微专题3 隐圆问题
典例剖析素养初现
拓展1 阿波罗尼斯圆
例1 已知两个定点A(－2，0)，B(4，0)，若动点P满足＝，求动点P的轨迹．
【解答】 设点P(x，y)，则＝，整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以动点P的轨迹是以(－4，0)为圆心、4为半径的圆．
阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点A，B，设点P在同一平面上且满足＝λ(λ≠1)，则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆．
(1) 阿波罗尼斯圆的圆心C在直线AB上，半径为|AB|；
(2) 阿波罗尼斯圆的圆心C一定不在点A，B之间，且|CA|·|CB|等于半径的平方．
拓展2 其他形式的隐圆
例2 (1) 已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是[0，3]．
【解析】 设点M(x，y)．由点A(0，2)，O(0，0)及|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．圆C上存在点M满足|MA|2＋|MO|2＝10等价于圆E与圆C有公共点，所以|2－1|≤|CE|≤2＋1，即|2－1|≤≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3]．
(2) 若直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为3．
【解析】 因为直线l1，l2分别经过定点A(0，2)，B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上，圆心为C(1，1)，半径r＝．因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝3．
(3) 若圆x2＋y2＝6上的两个动点A，B满足||＝2，点M在圆x2＋y2＝16上运动，则|＋|的最小值为4．
【解析】 圆x2＋y2＝6的圆心为原点，半径r＝．因为|AB|＝2，所以圆x2＋y2＝6的圆心到直线AB的距离d＝＝2．设线段AB的中点为N，则|ON|＝d＝2，所以点N在以原点为圆心、r1＝2为半径的圆上，从而点N的轨迹方程为x2＋y2＝4．因为N为AB的中点，所以＋＝2，从而|＋|min＝2||min．因为点M在圆x2＋y2＝16上运动，圆x2＋y2＝16的半径r2＝4，所以|＋|min＝2||min＝2×(4－2)＝4．
(4) (多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的值可能为( BD )
A．－2 B．－1
C．2 D．0
【解析】 设点M(x，y)，则＝(－x－1，－y)，＝(－x＋1，－y)，所以·＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，从而点M的轨迹方程为x2＋y2＝4，它表示一个圆，且圆心坐标为(0，0)，半径为2．由题意可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点，又圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圆心坐标为(2a－1，2a＋2)，半径为1，所以1≤≤3，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是．
(5) 已知a，b均为单位向量，且夹角为，若向量c满足(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 将向量a，b，c的起点平移到原点O，设向量2a，b，c的终点分别为A，B，C，则c－2a＝－＝，c－b＝－＝．由(c－2a)·(c－b)＝0得·＝0，即⊥，则点C在以AB为直径的圆上．因为a，b均为单位向量，且夹角为，所以不妨设a＝(1，0)，b＝，从而A(2，0)，B，于是以AB为直径的圆的圆心M的坐标为，半径为＝．又|OM|＝＝，所以|c|＝|OC|≤|OM|＋＝＋，即|c|的最大值为．
圆的方程是常考内容，但有些时候，条件中不会直接给出圆的相关信息，而是将信息隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．如何发现隐圆(或圆的方程)是关键，常见的模型如下：
模型一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
模型二：利用动点P对两定点A，B的张角是90°(即直线PA，PB的斜率存在时，kPA·kPB＝－1或直线PA，PB中一条直线的倾斜角为0°，另一条直线的倾斜角为90°，也即·＝0)确定隐圆；
模型三：利用两定点A，B，动点P满足·＝λ确定隐圆；
模型四：利用两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值确定隐圆．
随堂内化及时评价
1．已知定点A(－2，0)，B(2，0)，动点C满足|AC|＝2|BC|，那么动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P．若点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，则当∠DFE＝30°时，直线AD的斜率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 设动点C(x，y)，由题意知＝2，化简可得x2＋y2－x＋4＝0，即圆P的方程为2＋y2＝．如图，因为∠DFE＝30°，所以由平面几何知识可知∠DPE＝60°．又|PE|＝|PD|，所以△DPE为等边三角形．过圆心P作PG⊥DE于点G，则|PG|＝|PE|sin 60°＝×＝，|PA|＝|PO|＋|OA|＝＋2＝，sin ∠PAG＝＝＝，所以cos ∠PAG＝＝，故kAD＝tan ∠PAG＝＝．
(第1题答)
2．已知点A(－1，0)，B(1，0)．若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝8，则实数a的值不可能为( D )
A．－2 B．－1
C．0 D．3
【解析】 设点M(x，y)，则·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝8，整理得x2＋y2＝9．由题意知圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1与圆x2＋y2＝9有公共点，所以2≤≤4，解得≤a≤．
