章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
直 线 和 圆 的 方 程 点线距 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为 d＝
线线距 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)间的距离为d＝
平行 当不重合的两条直线l1和l2的斜率k1和k2都存在时，则l1∥l2 k1＝k2； 当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，若它们都与x轴垂直，则l1∥l2
垂直 当两条直线l1和l2的斜率k1和k2都存在时，则l1⊥l2 k1·k2＝－1； 当两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，l1⊥l2
直 线 和 圆 的 方 程 圆的 方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示圆心为，半径为的圆；Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆 A＝C≠0且B＝0，D2＋E2－4F＞0
直径方程 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(·＝0，P为圆上任一点)
点与 圆位 置关 系的 判断 几何法 已知圆心坐标为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点P在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点P在圆内； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P在圆上
直 线 和 圆 的 方 程 相交 相切 相离
直线 与圆 位置 关系 的判 断 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
几何法 d＜r d＝r d＞r
圆与 圆位 置关 系的 判断 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
几何法 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝r1＋r2或d＝|r1－r2| d＞r1＋r2(外离)或 d＜|r1－r2|(内含)
考法聚焦素养养成
考法1 两直线的平行与垂直
例1 求满足下列条件的直线的方程：
(1) 过点(1，2)，且与直线3x－2y＋3＝0平行；
【解答】 设与直线3x－2y＋3＝0平行的直线的方程为3x－2y＋a＝0，a≠3．因为直线过点(1，2)，所以3×1－2×2＋a＝0，解得a＝1，从而所求直线的方程为3x－2y＋1＝0．
(2) 过点(－1，2)，且与直线3x－y＋2＝0垂直；
【解答】 设与直线3x－y＋2＝0垂直的直线的方程为x＋3y＋b＝0．因为直线过点(－1，2)，所以－1＋3×2＋b＝0，解得b＝－5，从而所求直线的方程为x＋3y－5＝0．
(3) 过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．
【解答】 当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝c(c≠0)．因为直线过点(1，－2)，所以c＝1＋(－2)＝－1，从而所求直线的方程为x＋y＝－1．当直线过原点时，设直线方程为y＝kx．因为直线过点(1，－2)，所以－2＝k，从而所求直线的方程为y＝－2x．综上，所求直线的方程为2x＋y＝0或x＋y＋1＝0．
【题组训练】
1．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：4x＋ay＋2＝0平行，则实数a的值为－2．
【解析】 直线l1：ax＋y＋1＝0的斜率k1＝－a．当a＝0时，直线l1：y＝－1，l2：x＝－，两直线不平行．当a≠0时，直线l2的斜率k2＝－，所以－a＝－，解得a＝±2．当a＝2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当a＝－2时，两直线平行．故a＝－2．
2．已知直线l1：x＋ay－a＝0，l2：ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则实数a的值为0或2．
【解析】 因为直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，所以1×a＋a×[－(2a－3)]＝0，解得a＝0或a＝2．
考法2 两直线交点与距离问题
例2 (多选)已知直线l1：(a＋2)x＋y＋a＋1＝0与l2：3x＋ay－2a＝0，则下列说法正确的是( ABD )
A．直线l1恒过第二象限
B．坐标原点到直线l1的最大距离为
C．若l1⊥l2，则a＝
D．若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为
【解析】 对于A，将直线l1的方程可变形为a(x＋1)＋(2x＋y＋1)＝0．令解得所以直线l1恒过定点(－1，1)，该点在第二象限，从而直线l1恒过第二象限，故A正确．对于B，因为直线l1恒过定点A(－1，1)，坐标原点O(0，0)到直线l1的最大距离就是原点O到定点A的距离．根据两点间距离公式，得|OA|＝＝，故B正确．对于C，若l1⊥l2，则3(a＋2)＋a＝0，解得a＝－，故C错误．对于D，当a＝0时，两直线不平行；当a≠0时，由l1∥l2，得＝，整理得a2＋2a－3＝0，解得a＝1或a＝－3．当a＝－3时，两直线重合；当a＝1时，经检验符合要求．所以l1：3x＋y＋2＝0，l2：3x＋y－2＝0，从而它们之间的距离d＝＝＝，故D正确．
【题组训练】
1．已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋(2m－2)y＋m＝0，则l1与l2间的距离为．
【解析】 由l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋(2m－2)y＋m＝0平行，得2(2m－2)－1×4＝0，解得m＝2．当m＝2时，l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，所以l1与l2间的距离为＝．
