3.2 双曲线
第1课时 双曲线及其标准方程
学习 目标 1．了解双曲线的定义以及双曲线的几何图形和标准方程． 2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用双曲线的标准方程解决相关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．若|MF1|＞|MF2|，则点M的轨迹是靠近焦点F2的那一支；若|MF1|＜|MF2|，则点M的轨迹是靠近焦点F1的那一支．
注意：以焦点F1，F2在x轴上为例，且点F1是左焦点，点F2是右焦点．设||PF1|－|PF2||＝2a．
(1) 若2a＝|F1F2|，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线．
(2) 若2a＞|F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，此时动点P的轨迹不存在．
(3) 特别地，当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
2．双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0)
焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × )
(2) 在双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．( × )
(3) 双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系与椭圆标准方程中的a，b，c之间的关系相同．( × )
(4) 方程mx2＋ny2＝1(mn＜0)表示双曲线．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 双曲线的定义及应用
例1 (1) 已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，那么|PF2|＝33．
【解析】 由双曲线的方程－＝1，可得a＝8，b＝6，c＝10．由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离|PF2|≥c－a＝2．因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33．
(2) 已知O为坐标原点，A(－5，0)，B(5，0)，若点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝14，且满足－＝2，则点P的坐标是．
【解析】 由A(－5，0)，B(5，0)，点P满足|PA|＋|PB|＝14＞|AB|，及椭圆的定义可得点P的轨迹是椭圆，且2a＝14，c＝5，所以b2＝a2－c2＝24，从而点P在椭圆＋＝1上．因为点P(x，y)满足－＝2，所以|PA|－|PB|＝2＜|AB|．由双曲线的定义可得点P在双曲线x2－＝1(x≥1)上．联立椭圆方程与双曲线方程可得y＝±，x＝，所以点P的坐标是．
探究2 求双曲线的标准方程
例2 (教材P120例1补充)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 过点P，Q，且焦点在坐标轴上；
【解答】 设双曲线的方程为＋＝1(mn＜0)．因为P，Q两点在双曲线上，所以解得从而所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2) c＝，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
【解答】 因为双曲线的焦点在x轴上，c＝，所以设所求双曲线的方程为－＝1(0＜λ＜6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)，从而所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
(3) 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．
【解答】 设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，从而所求双曲线的标准方程为－＝1．
求双曲线的标准方程
(1) 定位：确定双曲线的焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2) 定量：确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，可直接设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，将两点的坐标分别代入，解方程组可求出m，n的值，这样可以避免分类讨论．
探究3 与双曲线有关的轨迹问题
例3 (教材P120例2)已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
【解答】 根据题意可判断爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，a＝340．又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，所以b2＝c2－a2＝44 400．因为|PA|－|PB|＝680＞0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340．所以炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1(x≥340)．
变式 (教材P120例2补充)如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
(变式)
【解答】 如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理及2sin A＋sin C＝2sin B，得2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2＜|AB|．由双曲线的定义知点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意设顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞a)，因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6，故顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
(变式答)
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1) 列出等量关系，化简得到方程；
(2) 寻找几何关系，结合双曲线的定义，得到对应的方程．
随堂内化及时评价
1．已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，P是双曲线上一点，且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 因为双曲线的上、下焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，所以设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，半焦距c＝3．又因为P是双曲线上一点，且||PF1|－|PF2||＝4，所以2a＝4，即a＝2，从而b2＝c2－a2＝9－4＝5．所以双曲线的标准方程为－＝1．
2．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线C上，且|PF1|＝20，则|PF2|等于( B )
A．12或28 B．14或26
C．16或24 D．17或23
【解析】 在双曲线C：－＝1中，a＝＝3．由点P在双曲线C上，知||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|PF1|－|PF2|＝±6．因为|PF1|＝20，所以|PF2|＝14或26．
3．(多选)已知方程＋＝1表示双曲线，那么实数k的取值可能为( AD )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 因为方程＋＝1表示双曲线，所以(2－k)(k－1)＜0，解得k＜1或k＞2，故实数k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
