心距为d，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．( )
典例精讲能力初成
探究1 圆与圆的位置关系的判定
例1 (教材P96例5补充)(1) 圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为 ．
(2) 若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则实数m的值为 ．
探究2 两圆相交问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1) 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2) 求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
(1) 求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．但必须注意只有两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
(2) 求两圆公共弦长的方法：①联立两圆的方程求出交点坐标，再用距离公式求解；②先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成直角三角形，根据勾股定理求解．
(3) 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，那么过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，不包括圆C2)．
变式2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在直线的方程和公共弦AB的长．
探究3 两圆相切问题
例3－1 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
例3－2 (多选)已知直线l与圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝8和圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝8都相切，则直线l的方程可能为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋5＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y－7＝0
(1) 两圆的公切线的条数，可由圆与圆的位置关系求解．
(2) 两圆的公切线的方程，可由圆心到切线的距离d＝r求解．
(3) 与圆有关的最值问题，将圆的半径长、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解．
随堂内化及时评价
1．圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )
A． B．
C．2 D．2
3．已知圆C的圆心坐标为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在的直线过点(5，－2)，则圆C的方程为 ．
4．已知圆C1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆C2：x2＋(y－1)2＝1相交于点A，B．
(1) 若a＝2，则公共弦所在直线的方程为 ；
(2) 若弦长|AB|＝2，则a＝ ．
5．如图，圆C1和圆C2的圆心分别为C1(1，2)，C2(3，4)，半径都为，写出一条与圆C1和圆C2都相切的直线的方程： ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋y2＝9的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
2．圆x2＋y2＝1 与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 的交点的坐标为( )
A．(1，0)和(0，1) B．(1，0)和(0，－1)
C．(－1，0)和(0，－1) D．(－1，0)和(0，1)
3．若圆C1：x2＋y2＋4x－6y－12＝0与圆C2：(x－4)2＋(y＋5)2＝m有且仅有3条公切线，则实数m的值为( )
A．4 B．25
C．5 D．16
已知圆C1：(x－a)2＋(y－a)2＝8(a＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0没有公共点，那么实数a的取值范围为( )
A．(0，2) B．(4，＋∞)
C．(0，2)∪(4，＋∞) D．(0，1)∪(0，2)∪(4，＋∞)
二、 多项选择题
5．下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
6．若圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交点为A，B，则( )
A．线段AB的中垂线的方程为x－y＋1＝0
B．公共弦AB所在直线的方程为x＋y－3＝0
C．公共弦AB的长为2
D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1
三、 填空题
7．若点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为 ．
8．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝ ，公切线的方程为 ．
四、 解答题
9．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0．
(1) 求经过圆C1与圆C2交点的直线的方程；
(2) 求圆C1与圆C2的公共弦长．
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0．
(1) 当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
(2) 是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
11．(多选)已知两个不重合的圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆C1，C2恒有公共点
B．圆C1，C2至多有三条公切线
C．若圆C2平分圆C1的周长，则m＋2n＝10
D．若圆C2平分圆C1的周长，则n2－m的最小值为9
12．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点．
(1) 求线段PQ的长；
(2) 记圆O与x轴的正半轴交于点M，点N在圆C上运动，求△MNC的面积最大时的直线MN的方程．(共52张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
第3课时 圆与圆的位置关系
学习 目标 1．掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系的方法．
2．能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．
新知初探·基础落实
一、 概念表述
方程组的解的组数 2 1 0
两圆的公共点的个数 _____ _____ _____
两圆的位置关系 ________ ______________ ______________
2
1
0
相交
外切或内切
外离或内含
2．(几何法)若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 图示 d与r1，r2的关系
外离 ___________
外切 ___________
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
位置关系 图示 d与r1，r2的关系
相交 _______________________
内切 _______________
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
位置关系 图示 d与r1，r2的关系
内含 _______________
d＜|r1－r2|
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若两圆没有公共点，则两圆一定外离． ( )
(2) 若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． ( )
(3) 若两圆有公共点，则两圆相交． ( )
(4) 若两圆有公共点，半径分别为r1，r2，圆心距为d，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2． ( )
×
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
圆与圆的位置关系的判定
(教材P96例5补充)(1) 圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．
1
【解析】
相交
(2) 若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则实数m的值为___________．