2．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为( D )
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
【解析】 因为点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，所以＝1，解得m＝15或m＝5．
考法3 直线与圆的位置关系
例3 (多选)已知圆C：x2＋y2＋4x＝0，P是直线l：4x＋3y－7＝0上的一动点，过点P作直线PA，PB，分别与圆C相切于点A，B，则( ABD )
A．存在圆心在l上的圆与圆C相内切
B．四边形PACB面积的最小值为2
C．|AB|的最小值是2
D．点(2，3)关于l对称的点在圆C内
【解析】 圆C：(x＋2)2＋y2＝4的圆心为C(－2，0)，半径r＝2．对于A，在直线l上取点P(1，1)，|PC|＝＞2，点P在圆C外，以点P为圆心、＋2为半径的圆与圆C相内切，故A正确；对于B，四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|AC|·|PA|＝2＝2，点C到直线l的距离d＝＝3，而|PC|≥d＝3，所以S≥2，当且仅当PC⊥l时取等号，故B正确；对于C，当PC⊥l时，|PC|＝3，由AB⊥PC，得S＝|AB|·|PC|＝2，解得|AB|＝＜2，故C错误；对于D，点(2，3)到直线l的距离为＝2，点(2，3)与点C的距离为5，点(2，3)与圆心C(－2，0)确定的直线的斜率为，而直线l的斜率为－，即点(2，3)与点C确定的直线垂直于l，所以点(2，3)关于l对称的点到点C的距离为5－2×2＝1＜r，从而点(2，3)关于l对称的点在圆C内，故D正确．
(例3答)
【题组训练】
1．已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值：2．
【解析】 设圆心C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝．又d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±或m＝±2．
2．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( ACD )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
【解析】 圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为＝＝＞4，所以点P到直线AB的距离的最小值为－4＜2，最大值为＋4＜10，故A正确，B错误；如图，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|PB|＝＝3，故C正确，D正确．
(第2题答)
考法4 圆与圆的位置关系
例4 (多选)已知圆O1：x2＋y2＝1和圆O2：x2＋y2＋2x－2y＝0的交点为A，B，则有( ABD )
A．公共弦AB所在直线的方程为2x－2y＋1＝0
B．线段AB的中垂线的方程为x＋y＝0
C．公共弦AB的长为
D．若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为＋1
【解析】 如图，圆O1的圆心为原点，半径r1＝1，圆O2的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，圆心为O2(－1，1)，半径r2＝．对于A，将两圆方程作差可得2x－2y＋1＝0，所以公共弦AB所在直线的方程为2x－2y＋1＝0，故A正确．对于B，易知O1O2垂直平分线段AB，又kO1O2＝＝－1，所以直线O1O2的方程为y＝－x，即x＋y＝0，因此线段AB的中垂线的方程为x＋y＝0，故B正确．对于C，圆心O1到直线AB的距离d1＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故C错误．对于D，P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为d1＋r1＝＋1，故D正确．
(例4答)
【题组训练】
1．若圆C：x2＋y2－2y－1＝0上存在唯一一点P，使得|PA|＝|PO|，其中点A(a，0)，则正数a的值为( B )
A．3± B．2±
C．3± D．2＋
【解析】 圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，则该圆的圆心坐标为C(0，1)，半径为．设P(xP，yP)，则|PA|＝，|PO|＝．因为|PA|＝|PO|，所以(xP－a)2＋y＝2(x＋y)，化简得(xP＋a)2＋y＝2a2，故点P在以M(－a，0)为圆心、a为半径的圆M上．又因为存在唯一一点P在圆C上，所以两圆外切或内切，从而|MC|＝＋a或|MC|＝|－a|，即＝＋a或＝|－a|，解得a＝－2±或a＝2±．因为a是正数，所以a＝2±．
2．(多选)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－2ax－2ay－5＝0(a＞0)有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是( ABD )
A．圆C1与圆C2内切
B．a＝1
C．公切线l的方程为2x－2y＋＝0
D．公切线l的方程为x＋y＋2＝0
【解析】 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r＝1，圆C2：x2＋y2－2ax－2ay－5＝0(a＞0)，即(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5，圆心为C2(a，a)，半径R＝＞r．由圆C1与圆C2有且仅有一条公切线l，且圆心C1在圆C2内，知两圆内切，故A正确．由两圆内切及a＞0得|C1C2|＝＝－1，即2a＋1＝，解得a＝1，故B正确．由C1(0，0)，C2(，1)，得kC1C2＝＝，则公切线的斜率为－．
方法一：联立解得所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为y＋＝－，即x＋y＋2＝0．