4．(多选)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，那么在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是( AC )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，动点P与点在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，则该双曲线的标准方程为－＝1．
【解析】 因为|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，所以(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝16，即||PF1|－|PF2||＝4，故a＝2．又点在双曲线上，所以－＝1，可得b2＝5，故双曲线的标准方程为－＝1．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( C )
A．(－∞，1) B．(4，＋∞)
C．(1，4) D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
2．已知点M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( C )
A．双曲线 B．双曲线的左支
C．一条射线 D．双曲线的右支
【解析】 因为点M(－2，0)，N(2，0)，所以|PM|－|PN|＝4＝|MN|，从而动点P的轨迹是一条射线．
3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( B )
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 由题意得双曲线的焦点在y轴上．设双曲线的方程为－＝1，易知a2＝4－3＝1，c2＝4，则b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的方程为y2－＝1．
4．如图，椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|等于( A )
(第4题)
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 因为A是椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的一个公共点，所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2，解得|AF1|＝－，|AF2|＝＋，从而|AF1|·|AF2|＝3．
二、 多项选择题
5．已知关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(其中m，n为参数)表示曲线C，下列说法正确的是( AC )
A．若m＝n＞0，则曲线C表示圆
B．若mn＞0，则曲线C表示椭圆
C．若mn＜0，则曲线C表示双曲线
D．若mn＝0，m＋n＞0，则曲线C表示四条直线
【解析】 若m＝n＞0，则x2＋y2＝，曲线C表示圆，故A正确；若m＜0，n＜0，满足mn＞0，方程mx2＋ny2＝1无解，故B错误；若mn＜0，则曲线C表示双曲线，故C正确；若mn＝0，m＋n＞0，则m＞0，n＝0或m＝0，n＞0，从而x＝±或y＝±，曲线C表示两条直线，故D错误．
6．已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则下列结论正确的是( BC )
A．双曲线的焦点坐标为(±1，0)
B．|PF1|·|PF2|＝2
C．|PF1|＋|PF2|＝2
D．S△PF1F2＝2
【解析】 双曲线的焦点坐标为(±，0)，故A错误；对于B，C，设点P在双曲线的右支上，令|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x＞0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，解得x＝－1，x＋2＝＋1，从而|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2，|PF2|·|PF1|＝2，故B，C正确；对于D，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1，故D错误．
三、 填空题
7．若双曲线的一个焦点坐标为(5，0)，且2a＝6，则双曲线的标准方程为－＝1．
【解析】 由焦点坐标为(5，0)，可得c＝5．由2a＝6，可得a＝3，所以b＝＝4，故双曲线的标准方程为－＝1．
8．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为x2－＝1．
(第8题)
【解析】 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以解得从而双曲线的标准方程为x2－＝1．
四、 解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
【解答】 由双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由a＝2，且双曲线经过点A(2，－5)，可得－＝1，解得b＝4，故双曲线的标准方程为－＝1．
(2) 过点A(3，2)和B(17，12)．
【解答】 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(m≠0，n≠0)．由双曲线过点A(3，2)和B(17，12)，得解得故双曲线的标准方程为x2－＝1．
10．问题：已知双曲线C：－＝1，________，求双曲线C的方程．
在①m＞0，且双曲线C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋，②双曲线C的焦距为6，③双曲线C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
【解答】 若选①，因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，从而a＝，c＝．因为双曲线C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c，所以＋＝(1＋)·＝3＋，解得m＝3，故双曲线C的方程为－＝1．
若选②，则c＝3．若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以c＝＝3，解得m＝3，从而双曲线C的方程为－＝1；若m＜0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝＝3，解得m＝－3，从而双曲线C的方程为－＝1．
若选③，因为双曲线C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以2a＝4，即a＝2．若m＞0，则a2＝m，所以a＝＝2，解得m＝4，从而双曲线C的方程为－＝1；若m＜0，则a2＝－2m，所以a＝＝2，解得m＝－2，从而双曲线C的方程为－＝1．
11．已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是－＝1．
【解析】 如图，由题意知圆F1：(x＋5)2＋y2＝1的圆心坐标为(－5，0)，半径r1＝1，圆F2：(x－5)2＋y2＝42的圆心坐标为(5，0)，半径r2＝4．设动圆M的半径为R，则|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，从而点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1．
(第11题答)
12．(多选)已知M(－5，0)，N(5，0)是平面上两点，若曲线C上至少存在一点P，使得|PM|＝|PN|＋6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列曲线中为“黄金曲线”的是( AD )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．x2＋y2＝9