3．已知圆O：x2＋y2＝1和圆O1：(x－2)2＋y2＝1，过动点P分别作圆O，圆O1的切线PA，PB(A，B为切点)，且|PA|2＋|PB|2＝18，则|PA|的最大值为．
【解析】 设点P(m，n)，则|PO|2＝|PA|2＋1，即m2＋n2＝|PA|2＋1，|PO1|2＝|PB|2＋1，即(m－2)2＋n2＝|PB|2＋1．又|PA|2＋|PB|2＝18，所以(m2＋n2)＋[(m－2)2＋n2]＝20，化简得(m－1)2＋n2＝9，从而点P的轨迹是以M(1，0)为圆心，R＝3为半径的圆．因为|PA|＝，且|PO|max＝|PM|＋|MO|＝3＋1＝4，所以|PA|的最大值为＝．
4．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为＋1．
【解析】 设＝a，＝b，＝c，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(如图)．因为|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，所以A(4，0)，B(2，2)．设C(x，y)，由(c－a)·(c－b)＝－1，可得(x－4，y)·(x－2，y－2)＝(x－4)(x－2)＋y(y－2)＝－1，即x2＋y2－6x－2y＋9＝0，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3，1)为圆心、1为半径的圆上，从而|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4，0)的距离．因为圆心到点A的距离为，所以|c－a|的最大值为＋1．
(第4题答)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围是( A )
A．(－2，0)∪(0，2) B．(－2，2)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，1)
【解析】 因为圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，所以圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．易知|OC|＝，由2－1＜|OC|＜2＋1，得1＜＜3，所以0＜|a|＜2，从而－2＜a＜0或0＜a＜2．
2．已知点A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 x2＋y2－8x－8y＋31＝0可化为(x－4)2＋(y－4)2＝1，所以圆C的圆心为C(4，4)，半径r＝1．设AB的中点为M，则M(1，0)．而|AB|＝2|m|，所以以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋y2＝m2．若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点．又|MC|＝＝5，所以|m|－1≤5且|m|＋1≥5，解得4≤|m|≤6，即－6≤m≤－4或4≤m≤6，即实数m的最大值是6．
3．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最小值是( B )
A． B．
C． D．1
【解析】 如图，以向量a，b的夹角的平分线所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，使得a，b的坐标分别为，．设c的坐标为(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以·＝0，化简得2＋y2＝，该方程表示以C为圆心、为半径的圆，则|c|的最小值即为圆C上的点到原点的距离的最小值．因为圆心C到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为－．
(第3题答)
4．已知点O(0，0)，A(3，0)，动点P满足＝2，那么动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是( C )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
【解析】 设P(x，y)．由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，则点P的轨迹是圆心为(－1，0)，半径R＝2的圆．圆(x－1)2＋y2＝1表示圆心坐标为(1，0)，半径r＝1的圆．因为两圆的圆心距为2，满足R－r＜2＜R＋r，所以两圆相交．
二、 填空题
5．已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)．设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，则d的最小值为14－4．
【解析】 设P(x0，y0)，则|PA|2＝(x0＋1)2＋y，|PB|2＝(x0－1)2＋y，|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝x＋2x0＋1＋y＋x－2x0＋1＋y＝2x＋2y＋2＝2(x＋y)＋2，当|OP|取得最小值时，|PA|2＋|PB|2取得最小值．圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－1，2)，半径r＝1，易知|OP|min＝|OC|－r＝－1＝－1，此时x＋y＝(－1)2，所以dmin＝2×(－1)2＋2＝14－4．
6．已知点A(2，0)，圆C：(x－a－1)2＋(y－a)2＝1上存在一点P，使得·＝3，则实数a的取值范围是∪．
【解析】 设P(x，y)，而A(2，0)，由·＝3，得(2－x，－y)·(－x，－y)＝3，化简得(x－1)2＋y2＝4．因为圆C：(x－a－1)2＋(y－a)2＝1上存在一点P，使得·＝3，所以圆(x－1)2＋y2＝4与圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝1有公共点，从而2－1≤≤2＋1，解得－≤a≤－或≤a≤．
7．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)，若直线l与x轴交于点A，过直线l上一点P作圆C的切线，切点为T，且|PA|＝|PT|，则点P的轨迹方程是(x－6)2＋y2＝36，实数k的取值范围是．