方法二：圆C1：x2＋y2－1＝0 ①，圆C2：x2＋y2－2x－2y－5＝0 ②，两圆方程作差得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0．设两圆的切点为P(x0，y0)，则点P的坐标适合方程①②，也适合方程x＋y＋2＝0．又直线x＋y＋2＝0的斜率为－，即直线x＋y＋2＝0与两圆圆心连线C1C2垂直，故直线x＋y＋2＝0是过点P且垂直于C1C2的直线，即为两圆公切线，故C错误，D正确．
(第2题答)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．若直线l的方向向量是(1，sin θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是( D )
A．[0，π) B．
C． D．∪
【解析】 若直线l的方向向量是(1，sin θ)，则直线l的斜率k＝sin θ，所以－1≤k≤1，从而α∈∪．
2．若点A(2，1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
【解析】 由题意知22＋12－4m－2＋5＞0，解得m＜2．又(－2m)2＋(－2)2－4×5＞0，所以m＜－2或m＞2．所以m＜－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2)．
3．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( C )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】 在直线ax＋y＋2－a＝0，即a(x－1)＋y＋2＝0中，令x－1＝0，得x＝1，y＝－2，所以直线过定点(1，－2)．设P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径r＝，从而|PC|＝1．当PC⊥AB时，|AB|最小，此时|AB|＝2＝2×＝4．
4．已知圆O1和圆O2都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线y＝x上，半径之差为4，则|O1O2|等于( A )
A．4 B．4
C．6 D．6
【解析】 因为圆O1和圆O2的圆心都在直线y＝x上，所以可设圆心O1的坐标为(a，a)，O2的坐标为(b，b)．因为两圆都和x轴正半轴相切，所以圆O1的半径r1＝|a|＝a(a＞0)，圆O2的半径r2＝|b|＝b(b＞0)．由两圆半径之差为4，不妨设r1－r2＝4，即a－b＝4，则|O1O2|＝＝＝4．
(第4题答)
二、 多项选择题
5．已知圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，则下列说法正确的是( BCD )
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得弦的长为4
C．圆C与圆E：(x－6)2＋(y－2)2＝1外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则实数m的取值范围是(14，24)∪(－26，－16)
【解析】 圆C的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，所以圆心为C(3，－2)，半径r＝4，故A错误．设圆C与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，在圆C的方程中，令y＝0，可得x2－6x－3＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝－3，所以弦长|x1－x2|＝＝＝4，故B正确．圆E的圆心为E(6，2)，半径r′＝1，所以圆心距|CE|＝＝5＝r＋r′，从而两圆外切，故C正确．若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则圆心C到直线的距离d满足3＜d＜5，而d＝＝，所以3＜＜5，解得14＜m＜24或－26＜m＜－16，即实数m的取值范围是(14，24)∪(－26，－16)，故D正确．
6．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( ABD )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【解析】 圆心C(0，0)到直线l的距离d＝．若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，从而直线l与圆C相切，故A正确．若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以d＝＞|r|，从而直线l与圆C相离，故B正确．若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜|r|，从而直线l与圆C相交，故C错误．若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，从而直线l与圆C相切，故D正确．
三、 填空题
7．若直线ax＋y－a＋1＝0与直线(2a－1)x＋ay－a＝0平行，则实数a的值为1．
【解析】 因为两条直线平行，所以a·a＝1·(2a－1)，且－a·1≠(－a＋1)·a，解得a＝1．
8．设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则实数a的取值范围是．
【解析】 点A(－2，3)关于y＝a对称的点为A′(－2，2a－3)．又点B(0，a)在直线y＝a上，所以直线AB关于y＝a对称的直线为A′B，且直线A′B的方程为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0．圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心C到直线A′B的距离d＝≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，即a∈．
四、 解答题
9．已知△ABC的顶点C的坐标为(0，3)，边BC上的中线AM所在直线的方程为x＋5y－4＝0，边AC上的高BN所在直线的方程为4x－3y＋5＝0．
(1) 求顶点A的坐标；
【解答】 由边AC上的高BN所在直线的方程为4x－3y＋5＝0，可设AC所在直线的方程为3x＋4y＋m＝0，将点C的坐标代入有0＋12＋m＝0，解得m＝－12，所以AC所在直线的方程为3x＋4y－12＝0．联立得所以点A(4，0)．
(2) 求直线AB的方程．
