微专题2 对称问题
典例剖析素养初现
拓展1 点关于点对称
例1 点A(2，－1)关于点M(3，4)对称的点B的坐标为(4，9)．
【解析】 设B(x，y)，由解得x＝4，y＝9，故点B的坐标为(4，9).
点A(a，b)关于点M(m，n)对称的点A1的坐标为(2m－a，2n－b).
拓展2 点关于直线对称
例2 点(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的点是( B )
A. (1，0) B. (0，1)
C. (0，－1) D. (2，1)
【解析】 设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的点是B(a，b)，则有解得故点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0，1).
如图，求点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点Q(a，b)的步骤：
设PQ的中点为D，利用中点坐标公式得D，将点D的坐标代入直线l：Ax＋By＋C＝0中，结合kPQ·kl＝－1可求得点Q的坐标．
变式2 已知某地A，B两村在同一平面直角坐标系中的坐标分别为(1，2)，(4，0)，一条河所在直线l的方程为x＋2y－10＝0.现要在河边上建一座供水站P分别向A，B两村供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方？
【解答】 如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P.若点P′(异于点P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站建在P处，才能使得所用管道最省．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即解得即A′(3，6)，所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.联立解得所以点P的坐标为.故供水站P应建在点处．
(变式2答)
拓展3 直线关于点对称
例3 求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线的方程．
【解答】 方法一：在直线2x＋11y＋16＝0上取一点A(－8，0)，则点A关于点P(0，1)对称的点B的坐标为(8，2).设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0.因为直线过点B(8，2)，所以2×8＋11×2＋C＝0，解得C＝－38，从而所求直线的方程为2x＋11y－38＝0.
方法二：设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0(C≠16)，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38，所以所求直线的方程为2x＋11y－38＝0.
方法三：设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于点P(0，1)对称的点为(－x，2－y).因为点(－x，2－y)在直线2x＋11y＋16＝0上，所以2(－x)＋11(2－y)＋16＝0，化简得2x＋11y－38＝0，即所求直线的方程为2x＋11y－38＝0.
求解直线关于点对称的问题的方法：
如图，求直线l1关于点P(a，b)对称的直线l2.
方法一：在直线l1上找一点A，求点A关于点P对称的点B.由l1∥l2，知k1＝k2，再由点斜式求直线l2的方程．
方法二：由l1∥l2设出直线l2的方程，由点P到两直线的距离相等求相关参数．
拓展4 直线关于直线对称
例4 (1) 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．
【解答】 方法一：联立得直线l1与直线l的交点为A.在直线l1上取一点B(2，0)，设点B关于直线l对称的点为C(x，y)，则解得即C(－2，4).又直线l2过A和C(－2，4)两点，故由两点式得直线l2的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
方法二：设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l对称的点为N(x，y)，则线段MN的中点的坐标为，直线MN的斜率为.由题意得解得因为M(x0，y0)在直线l1上，所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0.
(2) 已知直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：2x－y＋1＝0对称的直线为l2，求直线l2的方程．
【解答】 由题意可设直线l2的方程为2x－y＋c＝0(c≠3)，则有＝，即2＝|c－1|，解得c＝3(舍去)或c＝－1，所以直线l2的方程为2x－y－1＝0.
求解直线关于直线对称的问题的方法：
(1) 如图，已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)相交，求l1关于直线l对称的直线l2.
方法一：①求出l1与l的交点P；
②在l1上任意取一点M(不同于点P)，求点M关于直线l的对称点N；
③根据P，N两点求出直线l2.
方法二：可设直线l2：A1x＋B1y＋C＝0，再根据直线l到直线l1和直线l2的距离相等求出直线l2.
(2) 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和直线l：A1x＋B1y＋C2＝0，求l1关于直线l对称的直线l2.
方法同(1)中方法二．
随堂内化及时评价
1. 点A(2，1)关于点M(－1，0)对称的点A1的坐标为(－4，－1)．
【解析】 设A1(x，y)，则由解得x＝－4，y＝－1，所以A1(－4，－1).