【解析】 因为M(－5，0)，N(5，0)是平面上两点，点P使|PM|＝|PN|＋6，即|PM|－|PN|＝6＜|MN|，所以点P的轨迹是以M(－5，0)，N(5，0)为焦点的双曲线的右支，其方程为－＝1，x∈[3，＋∞)．显然A表示的曲线是“黄金曲线”；在＋＝1中，x∈[－2，2]，不存在横坐标x≥3的点P(x，y)满足方程－＝1，故B表示的曲线不是“黄金曲线”；在－＝1中，不存在横坐标x≥3的点P(x，y)满足方程－＝1，故C表示的曲线不是“黄金曲线”；x2＋y2＝9表示圆心坐标为(0，0)、半径为3的圆，与曲线－＝1(x≥3)有交点(3，0)，满足题意，故D表示的曲线是“黄金曲线”．
13．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1，P2，P3，P4四点，F1和F2分别是椭圆C1和双曲线C2的左、右焦点，且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＋＝1，则双曲线C2的方程为－＝1．
【解析】 设双曲线C2的方程为－＝1．根据椭圆C1的方程＋＝1可得F1(－2，0)，F2(2，0)．又六边形P1P2F1P3P4F2为正六边形，所以点P1的坐标为(1，)．由点P1在双曲线上，可得－＝1．又a2＋b2＝4，解得故双曲线C2的方程为－＝1．
(第13题答)
练习2
一、 单项选择题
1．已知两定点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和5时，点P的轨迹为( C )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
【解析】 当a＝3时，点P满足|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|，依照双曲线的定义，点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，点P满足|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹是一条射线．综上，点P的轨迹是双曲线的一支和一条射线．
2．已知双曲线C：－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|＝5，则|PF2|等于( A )
A．9 B．1
C．1或9 D．11或9
【解析】 由题意知||PF1|－|PF2||＝2a＝4．又|PF1|＝5，所以|PF2|＝1或|PF2|＝9．因为c2＝a2＋b2＝4＋12＝16，所以c＝4．而|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝9．
3．已知点A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则△PAF1周长的最小值为( C )
A．10 B．12
C．14 D．16
【解析】 由双曲线－＝1，可得a2＝4，b2＝5，所以c＝＝3，从而F1(－3，0)，F2(3，0)．如图，根据双曲线的定义得|PA|＋|PF1|＝|PA|＋2a＋|PF2|≥|AF2|＋2a＝＋4＝9，当且仅当A，P，F2三点共线时等号成立，所以△PAF1周长的最小值为9＋|AF1|＝9＋5＝14．
(第3题答)
4．已知双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，点A在双曲线C上，且关于原点O的对称点为B，|AB|＝|F1F2|，四边形AF1BF2的面积为6，则双曲线C的方程为( B )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－y2＝2 D．－x2＝1
【解析】 因为原点O分别为AB和F1F2的中点，所以四边形AF1BF2为平行四边形．又因为|AB|＝|F1F2|，所以四边形AF1BF2为矩形．因为四边形AF1BF2的面积为6，所以|AF1|·|AF2|＝6．又因为|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝16，||AF1|－|AF2||＝2a，所以4a2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝16－12＝4，解得a2＝1，从而b2＝c2－a2＝3，故双曲线C的方程为x2－＝1．
二、 多项选择题
5．已知方程－＝1，则下列说法正确的是( BCD )
A．当－2＜m＜－1时，方程表示椭圆
B．当m＞－1时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
C．当m＝－时，方程表示圆
D．当m＜－2或m＞－1时，方程表示双曲线
【解析】 当－2＜m＜－1时，m＋2＞0，－(m＋1)＞0，若m＋2＝－(m＋1)，即m＝－，则此方程表示圆，故A不正确，C正确．当m＞－1时，m＋2＞0，m＋1＞0，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜－2时，m＋2＜0，－(m＋1)＞0，方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确，D正确．
6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与x轴的两个交点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q两点的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为π，则双曲线C的方程可以为( AB )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 由四边形A1PA2Q 的面积为2，可得4××a×b＝2，得ab＝．记四边形A1PA2Q的内切圆的半径为r，则2πr＝π，解得r＝．又因为r＝，所以c＝．由解得或故双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1．
三、 填空题
7．若方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为(－∞，0)．
【解析】 因为方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以解得m＜0，从而实数m的取值范围为(－∞，0)．
8．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：x2－＝1．
【解析】 设双曲线的方程为－＝1．如图，若F1F2⊥AB，△ABF1为正三角形，则|AF2|＝，|F1F2|＝2c，|AF1|＝，由|AF1|－|AF2|＝2a，得＝2a，即b2＝2a2．取a2＝1，则b2＝2，此时双曲线C的方程为x2－＝1．
(第8题答)
四、 解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) 焦点为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点P(5，2)；
【解答】 由焦点为F1(－，0)，F2(，0)，可设双曲线的标准方程为－＝1．因为双曲线经过点P(5，2)，所以－＝1．又c2＝6＝a2＋b2，所以a4－35a2＋150＝0，解得a2＝5或a2＝30．当a2＝5时，b2＝1，故双曲线的方程为－y2＝1；当a2＝30时，b2＝－24(舍去)．综上，双曲线的方程为－y2＝1．
(2) 经过点(－2，)，(－2，2)．
【解答】 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(m≠0，n≠0)．因为双曲线经过点(－2，)，(－2，2)，所以解得m＝，n＝，故双曲线的方程为－＝1．
10．已知A为双曲线C上的一点，双曲线C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)．
(1) 求双曲线C的标准方程；
【解答】 设双曲线C的标准方程为－＝1，则2a＝||AF1|－|AF2||＝
－＝－＝4，所以a＝2．又c＝，所以b＝1，故双曲线C的标准方程为－y2＝1．
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
【解答】 由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝4，则|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝42＋2|PF1||PF2|＝(2c)2＝20，可得|PF1||PF2|＝2，所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×2＝1．
11．已知一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心P的轨迹方程为( C )