【解答】 设点B的坐标为(a，b)，则M，所以解得从而B(－2，－1)，于是kAB＝，故直线AB的方程为y＝(x－4)，即x－6y－4＝0．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4．
(1) 若直线l过点A(1，1)且与圆C相切，求直线l的方程；
【解答】 因为(1－3)2＋(1－4)2＝4＋9＞4，所以点A(1，1)在圆C外．当l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0．因为直线l与圆C相切，所以圆心C(3，4)到直线l的距离为2，即d＝＝2，解得k＝，此时直线l的方程为5x－12y＋7＝0．当直线l的斜率不存在时，即l：x＝1，此时直线l与圆C相切．综上，直线l的方程为5x－12y＋7＝0或x＝1．
(2) 若直线l过点B(5，0)，且与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【解答】 因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，所以圆心C到直线l的距离d＝，故S△CPQ＝×d×2＝≤＝2，当且仅当d＝时等号成立，此时＝，解得k＝－1或k＝－7．所以直线l的方程为x＋y－5＝0或7x＋y－35＝0．
11．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α的值为( B )
A．1 B．
C． D．
【解析】 方法一：因为圆x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，所以圆心为C(2，0)，半径r＝．过点P(0，－2)作圆C的切线，设切点为A，B，因为|PC|＝＝2，所以|PA|＝＝，从而sin ∠APC＝＝，cos ∠APC＝＝，于是sin ∠APB＝sin 2∠APC＝2sin ∠APC cos ∠APC＝2××＝，cos ∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝－＝－＜0，于是∠APB为钝角．所以sinα＝sin (π－∠APB)＝sin ∠APB＝．
方法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心为C(2，0)，半径r＝．如图，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝．由|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos ∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA||CB|·cos ∠ACB且∠ACB＝π－∠APB，可得3＋3－6cos ∠APB＝5＋5－10cos (π－∠APB)，即3－3cos ∠APB＝5＋5cos ∠APB，解得cos ∠APB＝－＜0，所以∠APB为钝角，从而cos α＝cos (π－∠APB)＝－cos ∠APB＝，且α为锐角，故sin α＝＝．
(第11题答)
12．(教材P98第12题改编)已知A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)三点，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72．
【解析】 设P(x，y)，因为A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3x2＋3y2－4y＋68．因为点P在圆x2＋y2＝4上运动，所以x2＝4－y2≥0，解得－2≤y≤2．所以3x2＋3y2－4y＋68＝－4y＋80．当y＝－2时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最大值88；当y＝2时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值72．
13．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于直线x＋y＝0的对称圆的圆心为D，直线l过点(1，0)．
(1) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
【解答】 由题意可知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，则圆心为C(2，2)，半径r＝1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则＝1，解得k＝，所以l的方程为x－y－＝0，即3x－4y－3＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与圆C相切，符合题意．综上，直线l的方程为x＝1或3x－4y－3＝0．
(第13题答)
(2) 若直线l与圆D交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
【解答】 设点D的坐标为(a，b)，则解得所以圆D的方程为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则圆心D到直线l的距离d＝＝．根据勾股定理可得d2＋＝r2，即＋＝12，整理得17k2－24k＋7＝0，解得k＝或k＝1，所以直线l的方程为7x－17y－7＝0或x－y－1＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与圆D相离，不符合题意．综上，直线l的方程为7x－17y－7＝0或x－y－1＝0．章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
直 线 和 圆 的 方 程 点线距 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为
线线距 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)间的距离为
平行 当不重合的两条直线l1和l2的斜率k1和k2都存在时，则l1∥l2 ； 当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，若它们都与x轴垂直，则l1∥l2
垂直 当两条直线l1和l2的斜率k1和k2都存在时，则l1⊥l2 ； 当两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，l1⊥l2