2. 点A(0，－3)关于直线l：x＋y－3＝0对称的点的坐标为( B )
A. (5，2) B. (6，3)
C. (3，6) D. (6，－3)
【解析】 设点A(0，－3)关于直线l：x＋y－3＝0对称的点为B(x，y).由题意知解得所以点A(0，－3)关于直线l：x＋y－3＝0对称的点的坐标为(6，3).
3. 直线3x－2y＝0关于点对称的直线的方程为3x－2y－2＝0．
【解析】 设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为.因为点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线的方程为3x－2y－2＝0.
4. 已知点P在直线x－y－1＝0上，点A(1，－2)，B(2，6)，则|PA|－|PB|的最小值为－3，此时点P的坐标为(－3，－4)．
【解析】 设点A(1，－2)关于直线x－y－1＝0对称的点为E(a，b)，则解得则E(－1，0)，于是|PA|－|PB|＝|PE|－|PB|，结合图形，当B，E，P三点共线，即点P在点Q的位置时，|PE|－|PB|取得最小值－|BE|＝－3.而kBQ＝＝2，则直线BQ的方程为y＝2x＋2.由得点Q(－3，－4)，因此|PA|－|PB|取得最小值时点P的坐标为(－3，－4).
(第4题答)
5. 若一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0．
【解析】 取直线2x－y＋2＝0上一点A(0，2).设点A(0，2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，则解得所以B(3，5).联立解得所以直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1，4).因为反射光线为经过点B(3，5)和P(1，4)的直线，所以反射光线所在直线的方程为y－4＝(x－1)，即x－2y＋7＝0.
配套新练案
一、 选择题
1. 在平面直角坐标系中，点(0，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为( D )
A. (－1，2) B. (2，－1)
C. (1，3) D. (3，1)
【解析】 设点(0，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点是(a，b)，则解得
2. 已知直线l′与直线x＋3y＋1＝0关于点M(2，1)对称，则直线l′的方程为( A )
A. x＋3y－11＝0 B. x＋3y＋11＝0
C. 3x＋y－11＝0 D. 3x＋y＋11＝0
【解析】 由题意可设直线l′的方程为x＋3y＋m＝0(m≠1)，则＝，解得m＝－11或m＝1(舍去)，故直线l′的方程为x＋3y－11＝0.
3. 如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( A )
(第3题)
A. 2 B. 6
C. 3 D. 2
【解析】 由题意知AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB对称的点为D(4，2)，关于y轴对称的点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.
(第3题答)
4. (多选)若一光线过点(2，4)，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(13，1)，则反射光线还经过点( AD )
A. B. (14，1)
C. (13，2) D. (5，0)
【解析】 因为直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k＝－1，从而l：y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.设点(2，4)关于l对称的点为(a，b)，则解得所以反射光线所在直线的方程为＝，即x－8y－5＝0，从而反射光线还经过点，(5，0).
二、 填空题
5. 直线2x＋5y－3＝0关于点M(－1，2)对称的直线的方程是2x＋5y－13＝0．
【解析】 设所求直线为l′：2x＋5y＋C0＝0，则有＝，解得C0＝－3(舍去)或C0＝－13.所以直线l′的方程为2x＋5y－13＝0.
6. 已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，则直线l2关于直线l1对称的直线l的方程是x－2y＋4＝0．
【解析】 由解得所以直线l过点P.显然Q(－1，1)是直线l2上一点，设点Q关于直线l1对称的点为Q′(x0，y0)，则解得 所以Q′(0，2). 因为直线l经过点P，Q′，所以直线l的方程为x－2y＋4＝0.
三、 解答题
7. 已知点P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1.
(1) 求点P关于直线l对称的点R的坐标；
【解答】 设点P关于直线l对称的点R的坐标为(x，y)，则有解得所以R.
(2) 求直线PM关于直线l对称的直线的方程．
【解答】 因为点M(1，3)在直线l上，点P关于直线l的对称点为R，所以直线MR即为所求的直线，从而所求直线的方程为11x＋2y－17＝0.
8. 已知光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射.
(1) 求点M关于x轴对称的点P的坐标；
【解答】 由得所以M(－2，1)，从而点M关于x轴对称的点P的坐标为(－2，－1).
(2) 求反射光线所在直线l3的方程；
【解答】 方法一：设直线MN的倾斜角为α.因为入射角等于反射角，所以直线l3的倾斜角为180°－α.又kMN＝＝－，所以直线l3的斜率k3＝，故反射光线所在直线l3的方程为y＝(x－1)，即y＝x－.
