第4课时 椭圆的简单几何性质(2)
学习 目标 1．了解直线与椭圆的三种位置关系，能联立方程组消元后利用判别式判断直线和椭圆的位置关系． 2．能够利用弦长公式解决椭圆中的弦长、面积问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．将直线的方程y＝kx＋b与椭圆的方程＋＝1(a＞b＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ．
①Δ＞0 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；
②Δ＝0 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个公共点；
③Δ＜0 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
2．设直线y＝kx＋n与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长
|AB|＝
＝|x1－x2|．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最长．( √ )
(2) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( × )
(3) 直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)相交．( √ )
(4) 直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断．( × )
典例精讲能力初成
探究1 直线与椭圆位置关系的判断
例1 (教材P114例7补充)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试求当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个公共点；
【解答】 由消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程有两个不相等的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2) 有且只有一个公共点；
【解答】 当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相等的实数根，可知原方程组有一组实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 没有公共点．
【解答】 当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．
探究2 直线和椭圆的相交弦问题
例2 已知椭圆C：x2＋4y2＝16．
(1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率；
【解答】 由x2＋4y2＝16，得＋＝1，所以a＝4，b＝2，从而c＝2，故椭圆C的焦点坐标是(2，0)和(－2，0)，离心率e＝．
(2) 设直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
【解答】 由消去y，得x2－4x＝0，解得或所以点A，B的坐标分别为(0，2)和(4，0)，弦长|AB|＝＝2．
求直线与椭圆相交的弦长的两种方法：
(1) 求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2) 联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用弦长公式|P1P2|＝·，其中x1，x2(或y1，y2)是上述一元二次方程的两根，结合根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入弦长公式即可求得弦长．
探究3 中点弦问题
例3 已知椭圆C：x2＋4y2＝16和点M(2，1)，求通过点M且被该点平分的弦所在直线的方程．
【解答】 中点弦所在的直线显然不与x轴垂直，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，设直线与椭圆C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1－x2)·(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0．又＝k，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以k＝－，故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
椭圆中点弦问题的解决方法：
(1) 方程组法：将直线方程与椭圆方程联立成方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2) 点差法：设直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的交点(弦的端点)为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，x1＋x2≠0，线段AB的中点为M(x0，y0)．将A，B两点的坐标分别代入椭圆的方程，得两式相减得·＝－，即kAB·＝－．这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而可以使问题得以解决．
探究4 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 (1) 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( D )
A．3 B．
C．2 D．
【解析】 设与直线x＋2y－＝0平行的直线的方程为x＋2y＋m＝0，该方程与椭圆方程＋＝1联立得(－2y－m)2＋4y2－16＝0，即4y2＋4my＋4y2－16＋m2＝0，则2y2＋my－4＋＝0，令Δ＝m2－8＝0，解得m＝±4．所以当m＝4时，两直线间的距离最大，且dmax＝＝．
(2) 已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为椭圆C上一点，点A，则|PA|＋|PF|的最小值为( D )
A． B．
C．4 D．
【解析】 设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′，易知F′(2，0)，F(－2，0)．又A，所以|AF′|＝．根据椭圆的定义得|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－＝．
随堂内化及时评价
1．已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：x－2y＋＝0，则l与椭圆C的位置关系为( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上选项都不对
【解析】 联立消去y并整理得x2＋x－1＝0，显然Δ＝()2－4×1×(－1)＝6＞0，因此方程组有两组不同的解，所以l与椭圆C相交．
2．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点．若弦长|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8，则椭圆C的焦距等于( B )
