第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
第1课时 椭圆及其标准方程(1)
学习 目标 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 a2－b2＝c2
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段．( √ )
(2) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( × )
(3) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( √ )
(4) 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( × )
典例精讲能力初成
探究1 椭圆的定义及辨析
例1 已知F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是( C )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．直线
【解析】 因为a2＋1≥2a (当且仅当a＝1时等号成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|．当a＞0且a≠1时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a＝1 时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2．
设平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a．当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
变式1 如果点M(x，y)在运动过程中，其坐标总满足关系式＋＝4，则点M的轨迹( B )
A．不存在 B．是椭圆
C．是线段 D．是圆
【解析】 ＋＝4表示点M(x，y)到点(0，－3)，(0，3)的距离之和为4，而3－(－3)＝6＜4，所以点M的轨迹是椭圆．
探究2 求椭圆的标准方程
视角1 用定义法求椭圆的标准方程
例2－1 (教材P107例1补充)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
【解答】 由题意得a＝2，b＝1，且椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(2) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，经过点(5，0)；
【解答】 由焦点坐标知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又a＝5，所以b2＝16，从而所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(3) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10；
【解答】 由焦点坐标知椭圆的焦点在x轴上，且c＝4．由点P到两焦点的距离之和为10，得a＝5，则b2＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(4) 两个焦点的坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26．
【解答】 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5，从而b2＝a2－c2＝144，于是椭圆的标准方程为＋＝1．
定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．
视角2 用待定系数法求椭圆的标准方程
例2－2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
【解答】 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为所求椭圆经过点(4，3)，所以＋＝1．又c2＝a2－b2＝4，解得a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1．
(2) 经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
【解答】 由9x2＋4y2＝36，得＋＝1，所以c＝，故椭圆的焦点坐标为(0，±)．设所求椭圆的方程为 ＋＝1(a＞)．因为椭圆经过点(2，3)，所以＋＝1，解得a2＝15或a2＝3 (舍去)，从而所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(3) 焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和．
【解答】 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．因为椭圆经过点(2，－)，，所以解得从而所求椭圆的标准方程为＋＝1．
待定系数法求椭圆的标准方程的步骤(“先定位，再定量”)：
若椭圆的焦点位置不确定，可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
探究3 根据椭圆的标准方程求参数
例3 (多选)若椭圆＋＝1的焦距为2，则实数m的值可以为( BC )
A．1 B．4
C．6 D．7
【解析】 由题意可得2c＝2，即c＝1．若椭圆的焦点在x轴上，则c2＝9－(m＋4)＝1，解得m＝4；若椭圆的焦点在y轴上，则c2＝(m＋4)－9＝1，解得m＝6．
随堂内化及时评价
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点M，则|MF1|＋|MF2|等于( D )
A． B．
C．2 D．2
【解析】 由＋＝1，可得a2＝3，解得a＝．将点M的坐标代入椭圆的方程，得＋＝1，故点M在椭圆＋＝1上，则由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2．
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为( B )
A． B．
C． D．∪
【解析】 若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜3－m＜2m－1，解得＜m＜3，即m的取值范围为．
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且过点P，则椭圆C的标准方程为＋＝1．
【解析】 由题意知c＝1①．由椭圆C经过点P，得＋＝1②．而a2－b2＝c2③，联立①②③解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的标准方程为＋＝1．
4．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上，∠PF1F2＝90°，则△PF1F2的面积为．
【解析】 在椭圆C：＋＝1中，a＝3，b＝，c＝＝，则|F1F2|＝2．又点P在椭圆C上，∠PF1F2＝90°，所以可设点P的坐标为(－，yP)，从而＋＝1，解得|yP|＝1，故S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|＝．
(第4题答)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为该椭圆上任意一点，则△PF1F2的周长为( D )
A．10 B．13
C．14 D．16
【解析】 由题意知a＝5，b＝4，所以c＝3，从而|F1F2|＝2c＝6．由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16．
2．已知椭圆kx2＋5y2＝5的一个焦点的坐标是(2，0)，那么实数k的值为( A )
A．1 B．
C． D．
【解析】 由kx2＋5y2＝5，得＋y2＝1．因为椭圆＋y2＝1的一个焦点的坐标是(2，0)，所以解得k＝1．
3．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 因为|PF1|＝6，2a＝16，所以|PF2|＝10，|F1F2|＝2＝10，故cos ∠PF1F2＝＝＝．
4．方程＋＝1表示椭圆的一个充分不必要条件是( B )
A．m＞且m≠3 B．m＞4
C．m＞ D．m＞0
【解析】 若方程＋＝1表示椭圆，则有解得m＞且m≠3．因为集合{m|m＞4}是集合的真子集，所以“m＞4”是“方程＋＝1表示椭圆”的充分不必要条件．
二、 多项选择题
5．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是( ACD )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若n＞m＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【解析】 对于A，mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，若m＞n＞0，则＜，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点、半径为的圆，故B不正确；对于C，同A可知C正确；对于D，若m＝0，n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