A．－＝1(x≥2) B．－＝1(x≤2)
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 设动圆P的半径为r，由动圆P与圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，可得||PN|－|PM||＝4＜|MN|，即动点P到两定点的距离之差为常数4，即点P在以M，C为焦点的双曲线上，且2a＝4，2c＝8，可得b＝2，故动圆圆心P的轨迹方程为－＝1．
12．已知点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过点A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为y2－＝1(y＜0)．
【解析】 设椭圆的另一个焦点为M，长轴为2a．根据点A，B在椭圆上，有|AM|＋|AC|＝2a，且|BM|＋|BC|＝2a，即|AM|＋|AC|＝|BM|＋|BC|，则|AM|－|BM|＝|BC|－|AC|＝15－13＝2，所以点M的轨迹是以A，B为焦点，实半轴为1的双曲线的下半支(|AM|＞|BM|)，故焦点M的轨迹方程为y2－＝1(y＜0)．
13．已知双曲线C：x2－y2＝λ(λ≠0)经过点(4，)，斜率为2的直线l与双曲线C交于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】 由双曲线C：x2－y2＝λ(λ≠0)过点(4，)，得λ＝16－13＝3，故双曲线C的方程为x2－y2＝3．
(2) 求直线l的方程．
【解答】 设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得3x2＋4mx＋m2＋3＝0，可得Δ＝16m2－12(m2＋3)＝4m2－36＞0，得m＜－3或m＞3．由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，从而|AB|＝|x1－x2|＝·＝．又点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝···＝，解得m＝±．故直线l的方程为y＝2x±．3.2 双曲线
第1课时 双曲线及其标准方程
学习 目标 1．了解双曲线的定义以及双曲线的几何图形和标准方程． 2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用双曲线的标准方程解决相关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．把平面内与两个定点F1，F2的 等于非零常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．若|MF1|＞|MF2|，则点M的轨迹是 ；若|MF1|＜|MF2|，则点M的轨迹是 ．
注意：以焦点F1，F2在x轴上为例，且点F1是左焦点，点F2是右焦点．设||PF1|－|PF2||＝2a．
(1) 若2a＝|F1F2|，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以 ；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以 ．
(2) 若2a＞|F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，此时动点P的轨迹 ．
(3) 特别地，当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是 ．
2．双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点
焦距 |F1F2|＝
a，b，c的关系
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2) 在双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．( )
(3) 双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系与椭圆标准方程中的a，b，c之间的关系相同．( )
(4) 方程mx2＋ny2＝1(mn＜0)表示双曲线．( )
典例精讲能力初成
探究1 双曲线的定义及应用
例1 (1) 已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，那么|PF2|＝ ．
(2) 已知O为坐标原点，A(－5，0)，B(5，0)，若点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝14，且满足－＝2，则点P的坐标是 ．
探究2 求双曲线的标准方程
例2 (教材P120例1补充)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 过点P，Q，且焦点在坐标轴上；
(2) c＝，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(3) 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．
求双曲线的标准方程
(1) 定位：确定双曲线的焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2) 定量：确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，可直接设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，将两点的坐标分别代入，解方程组可求出m，n的值，这样可以避免分类讨论．
探究3 与双曲线有关的轨迹问题
例3 (教材P120例2)已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式 (教材P120例2补充)如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
(变式)
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1) 列出等量关系，化简得到方程；
(2) 寻找几何关系，结合双曲线的定义，得到对应的方程．
随堂内化及时评价
1．已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，P是双曲线上一点，且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线C上，且|PF1|＝20，则|PF2|等于( )
A．12或28 B．14或26
C．16或24 D．17或23
3．(多选)已知方程＋＝1表示双曲线，那么实数k的取值可能为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(多选)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，那么在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，动点P与点在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，则该双曲线的标准方程为 ．
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(4，＋∞)
C．(1，4) D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
2．已知点M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的左支
C．一条射线 D．双曲线的右支
3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．如图，椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|等于( )
(第4题)
A．3 B．4
C．5 D．6
二、 多项选择题
5．已知关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(其中m，n为参数)表示曲线C，下列说法正确的是( )
A．若m＝n＞0，则曲线C表示圆
B．若mn＞0，则曲线C表示椭圆
C．若mn＜0，则曲线C表示双曲线
D．若mn＝0，m＋n＞0，则曲线C表示四条直线
6．已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则下列结论正确的是( )