A．1 B．2
C． D．2
【解析】 由弦长|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8，可得＝，4a＝8，所以a＝2，b2＝3，从而c＝1，于是焦距等于2．
3．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( A )
A．2 B．0或1
C．1 D．0
【解析】 因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以＞2，即m2＋n2＜4．又因为＋＜＋＝1－＜1，所以点P在椭圆内，故直线与椭圆有2个交点．
4．在椭圆＋＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在直线的方程为( C )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
【解析】 设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则＋＝1 ①，＋＝1 ②，且x1＋x2＝y1＋y2＝2，①②两式相减得＋＝0，即＝－，所以所求直线的斜率是－，从而弦所在直线的方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0．
5．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值为．
【解析】 由||＝1，点A(3，0)，知点M在以点A为圆心、1为半径的圆上运动．因为·＝0且点P在椭圆上运动，所以PM⊥AM，即PM为圆A的切线．连接PA(如图)，则||＝＝，所以当点P在点P′的位置时，||min＝a－c＝5－3＝2，此时||min＝．
(第5题答)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知直线y＝x＋3与椭圆＋＝1有公共点，则m的取值范围是( D )
A．(0，4] B．(－∞，0]∪[4，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[4，5)∪(5，＋∞)
【解析】 联立消去y得(5＋m)x2＋30x＋45－5m＝0，则Δ＝900－4(5＋m)(45－5m)≥0，即m2－4m≥0，又m＞0且m≠5，所以m≥4且m≠5．
2．过椭圆C：＋＝1的一个焦点作x轴的垂线l，若l交椭圆C于A，B两点，则|AB|等于( D )
A． B．
C． D．
【解析】 不妨设右焦点为F(2，0)，则直线l的方程为x＝2，联立得或故|AB|＝－＝．
3．已知椭圆＋＝1与直线l交于A，B两点，若P(－1，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是( B )
A．9x＋4y－13＝0 B．9x－4y＋13＝0
C．4x－9y＋13＝0 D．4x－9y＋3＝0
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P(－1，1)为线段AB的中点，得x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2 ①．因为4y＋9x＝36 ②，4y＋9x＝36 ③，所以②－③得4(y1＋y2)(y1－y2)＋9(x1＋x2)·(x1－x2)＝0，将①代入上式，化简得kl＝＝，所以直线l的方程为y－1＝(x＋1)，即9x－4y＋13＝0．
4．经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线的方程是 ( A )
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0
【解析】 当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，此时直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当所求直线的斜率存在时，设直线方程为y－＝k(x－1)，联立得(1＋4k2)x2＋4kx(－2k)＋4k2－4k－1＝0．由直线与椭圆相切，得Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4(1＋4k2)(4k2－4k－1)＝0，也即k2＋k＋＝0，解得k＝－，故所求直线的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0．
二、 多项选择题
5．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是( AB )
A．椭圆C的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B．椭圆C的长轴长为2
C．直线l的方程为x＋y－3＝0
D．|AB|＝
【解析】 由题意得a＝2，b＝2，c＝＝2，且椭圆C的焦点在y轴上，焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，长轴长为2a＝4，故A，B错误．对于C，如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为M(1，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，而＋＝1，＋＝1，两式作差变形得＝－＝－＝－1，即直线l的斜率k＝－1，所以直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故C正确．对于D，联立消去y化简得3x2－6x＋1＝0，则Δ＝36－12＝24＞0，且x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝，故D正确．
(第5题答)
6．已知椭圆C：＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝，则( ACD )
A．椭圆C的焦距为2 B．△AF1F2的面积为2
C．椭圆C的离心率为 D．△ABF2的周长为8
【解析】 由＋＝1，可得c2＝(m2＋1)－m2＝1，所以c＝1，从而焦距为|F1F2|＝2，故A正确．因为|AF1|＝|AF2|，∠F1AF2＝，所以△AF1F2为等边三角形，从而S△AF1F2＝|F1F2|2＝×22＝，故B错误．因为|OF1|＝1，∠F1AF2＝，所以a＝2c，从而离心率为＝，故C正确．如图，由椭圆的定义可得△ABF2的周长C△ABF2＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为．
【解析】 由题意得椭圆＋＝1的左焦点的坐标为(－，0)，所以直线AB的方程为y＝(x＋)．联立消去y并整理得7x2＋12x＋8＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由弦长公式，得|AB|＝|x1－x2|＝2＝2×＝．
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，设该直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．
【解析】 椭圆右焦点的坐标为(1，0)，直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y化简得3x2－5x＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝×＝×＝．又原点O到直线AB的距离d＝，所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝．