【解析】 由题意知直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A(－2，0)．设P(x，y)，由|PA|＝|PT|，可得(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，即x2＋y2－12x＝0，所以满足|PA|＝|PT|的点P的轨迹是圆(x－6)2＋y2＝36．原问题转化为直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以≤6，解得－≤k≤，即k的取值范围是．
8．(2025·徐州期末)已知点A(0，2)，若圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在一点P，使得|PO|2＋|PA|2＝34(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是[0，5]．
【解析】 设P(x，y)，则|PO|2＝x2＋y2，|PA|2＝x2＋(y－2)2，所以x2＋y2＋x2＋(y－2)2＝34，展开并整理得x2＋(y－1)2＝16，故点P的轨迹是以Q(0，1)为圆心，r＝4为半径的圆．圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圆心为M(a，a－4)，半径R＝1．由题意知圆M与圆Q有公共点．又两圆的圆心距d＝|MQ|＝＝，所以|r－R|≤d≤r＋R，即3≤≤5．对于3≤，两边平方得9≤2a2－10a＋25，即a2－5a＋8≥0，Δ＝(－5)2－4×8＝－7＜0，所以a2－5a＋8≥0恒成立．对于≤5，两边平方得2a2－10a≤0，解得0≤a≤5．综上，0≤a≤5．
三、 解答题
9．如图，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，试问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
(第9题)
【解答】 方法一：由条件①，得＝＝，设|PA|＝5x，|PB|＝3x，则cos ∠PAB＝＝＋，所以点P到直线AB的距离h＝|PA|sin ∠PAB＝5x·＝＝，从而当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15 km，即选址应满足|PA|＝5 km，|PB|＝3 km．
方法二：以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－8，0)，B(8，0)．由条件①，得＝＝，设P(x，y)(y＞0)，则3＝5，化简得(x－17)2＋y2＝152(y＞0)，即点P的轨迹是以点(17，0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的部分，则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15 km，所以点P的选址在上述坐标系中的坐标为(17，15)．
(第9题答)
方法三：由条件①，得＝＝，过点P作PD⊥AB，垂足为D(图略)．设|PD|＝h，|AD|＝x，则|DB|＝|16－x|，由3＝5，得h2＝－(x－25)2＋225，所以当x＝25时，h取得最大值15，|PA|＝＝5 km，|PB|＝|PA|＝3 km，即选址应满足|PA|＝5 km，|PB|＝3 km．微专题3 隐圆问题
典例剖析素养初现
拓展1 阿波罗尼斯圆
例1 已知两个定点A(－2，0)，B(4，0)，若动点P满足＝，求动点P的轨迹．
阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点A，B，设点P在同一平面上且满足＝λ(λ≠1)，则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆．
(1) 阿波罗尼斯圆的圆心C在直线AB上，半径为|AB|；
(2) 阿波罗尼斯圆的圆心C一定不在点A，B之间，且|CA|·|CB|等于半径的平方．
拓展2 其他形式的隐圆
例2 (1) 已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是 ．
(2) 若直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为 ．
(3) 若圆x2＋y2＝6上的两个动点A，B满足||＝2，点M在圆x2＋y2＝16上运动，则|＋|的最小值为 ．
(4) (多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的值可能为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．0
(5) 已知a，b均为单位向量，且夹角为，若向量c满足(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值为( )
A． B．
C． D．
圆的方程是常考内容，但有些时候，条件中不会直接给出圆的相关信息，而是将信息隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．如何发现隐圆(或圆的方程)是关键，常见的模型如下：
模型一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
模型二：利用动点P对两定点A，B的张角是90°(即直线PA，PB的斜率存在时，kPA·kPB＝－1或直线PA，PB中一条直线的倾斜角为0°，另一条直线的倾斜角为90°，也即·＝0)确定隐圆；
模型三：利用两定点A，B，动点P满足·＝λ确定隐圆；
模型四：利用两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值确定隐圆．
随堂内化及时评价
1．已知定点A(－2，0)，B(2，0)，动点C满足|AC|＝2|BC|，那么动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P．若点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，则当∠DFE＝30°时，直线AD的斜率为( )
A． B．
C． D．
2．已知点A(－1，0)，B(1，0)．若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝8，则实数a的值不可能为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．3
3．已知圆O：x2＋y2＝1和圆O1：(x－2)2＋y2＝1，过动点P分别作圆O，圆O1的切线PA，PB(A，B为切点)，且|PA|2＋|PB|2＝18，则|PA|的最大值为 ．