6．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两个焦点的距离分别为和，过点P作对称轴的垂线，该直线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程可以为( AB )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】 设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a＞b＞0)，椭圆的两个焦点为F1，F2．由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，所以a＝．在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝．由题意并结合图形知＝，所以b2＝，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
三、 填空题
7．经过点A(2，－)和点B的椭圆的标准方程为＋＝1．
【解析】 方法一：(分类讨论法)若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得此时a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
方法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．因为点(2，－)，在椭圆上，所以解得从而所求椭圆的标准方程为＋＝1．
8．焦点在x轴上，焦距为4，且经过点M(3，－2)的椭圆的标准方程为＋＝1．
【解析】 由椭圆的焦点在x轴上，焦距为4，得焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，且c＝2．因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知2a＝＋＝12，所以a＝6．所以b2＝a2－c2＝36－4＝32．因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
四、 解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) a＝4，c＝，焦点在y轴上；
【解答】 由a＝4，c＝，得b2＝a2－c2＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以其标准方程为＋x2＝1．
(2) 焦点在x轴上，经过点，(0，－)；
【解答】 因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意知解得故椭圆的标准方程为＋＝1．
(3) 与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
【解答】 椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1，0)．因为所求椭圆过点，所以2a＝＋＝4，从而a＝2，b＝，于是所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(4) 经过A，B两点．
【解答】 设所求椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．因为椭圆过点A，B，所以解得从而椭圆的标准方程为＋y2＝1．
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，点F2到直线F1P的距离为2，且|F1F2|＝6，求椭圆C的标准方程．
【解答】 因为|F1F2|＝6，所以2c＝6，解得c＝3．当x＝c时，y＝±b＝±，即|PF2|＝．由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－，则点F2到直线F1P的距离为＝＝＝．由题意知＝2，得a＝b．由a2＝b2＋c2，得a＝c＝3，b＝c＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
11．已知F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是6－．
【解析】 椭圆＋＝1中，a＝3，b＝，c＝2，如图，设椭圆的右焦点为F2(2，0)，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|＝6＋|PA|－|PF2|．由图知，当点P在直线AF2上时，||PA|－|PF2||＝|AF2|＝；当点P不在直线AF2上时，根据三角形的两边之差小于第三边，可得||PA|－|PF2||＜|AF2|＝．所以当点P在F2A的延长线与椭圆的交点P′处时，|PA|－|PF2|取得最小值－，故|PA|＋|PF1|的最小值为6－．
(第11题答)
12．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如图，设F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( A )
(第12题)
A．，1 B．，1
C．5，3 D．5，4
【解析】 由题意知a2－b2＝2＝，b2－c2＝2＝，所以a2－c2＝1．又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，b＝1，从而a2＝，即a＝．
13．如图，已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|．
(第13题)
(1) 求椭圆的标准方程；
【解答】 由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以|PF1|＋|PF2|＝4，即2a＝4，解得a＝2，从而b2＝a2－c2＝4－1＝3，于是椭圆的标准方程为＋＝1．
(2) 若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
【解答】 在△PF1F2中，|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|．由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，解得|PF1|＝，从而S△PF1F2＝|F1F2|·|PF1|·sin 120°＝×2××＝．第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭 圆
第1课时 椭圆及其标准方程(1)
学习 目标 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距．
2．椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段．( )
(2) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )
(3) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( )
(4) 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( )
典例精讲能力初成
探究1 椭圆的定义及辨析
例1 已知F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．直线
设平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a．当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
变式1 如果点M(x，y)在运动过程中，其坐标总满足关系式＋＝4，则点M的轨迹( )
A．不存在 B．是椭圆
C．是线段 D．是圆
探究2 求椭圆的标准方程
视角1 用定义法求椭圆的标准方程
例2－1 (教材P107例1补充)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，经过点(5，0)；
(3) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10；
(4) 两个焦点的坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26．
定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．
视角2 用待定系数法求椭圆的标准方程
例2－2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
(2) 经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
(3) 焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和．
待定系数法求椭圆的标准方程的步骤(“先定位，再定量”)：
若椭圆的焦点位置不确定，可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
探究3 根据椭圆的标准方程求参数
例3 (多选)若椭圆＋＝1的焦距为2，则实数m的值可以为( )
A．1 B．4
C．6 D．7
随堂内化及时评价
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点M，则|MF1|＋|MF2|等于( )
A． B．
C．2 D．2
若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为
( )
A． B．
C． D．∪
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且过点P，则椭圆C的标准方程为 ．
