第3课时 椭圆的简单几何性质(1)
学习 目标 1．掌握椭圆的简单几何性质，如长轴、短轴、离心率、焦点和顶点坐标． 2．能根据几何条件求出椭圆的方程，能利用椭圆的方程研究椭圆的性质并画出图形．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
x，y的 取值范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
2．椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长之比，即e＝ e＝(0＜e＜1)．
当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；当e越接近0时，c越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当a＝b时，图形为圆，方程为x2＋y2＝a2．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a．( × )
(2) 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1．( × )
(3) 设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为椭圆上任意一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 椭圆的简单几何性质
例1 (教材P112例4补充)已知焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上．
(1) 求m的值；
【解答】 由题意知点P(，1)在椭圆上，将点P的坐标代入椭圆的方程得＋＝1，解得m＝2．
(2) 依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．
【解答】 由(1)知椭圆的方程为＋＝1，则a＝2，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为e＝＝．
研究椭圆的几何性质时，一般先将所给椭圆方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和椭圆的定义．
探究2 椭圆几何性质的简单应用
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为；
【解答】 因为c＝＝，所以所求椭圆的焦点坐标为(－，0)，(，0)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为e＝＝，c＝，所以a＝5，b2＝a2－c2＝20，从而所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2) 焦距为8，两个顶点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，焦点在x轴上；
【解答】 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为2c＝8，所以c＝4．又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20，从而椭圆的标准方程为＋＝1．
(3) 对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6．
【解答】 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c．由题意可知解得因为不确定焦点所在的坐标轴，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
(1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常利用待定系数法．
(2) 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤如下：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出椭圆的标准方程．
探究3 椭圆的离心率
例3 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为．
【解析】 方法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝．
方法二：由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆的方程可得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，且b2＝a2－c2，所以(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
求椭圆的离心率及离心率取值范围的两种方法
(1) 直接法：若a，c是已知的，可直接利用e＝求解．若a，b或b，c是已知的，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再利用公式e＝求解．
(2) 方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，建立关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
变式3 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是．
【解析】 方法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|＜a．因为F1(－c，0)，F2(c，0)，所以＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)．因为∠F1MF2＝90°，所以·＝－(c＋x0)(c－x0)＋y＝0，即x＋y＝c2．又点M在椭圆上，所以y＝b2－x，从而x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，于是c2≥b2＝a2－c2，即≥．又0＜e＜1，所以≤e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是．
方法二：设点M的坐标是(x0，y0)．由方法一可得消去y0，得x＝．因为0≤x＜a2，所以由②得c2－b2＜c2，此式恒成立．由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，所以a2≤2c2，从而e2＝≥．又0＜e＜1，所以≤e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是．
方法三：如图，设椭圆短轴的一个端点为P．因为椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，所以∠F1PF2≥90°(∠F1MF2最大时，M为短轴端点)，从而cos ∠F1PF2≤0，即≤0，于是a2≤2c2，即≥．又0＜e＜1，所以≤e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是．
(变式3答)
探究4 椭圆的焦点三角形的面积
例4 已知P是椭圆C：＋＝1(0＜b＜3)上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率为．
【解析】 方法一：由椭圆的方程可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6．因为F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，所以|PF1|·|PF2|sin 60°＝，即|PF1|·|PF2|＝4．在△PF1F2中，由余弦定理可知
cos 60°＝＝
＝＝，解得c＝，所以离心率e＝＝．
方法二：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a．设∠F1PF2＝θ．在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ，所以2|PF1|·|PF2|cos θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2，整理得|PF1|·|PF2|(1＋cos θ)＝2b2，所以|PF1|·|PF2|＝．故S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin θ＝·sin θ＝b2tan ．由S△F1PF2＝b2tan ＝，解得b2＝3．又c2＝a2－b2＝6，故离心率e＝＝＝．
已知P是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝b2tan ．
随堂内化及时评价
1．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( C )
A．5 B．8
C．5或3 D．5或8
【解析】 由椭圆＋＝1的焦距为2，可得＝1或＝1，解得m＝5或m＝3．
2．若椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得c＝2，a＋b＝10．又a2＝b2＋c2，解得a＝6，b＝4，则椭圆的方程为＋＝1．
3．(多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，那么( AD )
A．a2＝25 B．b2＝25
C．a2＝9 D．b2＝9
【解析】 椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6．由题意可知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则a＝5，b＝3，故a2＝25，b2＝9．