方法二：因为入射角等于反射角，所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为＝，整理得y＝x－，故反射光线所在直线l3的方程为y＝x－.
(3) 求与l3的距离为的直线的方程．
【解答】 设与l3平行的直线为y＝x＋b，根据两平行直线间的距离公式得＝，解得b＝3或b＝－，所以与l3的距离为的直线的方程为y＝x－或y＝x＋3.微专题2 对称问题
典例剖析素养初现
拓展1 点关于点对称
例1 点A(2，－1)关于点M(3，4)对称的点B的坐标为 ．
点A(a，b)关于点M(m，n)对称的点A1的坐标为(2m－a，2n－b).
拓展2 点关于直线对称
例2 点(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的点是( )
A. (1，0) B. (0，1)
C. (0，－1) D. (2，1)
如图，求点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点Q(a，b)的步骤：
设PQ的中点为D，利用中点坐标公式得D，将点D的坐标代入直线l：Ax＋By＋C＝0中，结合kPQ·kl＝－1可求得点Q的坐标．
变式2 已知某地A，B两村在同一平面直角坐标系中的坐标分别为(1，2)，(4，0)，一条河所在直线l的方程为x＋2y－10＝0.现要在河边上建一座供水站P分别向A，B两村供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方？
拓展3 直线关于点对称
例3 求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线的方程．
求解直线关于点对称的问题的方法：
如图，求直线l1关于点P(a，b)对称的直线l2.
方法一：在直线l1上找一点A，求点A关于点P对称的点B.由l1∥l2，知k1＝k2，再由点斜式求直线l2的方程．
方法二：由l1∥l2设出直线l2的方程，由点P到两直线的距离相等求相关参数．
拓展4 直线关于直线对称
例4 (1) 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．
(2) 已知直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：2x－y＋1＝0对称的直线为l2，求直线l2的方程．
求解直线关于直线对称的问题的方法：
(1) 如图，已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)相交，求l1关于直线l对称的直线l2.
方法一：①求出l1与l的交点P；
②在l1上任意取一点M(不同于点P)，求点M关于直线l的对称点N；
③根据P，N两点求出直线l2.
方法二：可设直线l2：A1x＋B1y＋C＝0，再根据直线l到直线l1和直线l2的距离相等求出直线l2.
(2) 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和直线l：A1x＋B1y＋C2＝0，求l1关于直线l对称的直线l2.
方法同(1)中方法二．
随堂内化及时评价
1. 点A(2，1)关于点M(－1，0)对称的点A1的坐标为 ．
2. 点A(0，－3)关于直线l：x＋y－3＝0对称的点的坐标为( )
A. (5，2) B. (6，3)
C. (3，6) D. (6，－3)
3. 直线3x－2y＝0关于点对称的直线的方程为 ．
已知点P在直线x－y－1＝0上，点A(1，－2)，B(2，6)，则|PA|－|PB|的最小值为
，此时点P的坐标为 ．
5. 若一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在直线的方程为 ．
配套新练案
一、 选择题
1. 在平面直角坐标系中，点(0，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为( )
A. (－1，2) B. (2，－1)
C. (1，3) D. (3，1)
2. 已知直线l′与直线x＋3y＋1＝0关于点M(2，1)对称，则直线l′的方程为( )
A. x＋3y－11＝0 B. x＋3y＋11＝0
C. 3x＋y－11＝0 D. 3x＋y＋11＝0
3. 如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
(第3题)
A. 2 B. 6
C. 3 D. 2
4. (多选)若一光线过点(2，4)，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(13，1)，则反射光线还经过点( )
A. B. (14，1)
C. (13，2) D. (5，0)
二、 填空题
5. 直线2x＋5y－3＝0关于点M(－1，2)对称的直线的方程是 ．
6. 已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，则直线l2关于直线l1对称的直线l的方程是 ．
三、 解答题
7. 已知点P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1.
(1) 求点P关于直线l对称的点R的坐标；
(2) 求直线PM关于直线l对称的直线的方程．
8. 已知光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射.