直 线 和 圆 的 方 程 圆的 方程 标准方程
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示圆心为，半径为的圆；Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆 A＝C≠0且B＝0，D2＋E2－4F＞0
直径方程 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(·＝0，P为圆上任一点)
点与 圆位 置关 系的 判断 几何法 已知圆心坐标为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点P ； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点P ； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P
直 线 和 圆 的 方 程 相交 相切 相离
直线 与圆 位置 关系 的判 断 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
几何法 d＜r d＝r d＞r
圆与 圆位 置关 系的 判断 代数法
几何法 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝r1＋r2或d＝|r1－r2| d＞r1＋r2(外离)或 d＜|r1－r2|(内含)
考法聚焦素养养成
考法1 两直线的平行与垂直
例1 求满足下列条件的直线的方程：
(1) 过点(1，2)，且与直线3x－2y＋3＝0平行；
(2) 过点(－1，2)，且与直线3x－y＋2＝0垂直；
(3) 过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．
【题组训练】
1．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：4x＋ay＋2＝0平行，则实数a的值为 ．
2．已知直线l1：x＋ay－a＝0，l2：ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
考法2 两直线交点与距离问题
例2 (多选)已知直线l1：(a＋2)x＋y＋a＋1＝0与l2：3x＋ay－2a＝0，则下列说法正确的是( )
A．直线l1恒过第二象限
B．坐标原点到直线l1的最大距离为
C．若l1⊥l2，则a＝
D．若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为
【题组训练】
1．已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋(2m－2)y＋m＝0，则l1与l2间的距离为 ．
2．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为( )
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
考法3 直线与圆的位置关系
例3 (多选)已知圆C：x2＋y2＋4x＝0，P是直线l：4x＋3y－7＝0上的一动点，过点P作直线PA，PB，分别与圆C相切于点A，B，则( )
A．存在圆心在l上的圆与圆C相内切
B．四边形PACB面积的最小值为2
C．|AB|的最小值是2
D．点(2，3)关于l对称的点在圆C内
【题组训练】
1．已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值： ．
2．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
考法4 圆与圆的位置关系
例4 (多选)已知圆O1：x2＋y2＝1和圆O2：x2＋y2＋2x－2y＝0的交点为A，B，则有( )
A．公共弦AB所在直线的方程为2x－2y＋1＝0
B．线段AB的中垂线的方程为x＋y＝0
C．公共弦AB的长为
D．若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为＋1
【题组训练】
1．若圆C：x2＋y2－2y－1＝0上存在唯一一点P，使得|PA|＝|PO|，其中点A(a，0)，则正数a的值为( )
A．3± B．2±
C．3± D．2＋
2．(多选)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－2ax－2ay－5＝0(a＞0)有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是( )
A．圆C1与圆C2内切
B．a＝1
C．公切线l的方程为2x－2y＋＝0
D．公切线l的方程为x＋y＋2＝0
配套新练案
一、 单项选择题
1．若直线l的方向向量是(1，sin θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0，π) B．
C． D．∪
若点A(2，1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
4．已知圆O1和圆O2都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线y＝x上，半径之差为4，则|O1O2|等于( )
A．4 B．4
C．6 D．6
二、 多项选择题
5．已知圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得弦的长为4
C．圆C与圆E：(x－6)2＋(y－2)2＝1外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则实数m的取值范围是(14，24)∪(－26，－16)
6．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、 填空题
7．若直线ax＋y－a＋1＝0与直线(2a－1)x＋ay－a＝0平行，则实数a的值为 ．
8．设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题
9．已知△ABC的顶点C的坐标为(0，3)，边BC上的中线AM所在直线的方程为x＋5y－4＝0，边AC上的高BN所在直线的方程为4x－3y＋5＝0．
(1) 求顶点A的坐标；