四、 解答题
9．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点(0，1)．
(1) 求椭圆E的标准方程；
【解答】 因为椭圆E的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点(0，1)，所以解得a＝，b＝1，从而椭圆E的标准方程为＋y2＝1．
(2) 若直线l：y＝k(x－2)与椭圆E交于M，N两点，且线段MN中点的横坐标为，求直线l的方程．
【解答】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去y并整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，由Δ＝64k4－4(2k2＋1)·(8k2－2)＞0，即2k2－1＞0，解得－＜k＜．由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝．因为线段MN中点的横坐标为，所以＝＝，解得k＝±，均满足k∈，从而直线l的方程为y＝±(x－2)，即x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0．
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且·＝0．
(1) 求椭圆C的离心率；
【解答】 由题意可得A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，所以＝(－c，－b)，＝(c，－b)．又·＝0，所以－c2＋(－b)2＝0，即b2＝c2，也即a2－c2＝c2，所以a2＝2c2，从而离心率e＝＝．
(2) 若射线AF1与椭圆C交于点B，且|AB|＝，求△ABF2的周长．
【解答】 由(1)可得b＝c，a＝c，则椭圆C的方程为＋＝1．如图，直线AF1的方程为y＝x＋c，联立消去y并整理得3x2＋4cx＝0，解得x＝0或x＝－c，则xB＝－c，yB＝－c，所以B，从而|AB|＝＝c＝，解得c＝，于是a＝2，故△ABF2的周长C△ABF2＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8．
(第10题答)
11．已知圆x2＋y2－x－2y＋m＝0与x轴交于点P(1，0)，且经过椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，椭圆G的离心率为．
(1) 求椭圆G的方程；
【解答】 因为圆x2＋y2－x－2y＋m＝0过点(1，0)，所以m＝0．由题意知圆x2＋y2－x－2y＝0过点(0，b)，b＞0，所以b＝2．由解得a2＝9，所以椭圆G的方程为＋＝1．
(2) 若A为椭圆G上一点，且在x轴上方，B为点A关于原点O的对称点，M为椭圆G的右顶点，直线PA与MB交于点N，△PBN的面积为，求直线PA的斜率．
【解答】 如图，设A(x0，y0)(y0＞0)，则B(－x0，－y0)，由题意知x0≠1且x0≠－3，M(3，0)，则直线PA的方程为y＝(x－1)，直线MB的方程为y＝(x－3)，由
解得所以N．由S△PBN＝S△PBM－S△PNM＝×|PM|×|yB－yN|＝×2×y0＝y0＝，可得y0＝，又＋＝1，所以x0＝±2．而直线PA的斜率kAP＝，所以kAP＝－或．
(第11题答)第4课时 椭圆的简单几何性质(2)
学习 目标 1．了解直线与椭圆的三种位置关系，能联立方程组消元后利用判别式判断直线和椭圆的位置关系． 2．能够利用弦长公式解决椭圆中的弦长、面积问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．将直线的方程y＝kx＋b与椭圆的方程＋＝1(a＞b＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ．
①Δ＞0 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；
②Δ＝0 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个公共点；
③Δ＜0 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
2．设直线y＝kx＋n与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最长．( )
(2) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( )
(3) 直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)相交．( )
(4) 直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断．( )
典例精讲能力初成
探究1 直线与椭圆位置关系的判断
例1 (教材P114例7补充)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试求当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
探究2 直线和椭圆的相交弦问题
例2 已知椭圆C：x2＋4y2＝16．
(1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2) 设直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
求直线与椭圆相交的弦长的两种方法：
(1) 求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2) 联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用弦长公式|P1P2|＝·，其中x1，x2(或y1，y2)是上述一元二次方程的两根，结合根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入弦长公式即可求得弦长．
探究3 中点弦问题
例3 已知椭圆C：x2＋4y2＝16和点M(2，1)，求通过点M且被该点平分的弦所在直线的方程．
椭圆中点弦问题的解决方法：
(1) 方程组法：将直线方程与椭圆方程联立成方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2) 点差法：设直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的交点(弦的端点)为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，x1＋x2≠0，线段AB的中点为M(x0，y0)．将A，B两点的坐标分别代入椭圆的方程，得两式相减得·＝－，即kAB·＝－．这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而可以使问题得以解决．
探究4 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 (1) 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A．3 B．
C．2 D．