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°．在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝a－c，所以cos 60°＝＝＝，即＝，故离心率e＝．
(第4题答)
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是．
【解析】 由题意知c＞b，所以c2＞b2．又b2＝a2－c2，所以c2＞a2－c2，即2c2＞a2，从而e2＝＞，于是e＞．又0＜e＜1，所以椭圆C的离心率的取值范围是．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则m等于( D )
A．4 B．5
C．7 D．8
【解析】 由椭圆＋＝1的焦点在y轴上，得a2＝m－2，b2＝10－m，c2＝a2－b2＝2m－12．由椭圆的焦距为4，得2c＝4，即c＝2，所以2m－12＝4，解得m＝8．
2．已知P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．若点P的横坐标为，则△PF1F2的面积为( C )
A． B．2
C．2 D．4
【解析】 由题意知|F1F2|＝2＝4．设点P的坐标为(，yP)，则＋＝1，解得|yP|＝，所以△PF1F2的面积为×4×＝2．
3．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a的值为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意知e1＝，e2＝．由e2＝e1，可得e1＝，即＝，解得a＝．
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上一点，若使得△F1PF2为直角三角形的点P有8个，则椭圆C的离心率的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
【解析】 因为以F1或F2为直角顶点的直角三角形有4个，所以以P为直角顶点的直角三角形有4个．根据椭圆的对称性知，在x轴上方有两个满足题意的点．如图，当点P位于上顶点B时，∠F1PF2最大，所以需满足∠F1BF2＞，即tan ∠F1BO＝＞1，可得c2＞a2－c2，即2c2＞a2，从而＜e＝＜1，此时使得△F1PF2为直角三角形的点P有8个．
(第4题答)
二、 多项选择题
5．对于椭圆＋＝1，下列说法正确的是( CD )
A．长轴长为2 B．短轴长为3
C．离心率为 D．焦距为2
【解析】 在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，则c＝＝1，所以椭圆的长轴长2a＝4，短轴长2b＝2，焦距2c＝2，离心率e＝＝，故A，B错误，C，D正确．
6．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值可能为( BC )
A．－21 B．21
C．－ D．
【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9，b2＝4＋k，则c2＝5－k．由＝＝，得k＝－．当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9，则c2＝k－5．由＝＝，得k＝21．综上，k＝－或21．
三、 填空题
7．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且该椭圆过点P(－5，4)，那么椭圆的标准方程为＋＝1．
【解析】 因为e＝＝，所以＝＝，从而5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2．设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)．因为椭圆过点P(－5，4)，所以＋＝1，解得a2＝45，从而椭圆的标准方程为＋＝1．
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F．若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则左顶点A的坐标为(－2，0)，椭圆的标准方程为＋＝1．
【解析】 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．又离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，从而左顶点A的坐标为(－2，0)，椭圆的标准方程为＋＝1．
四、 解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标．
【解答】 由题意知椭圆的方程可化为＋＝1(m＞0)．因为m－＝＞0，所以m＞，从而a2＝m，b2＝，c＝＝．由e＝，得＝，解得m＝1，所以椭圆的标准方程为x2＋＝1，从而a＝1，b＝，c＝，故椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两个焦点的坐标分别为，，四个顶点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，．
10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且|AF1|＝3|F1B|．
(1) 若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
【解答】 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1．因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆的定义可得4a＝16，从而|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5．
(2) 若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
【解答】 设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．由椭圆的定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos ∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，所以a＝3k，从而|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，于是|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得AF1⊥AF2，故△AF1F2为等腰直角三角形，因此c＝a，椭圆E的离心率e＝＝．
11．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆E的离心率为，P是椭圆E上一点，且|PF1|·|PF2|＝4(a2－b2)，若△F1PF2的面积为，则a＝2．
【解析】 由题意得＝，所以a＝2c，b＝c．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，则m＋n＝2a＝4c，mn＝4(a2－b2)＝4c2．由余弦定理得cos α＝＝＝＝，故S△F1PF2＝mn sin α＝2c2×＝×＝，得a＝2．
12．若椭圆C上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则椭圆C的长轴长为( A )
A．＋1 B．2
C．4 D．4
【解析】 如图，在正六边形ABCDEF中，边长为1，所以|AF|＝1．在△ACF中，AC⊥AF，∠ACF＝30°，|AF|＝1，所以|AC|＝．所以|AF|＋|AC|＝1＋＝2a，即椭圆的长轴长为＋1．
(第12题答)第3课时 椭圆的简单几何性质(1)
学习 目标 1．掌握椭圆的简单几何性质，如长轴、短轴、离心率、焦点和顶点坐标． 2．能根据几何条件求出椭圆的方程，能利用椭圆的方程研究椭圆的性质并画出图形．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
x，y的 取值范围
顶点
轴长 短轴长为 ，长轴长为
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴： 对称中心：
2．椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长之比，即e＝ e＝(0＜e＜1)．
当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；当e越接近0时，c越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当a＝b时，图形为圆，方程为x2＋y2＝a2．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a．( )
(2) 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1．( )
(3) 设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为椭圆上任意一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．( )
典例精讲能力初成
探究1 椭圆的简单几何性质
例1 (教材P112例4补充)已知焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上．