(2) 求直线AB的方程．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4．
(1) 若直线l过点A(1，1)且与圆C相切，求直线l的方程；
(2) 若直线l过点B(5，0)，且与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
11．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α的值为( )
A．1 B．
C． D．
12．(教材P98第12题改编)已知A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)三点，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为 ，最小值为 ．
13．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于直线x＋y＝0的对称圆的圆心为D，直线l过点(1，0)．
(1) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2) 若直线l与圆D交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．(共53张PPT)
第二章 直线和圆的方程
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理·系统整合
直 线 和 圆 的 方 程 点线距 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为______________
线线距 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)间的距离
为_______________
平行 当不重合的两条直线l1和l2的斜率k1和k2都存在时，则l1∥l2 ________；
当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，若它们都与x轴垂直，则l1∥l2
垂直 当两条直线l1和l2的斜率k1和k2都存在时，则l1⊥l2 _____________；
当两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，l1⊥l2
k1＝k2
k1·k2＝－1
直 线 和 圆 的 方 程 圆的 方程 标准方程 _________________________
一般方程
直径方程
点与圆 位置关系的判断 几何法 已知圆心坐标为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点P__________；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点P__________；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P__________
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
在圆外
在圆内
在圆上
直 线 和 圆 的 方 程 相交 相切 相离
直线与圆位置关系的判断 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
几何法 d＜r d＝r d＞r
圆与圆位置关系的判断 代数法 ________________ ________________ ______________
几何法 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝r1＋r2或 d＝|r1－r2| d＞r1＋r2(外离)或
d＜|r1－r2|(内含)
方程组有两组解
方程组有一组解
方程组无解
考法聚焦·素养养成
考法
1
两直线的平行与垂直
求满足下列条件的直线的方程：
(1) 过点(1，2)，且与直线3x－2y＋3＝0平行；
1
【解答】
设与直线3x－2y＋3＝0平行的直线的方程为3x－2y＋a＝0，a≠3．因为直线过点(1，2)，所以3×1－2×2＋a＝0，解得a＝1，从而所求直线的方程为3x－2y＋1＝0．
求满足下列条件的直线的方程：
(2) 过点(－1，2)，且与直线3x－y＋2＝0垂直；
1
【解答】
设与直线3x－y＋2＝0垂直的直线的方程为x＋3y＋b＝0．因为直线过点 (－1，2)，所以－1＋3×2＋b＝0，解得b＝－5，从而所求直线的方程为x＋3y－5＝0．
求满足下列条件的直线的方程：
(3) 过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．
1
【解答】
当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝c(c≠0)．因为直线过点(1，－2)，所以c＝1＋(－2)＝－1，从而所求直线的方程为x＋y＝－1．
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx．因为直线过点(1，－2)，所以－2＝k，从而所求直线的方程为y＝－2x．综上，所求直线的方程为2x＋y＝0或x＋y＋1＝0．
【题组训练】
1．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：4x＋ay＋2＝0平行，则实数a的值为_______．
【解析】
直线l1：ax＋y＋1＝0的斜率k1＝－a．
－2
2．已知直线l1：x＋ay－a＝0，l2：ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则实数a的值为________．
【解析】
因为直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，所以1×a＋a×[－(2a－3)]＝0，解得a＝0或a＝2．
0或2
考法
2
两直线交点与距离问题
(多选)已知直线l1：(a＋2)x＋y＋a＋1＝0与l2：3x＋ay－2a＝0，则下列说法正确的是 ( )
A．直线l1恒过第二象限
2
【解析】
【答案】 ABD
【题组训练】
1．已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋(2m－2)y＋m＝0，则l1与l2间的距离为
________．
【解析】
2．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为 ( )