4．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，0)∪(0，2) B．(－2，2)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，1)
2．已知点A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
3．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最小值是( )
A． B．
C． D．1
4．已知点O(0，0)，A(3，0)，动点P满足＝2，那么动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
二、 填空题
5．已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)．设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，则d的最小值为 ．
6．已知点A(2，0)，圆C：(x－a－1)2＋(y－a)2＝1上存在一点P，使得·＝3，则实数a的取值范围是 ．
7．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)，若直线l与x轴交于点A，过直线l上一点P作圆C的切线，切点为T，且|PA|＝|PT|，则点P的轨迹方程是 ，实数k的取值范围是 ．
8．(2025·徐州期末)已知点A(0，2)，若圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在一点P，使得|PO|2＋|PA|2＝34(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是 ．
三、 解答题
9．如图，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，试问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
(第9题)(共30张PPT)
第二章 直线和圆的方程
微专题3 隐圆问题
典例剖析·素养初现
拓展
1
阿波罗尼斯圆
1
【解答】
拓展
2
其他形式的隐圆
(1) 已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是__________．
2
【解析】
[0，3]
(2) 若直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为_______．
【解析】
2
【解析】
2
4
【解析】
2
BD
2
【解析】
【答案】 D
圆的方程是常考内容，但有些时候，条件中不会直接给出圆的相关信息，而是将信息隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．如何发现隐圆(或圆的方程)是关键，常见的模型如下：
模型一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
随堂内化·及时评价
1．已知定点A(－2，0)，B(2，0)，动点C满足|AC|＝2|BC|，那么动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P．若点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，则当∠DFE＝30°时，直线AD的斜率为 ( )
【解析】
【答案】A
【解析】
D
3．已知圆O：x2＋y2＝1和圆O1：(x－2)2＋y2＝1，过动点P分别作圆O，圆O1的切线PA，PB(A，B为切点)，且|PA|2＋|PB|2＝18，则|PA|的最大值为______．
【解析】
【解析】
配套新练案
一、 单项选择题
1．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围是 ( )
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，1)
【解析】
因为圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，所以圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．
A
2．已知点A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】
C
【解析】
【答案】 B
【解析】
设P(x，y)．由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，则点P的轨迹是圆心为(－1，0)，半径R＝2的圆．圆(x－1)2＋y2＝1表示圆心坐标为(1，0)，半径r＝1的圆．因为两圆的圆心距为2，满足R－r＜2＜R＋r，所以两圆相交．
C
二、 填空题
5．已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)．设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，则d的最小值为___________．
【解析】
【解析】
【解析】
(x－6)2＋y2＝36
8．(2025·徐州期末)已知点A(0，2)，若圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在一点P，使得|PO|2＋|PA|2＝34(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是_________．
【解析】
设P(x，y)，则|PO|2＝x2＋y2，|PA|2＝x2＋(y－2)2，所以x2＋y2＋x2＋(y－2)2＝34，展开并整理得x2＋(y－1)2＝16，故点P的轨迹是以Q(0，1)为圆心，r＝4为半径的圆．圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圆心为M(a，a－4)，半径R＝1．
[0，5]
三、 解答题
9．如图，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：
①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，试问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
【解答】