(1) 求m的值；
(2) 依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．
研究椭圆的几何性质时，一般先将所给椭圆方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和椭圆的定义．
探究2 椭圆几何性质的简单应用
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为；
(2) 焦距为8，两个顶点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，焦点在x轴上；
(3) 对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6．
(1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常利用待定系数法．
(2) 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤如下：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出椭圆的标准方程．
探究3 椭圆的离心率
例3 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为 ．
求椭圆的离心率及离心率取值范围的两种方法
(1) 直接法：若a，c是已知的，可直接利用e＝求解．若a，b或b，c是已知的，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再利用公式e＝求解．
(2) 方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，建立关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
变式3 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是 ．
探究4 椭圆的焦点三角形的面积
例4 已知P是椭圆C：＋＝1(0＜b＜3)上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率为 ．
已知P是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝b2tan ．
随堂内化及时评价
1．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A．5 B．8
C．5或3 D．5或8
2．若椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
3．(多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，那么( )
A．a2＝25 B．b2＝25
C．a2＝9 D．b2＝9
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )
A． B．
C． D．
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
2．已知P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．若点P的横坐标为，则△PF1F2的面积为( )
A． B．2
C．2 D．4
3．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a的值为( )
A． B．
C． D．
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上一点，若使得△F1PF2为直角三角形的点P有8个，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．对于椭圆＋＝1，下列说法正确的是( )
A．长轴长为2 B．短轴长为3
C．离心率为 D．焦距为2
6．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值可能为( )
A．－21 B．21
C．－ D．
三、 填空题
7．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且该椭圆过点P(－5，4)，那么椭圆的标准方程为 ．
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F．若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则左顶点A的坐标为 ，椭圆的标准方程为 ．
四、 解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标．
10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且|AF1|＝3|F1B|．
(1) 若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2) 若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
11．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆E的离心率为，P是椭圆E上一点，且|PF1|·|PF2|＝4(a2－b2)，若△F1PF2的面积为，则a＝ ．
12．若椭圆C上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则椭圆C的长轴长为( )
A．＋1 B．2
C．4 D．4(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
第3课时 椭圆的简单几何性质(1)
学习 目标 1．掌握椭圆的简单几何性质，如长轴、短轴、离心率、焦点和顶点坐标．
2．能根据几何条件求出椭圆的方程，能利用椭圆的方程研究椭圆的性质并画出图形．
新知初探·基础落实
一、概念表述
1．椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
x，y的取值范围 ____________________________ ____________________________
顶点 ________________________________________________________ ________________________________________________________
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
椭圆的简单几何性质
(1) 求m的值；
1
【解答】
(2) 依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．
1
【解答】
研究椭圆的几何性质时，一般先将所给椭圆方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和椭圆的定义．
探究
2
椭圆几何性质的简单应用
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
2
【解答】
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(2) 焦距为8，两个顶点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，焦点在x轴上；
【解答】
2
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(3) 对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6．
【解答】
2
(1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常利用待定系数法．
(2) 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤如下：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出椭圆的标准方程．
探究
3
椭圆的离心率
3
【解析】
【答案】
求椭圆的离心率及离心率取值范围的两种方法
(2) 方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，建立关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
【解析】
4
【解析】
椭圆的焦点三角形的面积
探究
4
随堂内化·及时评价
A．5 B．8
C．5或3 D．5或8
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
AD
【解析】
C
【解析】
配套新练案
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
【答案】 C
【解析】
CD
【解析】
BC
【解析】
【解析】
(－2，0)
【解答】
【解答】
由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1．因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆的定义可得4a＝16，从而|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5．
【解答】
【解析】
2
12．若椭圆C上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则椭圆C的长轴长为 ( )
【解析】
A