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
【解析】
D
考法
3
直线与圆的位置关系
(多选)已知圆C：x2＋y2＋4x＝0，P是直线l：4x＋3y－7＝0上的一动点，过点P作直线PA，PB，分别与圆C相切于点A，B，则 ( )
A．存在圆心在l上的圆与圆C相内切
D．点(2，3)关于l对称的点在圆C内
3
【解析】
【答案】ABD
【解析】
2．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
【解析】
【答案】ACD
(多选)已知圆O1：x2＋y2＝1和圆O2：x2＋y2＋2x－2y＝0的交点为A，B，则有 ( )
A．公共弦AB所在直线的方程为2x－2y＋1＝0
B．线段AB的中垂线的方程为x＋y＝0
4
考法
3
圆与圆的位置关系
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】ABD
配套新练案
一、 单项选择题
1．若直线l的方向向量是(1，sin θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
【解析】
D
2．若点A(2，1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
【解析】
由题意知22＋12－4m－2＋5＞0，解得m＜2．又(－2m)2＋(－2)2－4×5＞0，所以m＜－2或m＞2．所以m＜－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2)．
C
3．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】
C
4．已知圆O1和圆O2都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线y＝x上，半径之差为4，则|O1O2|等于 ( )
【解析】
A
二、 多项选择题
5．已知圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，则下列说法正确的是 ( )
A．圆C的半径为16
C．圆C与圆E：(x－6)2＋(y－2)2＝1外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则实数m的取值范围是(14，24)∪(－26，－16)
【解析】
圆C的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，所以圆心为C(3，－2)，半径r＝4，故A错误．
【答案】BCD
6．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 ( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【解析】
【答案】ABD
三、 填空题
7．若直线ax＋y－a＋1＝0与直线(2a－1)x＋ay－a＝0平行，则实数a的值为_____．
【解析】
因为两条直线平行，所以a·a＝1·(2a－1)，且－a·1≠(－a＋1)·a，解得a＝1．
1
8．设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2
＝1有公共点，则实数a的取值范围是________．
【解析】
四、 解答题
9．已知△ABC的顶点C的坐标为(0，3)，边BC上的中线AM所在直线的方程为x＋5y－4＝0，边AC上的高BN所在直线的方程为4x－3y＋5＝0．
(1) 求顶点A的坐标；
【解答】
9．已知△ABC的顶点C的坐标为(0，3)，边BC上的中线AM所在直线的方程为x＋5y－4＝0，边AC上的高BN所在直线的方程为4x－3y＋5＝0．
(2) 求直线AB的方程．
【解答】
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4．
(1) 若直线l过点A(1，1)且与圆C相切，求直线l的方程；
【解答】
当直线l的斜率不存在时，即l：x＝1，此时直线l与圆C相切． 综上，直线l的方程为5x－12y＋7＝0或x＝1．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4．
(2) 若直线l过点B(5，0)，且与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【解答】
【解析】
【答案】B
12．(教材P98第12题改编)已知A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)三点，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为______，最小值为______．
【解析】
设P(x，y)，因为A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3x2＋3y2－4y＋68．因为点P在圆x2＋y2＝4上运动，所以x2＝4－y2≥0，解得－2≤y≤2．所以3x2＋3y2－4y＋68＝－4y＋80．当y＝－2时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最大值88；当y＝2时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值72．
88
72
13．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于直线x＋y＝0的对称圆的圆心为D，直线l过点(1，0)．
(1) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
【解答】
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与圆C相切，符合题意． 综上，直线l的方程为x＝1或3x－4y－3＝0．
13．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于直线x＋y＝0的对称圆的圆心为D，直线l过点(1，0)．
【解答】
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与圆D相离，不符合题意．综上，直线l的方程为7x－17y－7＝0或x－y－1＝0．