(1) 求点M关于x轴对称的点P的坐标；
(2) 求反射光线所在直线l3的方程；
(3) 求与l3的距离为的直线的方程．(共36张PPT)
第二章 直线和圆的方程
微专题2 对称问题
典例剖析 素养初现
点A(2，－1)关于点M(3，4)对称的点B的坐标为_________．
1
点关于点对称
【解析】
(4，9)
拓展
1
点A(a，b)关于点M(m，n)对称的点A1的坐标为(2m－a，2n－b).
点(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的点是 ( )
A.(1，0) B.(0，1) C.(0，－1) D.(2，1)
2
点关于直线对称
【解析】
B
拓展
2
如图，求点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点Q(a，b)的步骤：
已知某地A，B两村在同一平面直角坐标系中的坐标分别为(1，2)，(4，0)，一条河所在直线l的方程为x＋2y－10＝0.现要在河边上建一座供水站P分别向A，B两村供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方？
【解答】
变式2
求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线的方程．
3
直线关于点对称
【解答】
方法一：在直线2x＋11y＋16＝0上取一点A(－8，0)，则点A关于点P(0，1)对称的点B的坐标为(8，2).设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0.因为直线过点B(8，2)，所以2×8＋11×2＋C＝0，解得C＝－38，从而所求直线的方程为2x＋11y－38＝0.
拓展
3
方法三：设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于点P(0，1)对称的点为(－x，2－y).因为点(－x，2－y)在直线2x＋11y＋16＝0上，所以2(－x)＋11(2－y)＋16＝0，化简得2x＋11y－38＝0，即所求直线的方程为2x＋11y－38＝0.
求解直线关于点对称的问题的方法：
如图，求直线l1关于点P(a，b)对称的直线l2.
方法一：在直线l1上找一点A，求点A关于点P对称的点B.由l1∥l2，知k1＝k2，再由点斜式求直线l2的方程．
方法二：由l1∥l2设出直线l2的方程，由点P到两直线的距离相等求相关参数．
(1) 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．
4
数a直线关于直线对称学
【解答】
拓展
4
(2) 已知直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：2x－y＋1＝0对称的直线为l2，求直线l2的方程．
【解答】
方法一：①求出l1与l的交点P；
②在l1上任意取一点M(不同于点P)，求点M关于直线l的对称点N；
③根据P，N两点求出直线l2.
方法二：可设直线l2：A1x＋B1y＋C＝0，再根据直线l到直线l1和直线l2的距离相等求出直线l2.
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 点A(2，1)关于点M(－1，0)对称的点A1的坐标为_____________．
(－4，－1)
【解析】
2. 点A(0，－3)关于直线l：x＋y－3＝0对称的点的坐标为 ( )
A.(5，2) B.(6，3) C.(3，6) D.(6，－3)
B
【解析】
3x－2y－2＝0
【解析】
4. 已知点P在直线x－y－1＝0上，点A(1，－2)，B(2，6)，则|PA|－|PB|的最小值为________，此时点P的坐标为_____________．
【解析】
5. 若一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在直线的方程为______________．
x－2y＋7＝0
配套新练案
一、 选择题
1. 在平面直角坐标系中，点(0，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为 ( )
A.(－1，2) B.(2，－1) C.(1，3) D.(3，1)
D
【解析】
2. 已知直线l′与直线x＋3y＋1＝0关于点M(2，1)对称，则直线l′的方程为 ( )
A. x＋3y－11＝0 B. x＋3y＋11＝0
C. 3x＋y－11＝0 D. 3x＋y＋11＝0
A
【解析】
3. 如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 ( )
【解析】
A
【解析】
【答案】AD
二、 填空题
5. 直线2x＋5y－3＝0关于点M(－1，2)对称的直线的方程是________________．
【解析】
2x＋5y－13＝0
6. 已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，则直线l2关于直线l1对称的直线l的方程是______________．
x－2y＋4＝0
【解析】
三、 解答题
7. 已知点P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1.
(1) 求点P关于直线l对称的点R的坐标；
【解答】
(2) 求直线PM关于直线l对称的直线的方程．
【解答】
8. 已知光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射.
(1) 求点M关于x轴对称的点P的坐标；
【解答】
(2) 求反射光线所在直线l3的方程；
【解答】
【解答】