1
【解析】
－9或11
探究
2
两圆相交问题
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1) 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
2
【解答】
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(2) 求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
【解答】
2
(1) 求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．但必须注意只有两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
(2) 求两圆公共弦长的方法：①联立两圆的方程求出交点坐标，再用距离公式求解；②先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成直角三角形，根据勾股定理求解．
(3) 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，那么过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，不包括圆C2)．
变式2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在直线的方程和公共弦AB的长．
【解答】
由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理得方程3x－4y＋6＝0，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，所以3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在直线的方程．
探究
3
两圆相切问题
【解答】
3－1
(多选)已知直线l与圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝8和圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝8都相切，则直线l的方程可能为 ( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋5＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y－7＝0
3－2
【解析】
【答案】 ABC
(1) 两圆的公切线的条数，可由圆与圆的位置关系求解．
(2) 两圆的公切线的方程，可由圆心到切线的距离d＝r求解．
(3) 与圆有关的最值问题，将圆的半径长、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解．
随堂内化·及时评价
1．圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是 ( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
【解析】
B
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为 ( )
【解析】
C
3．已知圆C的圆心坐标为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在的直线过点(5，－2)，则圆C的方程为______________________．
【解析】
设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，圆C与圆M的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0．因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．
(x－2)2＋(y－1)2＝4
(1) 若a＝2，则公共弦所在直线的方程为________________；
【解析】
(2) 若弦长|AB|＝2，则a＝_______．
【解析】
－2
与圆C1和圆C2都相切的直线的方程：_____________________________________．
【解析】
【答案】 y＝x＋3(或y＝x－1或y＝－x＋5，答案不唯一，写出一个即可)
配套新练案
一、 单项选择题
1．圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋y2＝9的位置关系是 ( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
【解析】
因为圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径r1＝1，圆O2：(x－2)2＋y2＝9的圆心为O2(2，0)，半径r2＝3，所以这两个圆的圆心距|O1O2|＝2．又r2－r1＝3－1＝2，所以圆O1与圆O2内切．
B
2．圆x2＋y2＝1 与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 的交点的坐标为 ( )
A．(1，0)和(0，1) B．(1，0)和(0，－1)
C．(－1，0)和(0，－1) D．(－1，0)和(0，1)
【解析】
C
3．若圆C1：x2＋y2＋4x－6y－12＝0与圆C2：(x－4)2＋(y＋5)2＝m有且仅有3条公切线，则实数m的值为 ( )
A．4 B．25
C．5 D．16
【解析】
B
4．已知圆C1：(x－a)2＋(y－a)2＝8(a＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0没有公共点，那么实数a的取值范围为 ( )
A．(0，2) B．(4，＋∞)
C．(0，2)∪(4，＋∞) D．(0，1)∪(0，2)∪(4，＋∞)
【解析】
C
二、 多项选择题
5．下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是 ( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
【解析】
【答案】BCD
6．若圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交点为A，B，则 ( )
A．线段AB的中垂线的方程为x－y＋1＝0
B．公共弦AB所在直线的方程为x＋y－3＝0
C．公共弦AB的长为2
D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1
【解析】
由题意可知线段AB的中垂线为直线C1C2，易得直线C1C2的方程为x－y＝0，故A错误；
【答案】BD
三、 填空题
7．若点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为_____．
【解析】
由题意知|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆的半径和，即|PQ|min＝|OC|－2＝3－2＝1．
1
【解析】
1
四、 解答题
9．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0．
(1) 求经过圆C1与圆C2交点的直线的方程；
【解答】
9．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0．
(2) 求圆C1与圆C2的公共弦长．
【解答】
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0．
(1) 当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
【解答】
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0．
(2) 是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】
11．(多选)已知两个不重合的圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，则下列说法正确的是 ( )
A．圆C1，C2恒有公共点
B．圆C1，C2至多有三条公切线
C．若圆C2平分圆C1的周长，则m＋2n＝10
D．若圆C2平分圆C1的周长，则n2－m的最小值为9
【解析】
对于A，圆C1和圆C2都一定过原点(0，0)，则圆C1，C2恒有公共点，故A正确．
对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，故B正确．
对于D，由C可得m＋2n＝－10，即m＝－2n－10，所以n2－m＝n2＋2n＋10＝(n＋1)2＋9，当n＝－1时，n2－m取得最小值9，故D正确．
【答案】ABD
12．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点．
(1) 求线段PQ的长；
【解答】
12．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点．
(2) 记圆O与x轴的正半轴交于点M，点N在圆C上运动，求△MNC的面积最大时的直线MN的方程．
【解答】