A．双曲线的焦点坐标为(±1，0)
B．|PF1|·|PF2|＝2
C．|PF1|＋|PF2|＝2
D．S△PF1F2＝2
三、 填空题
7．若双曲线的一个焦点坐标为(5，0)，且2a＝6，则双曲线的标准方程为 ．
8．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为 ．
(第8题)
四、 解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2) 过点A(3，2)和B(17，12)．
10．问题：已知双曲线C：－＝1，________，求双曲线C的方程．
在①m＞0，且双曲线C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋，②双曲线C的焦距为6，③双曲线C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
11．已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是 ．
12．(多选)已知M(－5，0)，N(5，0)是平面上两点，若曲线C上至少存在一点P，使得|PM|＝|PN|＋6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列曲线中为“黄金曲线”的是( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．x2＋y2＝9
13．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1，P2，P3，P4四点，F1和F2分别是椭圆C1和双曲线C2的左、右焦点，且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＋＝1，则双曲线C2的方程为 ．
练习2
一、 单项选择题
1．已知两定点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和5时，点P的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
2．已知双曲线C：－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|＝5，则|PF2|等于( )
A．9 B．1
C．1或9 D．11或9
3．已知点A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则△PAF1周长的最小值为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
4．已知双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，点A在双曲线C上，且关于原点O的对称点为B，|AB|＝|F1F2|，四边形AF1BF2的面积为6，则双曲线C的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－y2＝2 D．－x2＝1
二、 多项选择题
5．已知方程－＝1，则下列说法正确的是( )
A．当－2＜m＜－1时，方程表示椭圆
B．当m＞－1时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
C．当m＝－时，方程表示圆
D．当m＜－2或m＞－1时，方程表示双曲线
6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与x轴的两个交点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q两点的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为π，则双曲线C的方程可以为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
三、 填空题
7．若方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 ．
8．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程： ．
四、 解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) 焦点为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点P(5，2)；
(2) 经过点(－2，)，(－2，2)．
10．已知A为双曲线C上的一点，双曲线C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
11．已知一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心P的轨迹方程为( )
A．－＝1(x≥2) B．－＝1(x≤2)
C．－＝1 D．－＝1
12．已知点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过点A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ．
13．已知双曲线C：x2－y2＝λ(λ≠0)经过点(4，)，斜率为2的直线l与双曲线C交于A，B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 求直线l的方程．(共62张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
第1课时 双曲线及其标准方程
学习 目标 1．了解双曲线的定义以及双曲线的几何图形和标准方程．
2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用双曲线的标准方程解决相关问题．
新知初探·基础落实
一、概念表述
1．把平面内与两个定点F1，F2的___________________等于非零常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，__________________叫做双曲线的焦距．若|MF1|＞|MF2|，则点M的轨迹是_____________________；若|MF1|＜|MF2|，则点M的轨迹是_____________________．
距离的差的绝对值
两焦点间的距离
靠近焦点F2的那一支
靠近焦点F1的那一支
注意：以焦点F1，F2在x轴上为例，且点F1是左焦点，点F2是右焦点．设||PF1|－|PF2||＝2a．
(1) 若2a＝|F1F2|，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以___________________ ____________；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以____________________ ___________．
(2) 若2a＞|F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，此时动点P的轨迹__________．
(3) 特别地，当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是_____________________________．
F2为端点向右延伸的一条射线
F1为端点向左延伸的一条射线
不存在
线段F1F2的垂直平分线(y轴)
2．双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ____________________________ ____________________________
焦点 ___________________________ ___________________________
焦距 |F1F2|＝______
a，b，c的关系 ___________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
c2＝a2＋b2
二、概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( )
(2) 在双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b． ( )
(3) 双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系与椭圆标准方程中的a，b，c之间的关系相同． ( )