4．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上，∠PF1F2＝90°，则△PF1F2的面积为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为该椭圆上任意一点，则△PF1F2的周长为( )
A．10 B．13
C．14 D．16
2．已知椭圆kx2＋5y2＝5的一个焦点的坐标是(2，0)，那么实数k的值为( )
A．1 B．
C． D．
3．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为( )
A． B．
C． D．
4．方程＋＝1表示椭圆的一个充分不必要条件是( )
A．m＞且m≠3 B．m＞4
C．m＞ D．m＞0
二、 多项选择题
5．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若n＞m＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
6．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两个焦点的距离分别为和，过点P作对称轴的垂线，该直线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程可以为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
三、 填空题
7．经过点A(2，－)和点B的椭圆的标准方程为 ．
8．焦点在x轴上，焦距为4，且经过点M(3，－2)的椭圆的标准方程为 ．
四、 解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) a＝4，c＝，焦点在y轴上；
(2) 焦点在x轴上，经过点，(0，－)；
(3) 与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(4) 经过A，B两点．
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，点F2到直线F1P的距离为2，且|F1F2|＝6，求椭圆C的标准方程．
11．已知F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是 ．
12．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如图，设F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
(第12题)
A．，1 B．，1
C．5，3 D．5，4
13．如图，已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|．
(第13题)
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
第1课时 椭圆及其标准方程(1)
学习 目标 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．
新知初探·基础落实
一、 概念表述
1．把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__________________的点的轨迹叫做椭圆，这____________叫做椭圆的焦点，__________________叫做椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距．
2．椭圆的标准方程
常数(大于|F1F2|)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ________________________ ________________________
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 ___________
两个定点
两焦点间的距离
一半
a2－b2＝c2
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段．( )
(2) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )
(3) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆． ( )
(4) 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆． ( )
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
椭圆的定义及辨析
已知F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．直线
1
【解析】
因为a2＋1≥2a (当且仅当a＝1时等号成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|．当a＞0且a≠1时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a＝1 时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2．
C
设平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a．当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
【解析】
B
探究
2
求椭圆的标准方程
视角1 用定义法求椭圆的标准方程
(教材P107例1补充)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
【解答】
2－1
(教材P107例1补充)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，经过点(5，0)；
【解答】
2－1
(3) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10；
【解答】
(教材P107例1补充)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(4) 两个焦点的坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26．
【解答】
2－1
定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．
视角2 用待定系数法求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
【解答】
2－2
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2) 经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
【解答】
2－2
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
【解答】
2－2
待定系数法求椭圆的标准方程的步骤(“先定位，再定量”)：
若椭圆的焦点位置不确定，可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
探究
3
根据椭圆的标准方程求参数
A．1 B．4
C．6 D．7
3
【解析】
由题意可得2c＝2，即c＝1．若椭圆的焦点在x轴上，则c2＝9－(m＋4)＝1，解得m＝4；若椭圆的焦点在y轴上，则c2＝(m＋4)－9＝1，解得m＝6．
BC
随堂内化·及时评价
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
【解析】
配套新练案
【解析】
由题意知a＝5，b＝4，所以c＝3，从而|F1F2|＝2c＝6．由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16．
D
2．已知椭圆kx2＋5y2＝5的一个焦点的坐标是(2，0)，那么实数k的值为 ( )
【解析】
A
【解析】
A
【解析】
B
二、多项选择题
5．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是 ( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若n＞m＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【解析】
对于C，同A可知C正确；
【答案】ACD
【解析】
【答案】AB
【解析】
【解析】
四、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
【解答】
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
【解答】
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
【解答】
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
【解答】
【解答】
【解析】
【解析】
A
13．如图，已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|．
(1) 求椭圆的标准方程；
【解答】
13．如图，已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|．
(2) 若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
【解答】