(2) 已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为椭圆C上一点，点A，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A． B．
C．4 D．
随堂内化及时评价
1．已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：x－2y＋＝0，则l与椭圆C的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上选项都不对
2．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点．若弦长|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8，则椭圆C的焦距等于( )
A．1 B．2
C． D．2
3．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．0或1
C．1 D．0
4．在椭圆＋＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在直线的方程为( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
5．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知直线y＝x＋3与椭圆＋＝1有公共点，则m的取值范围是( )
A．(0，4] B．(－∞，0]∪[4，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[4，5)∪(5，＋∞)
2．过椭圆C：＋＝1的一个焦点作x轴的垂线l，若l交椭圆C于A，B两点，则|AB|等于( )
A． B．
C． D．
3．已知椭圆＋＝1与直线l交于A，B两点，若P(－1，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A．9x＋4y－13＝0 B．9x－4y＋13＝0
C．4x－9y＋13＝0 D．4x－9y＋3＝0
4．经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线的方程是 ( )
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0
二、 多项选择题
5．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是( )
A．椭圆C的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B．椭圆C的长轴长为2
C．直线l的方程为x＋y－3＝0
D．|AB|＝
6．已知椭圆C：＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝，则( )
A．椭圆C的焦距为2 B．△AF1F2的面积为2
C．椭圆C的离心率为 D．△ABF2的周长为8
三、 填空题
7．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 ．
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，设该直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ．
四、 解答题
9．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点(0，1)．
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 若直线l：y＝k(x－2)与椭圆E交于M，N两点，且线段MN中点的横坐标为，求直线l的方程
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且·＝0．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 若射线AF1与椭圆C交于点B，且|AB|＝，求△ABF2的周长．
11．已知圆x2＋y2－x－2y＋m＝0与x轴交于点P(1，0)，且经过椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，椭圆G的离心率为．
(1) 求椭圆G的方程；
(2) 若A为椭圆G上一点，且在x轴上方，B为点A关于原点O的对称点，M为椭圆G的右顶点，直线PA与MB交于点N，△PBN的面积为，求直线PA的斜率．(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
第4课时 椭圆的简单几何性质(2)
学习 目标 1．了解直线与椭圆的三种位置关系，能联立方程组消元后利用判别式判断直线和椭圆的位置关系．
2．能够利用弦长公式解决椭圆中的弦长、面积问题．
新知初探·基础落实
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
直线与椭圆位置关系的判断
(1) 有两个公共点；
1
【解答】
(2) 有且只有一个公共点；
1
【解答】
(3) 没有公共点．
1
【解答】
探究
2
直线和椭圆的相交弦问题
已知椭圆C：x2＋4y2＝16．
(1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率；
2
【解答】
已知椭圆C：x2＋4y2＝16．
(2) 设直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
2
【解答】
求直线与椭圆相交的弦长的两种方法：
(1) 求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
探究
3
中点弦问题
已知椭圆C：x2＋4y2＝16和点M(2，1)，求通过点M且被该点平分的弦所在直线的方程．
3
【解答】
椭圆中点弦问题的解决方法：
(1) 方程组法：将直线方程与椭圆方程联立成方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．
4
【解析】
椭圆中的最值(或范围)问题
探究
4
D
4
【解析】
D
随堂内化·及时评价
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上选项都不对
【解析】
A
2．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点．若弦长|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8，则椭圆C的焦距等于 ( )
A．1 B．2
【解析】
B
【解析】
A
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
【解析】
C
【解析】
配套新练案
【解析】
D
【解析】
D
A．9x＋4y－13＝0 B．9x－4y＋13＝0
C．4x－9y＋13＝0 D．4x－9y＋3＝0
【解析】
B
【解析】
当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，此时直线与椭圆有两个交点，不符合题意；
A
【答案】
【解析】
【答案】 AB
【解析】
如图，由椭圆的定义可得△ABF2的周长C△ABF2＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故D正确．
【答案】ACD
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