(4) 方程mx2＋ny2＝1(mn＜0)表示双曲线． ( )
×
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
双曲线的定义及应用
1
【解析】
33
1
【解析】
探究
2
求双曲线的标准方程
(教材P120例1补充)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
2
【解答】
(教材P120例1补充)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
2
【解答】
(教材P120例1补充)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
2
【解答】
求双曲线的标准方程
(1) 定位：确定双曲线的焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2) 定量：确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，可直接设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，将两点的坐标分别代入，解方程组可求出m，n的值，这样可以避免分类讨论．
探究
3
与双曲线有关的轨迹问题
(教材P120例2)已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
3
【解答】
【解答】
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1) 列出等量关系，化简得到方程；
(2) 寻找几何关系，结合双曲线的定义，得到对应的方程．
随堂内化·及时评价
1．已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，3)，F2(0，－3)，P是双曲线上一点，且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为 ( )
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
AD
4．(多选)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，那么在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是 ( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
AC
【解析】
配套新练案
C
2．已知点M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．双曲线的左支
C．一条射线 D．双曲线的右支
【解析】
因为点M(－2，0)，N(2，0)，所以|PM|－|PN|＝4＝|MN|，从而动点P的轨迹是一条射线．
C
【解析】
B
【解析】
A
二、多项选择题
5．已知关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(其中m，n为参数)表示曲线C，下列说法正确的是 ( )
A．若m＝n＞0，则曲线C表示圆
B．若mn＞0，则曲线C表示椭圆
C．若mn＜0，则曲线C表示双曲线
D．若mn＝0，m＋n＞0，则曲线C表示四条直线
【解析】
若m＜0，n＜0，满足mn＞0，方程mx2＋ny2＝1无解，故B错误；
若mn＜0，则曲线C表示双曲线，故C正确；
【答案】 AC
6．已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则下列结论正确的是 ( )
A．双曲线的焦点坐标为(±1，0) B．|PF1|·|PF2|＝2
【解析】
双曲线的焦点坐标为(±，0)，故A错误；
BC
三、填空题
7．若双曲线的一个焦点坐标为(5，0)，且2a＝6，则双曲线的标准方程为
_____________．
【解析】
8．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的
标准方程为____________．
【解析】
四、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
【解答】
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(2) 过点A(3，2)和B(17，12)．
【解答】
【解答】
11．已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2
都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____________________．
【解析】
如图，由题意知圆F1：(x＋5)2＋y2＝1的圆心坐标为(－5，0)，半径r1＝1，圆F2：(x－5)2＋y2＝42的圆心坐标为(5，0)，半径r2＝4．
12．(多选)已知M(－5，0)，N(5，0)是平面上两点，若曲线C上至少存在一点P，使得|PM|＝|PN|＋6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列曲线中为“黄金曲线”的是 ( )
【解析】
【答案】AD
【解析】
一、单项选择题
1．已知两定点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和5时，点P的轨迹为 ( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【解析】
当a＝3时，点P满足|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|，依照双曲线的定义，点P的轨迹是双曲线的一支；
当a＝5时，点P满足|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹是一条射线．综上，点P的轨迹是双曲线的一支和一条射线．
C
【解析】
由题意知||PF1|－|PF2||＝2a＝4．又|PF1|＝5，所以|PF2|＝1或|PF2|＝9．因为c2＝a2＋b2＝4＋12＝16，所以c＝4．而|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝9．
A
【解析】
C
4．已知双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，点A在双曲线C上，且关于原点O的对称点为B，|AB|＝|F1F2|，四边形AF1BF2的面积为6，则双曲线C的方程为( )
【解析】
B
【解析】
当m＞－1时，m＋2＞0，m＋1＞0，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜－2时，m＋2＜0，－(m＋1)＞0，方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确，D正确．
【答案】 BCD
【解析】
【答案】 AB
三、填空题
7．若方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为______________．
【解析】
(－∞，0)
8．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方
程：____________．
【解析】
四、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
【解答】
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
【解答】
(1) 求双曲线C的标准方程；
【解答】
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
【解答】
11．已知一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心P的轨迹方程为 ( )
【解析】
C
12．已知点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过点A，B的椭圆，
则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为____________________．
【解析】
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】
(2) 求直线l的方程．
【解答】
