第2课时 双曲线的简单几何性质(1)
学习 目标 1．掌握双曲线的简单几何性质． 2．会根据双曲线的标准方程研究双曲线的变量的取值范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．双曲线的变量的取值范围、对称性
(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中要求x∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)，y∈R．
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中要求x∈R，y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)．
(3) 双曲线的对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点．
2．双曲线的顶点
(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点坐标为(－a，0)，(a，0)．
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点坐标为(0，－a)，(0，a)．
3．双曲线的渐近线
(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x．
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程
为y＝±x．
4．双曲线的离心率
(1) 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，通常用e表示，即e＝＝∈(1，＋∞)．
(2) 离心率e越大，双曲线开口越开阔，否则开口越狭窄．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 双曲线－＝1与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．( √ )
(2) 双曲线－＝1与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．( × )
(3) 椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同．( × )
(4) 双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )
典例精讲能力初成
探究1 由双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质
例1 (教材P124例3补充)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【解答】 由9y2－4x2＝－36，得－＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝a2＋b2＝13，即c＝，从而顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
由双曲线的方程研究双曲线几何性质的步骤：
(1) 把双曲线方程化为标准形式；
(2) 由标准方程确定双曲线的焦点位置，确定a，b的值；
(3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
探究2 由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程
例2 求下列双曲线的标准方程．
(1) 与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
【解答】 方法一：椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)．由题意可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为－＝1．
方法二：由椭圆方程＋＝1知椭圆的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(16＜λ＜25)．因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2) 与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；
【解答】 方法一：双曲线－＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为－＝1．
方法二：由双曲线方程－＝1知两双曲线的焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．因为所求双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(3) 过点(3，9)，离心率e＝．
【解答】 由e2＝，得＝，设a2＝9k(k＞0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k，从而所求双曲线的方程为－＝1①或－＝1②．把x＝3，y＝9代入①，得k＝－161，与k＞0矛盾，舍去；把x＝3，y＝9代入②，得k＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出双曲线方程的形式，再由题设条件确定参数的值．当双曲线的焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏．
探究3 双曲线的渐近线
例3 (1) 已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，那么双曲线的标准方程为－y2＝1．
【解析】 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
(2) 已知双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，那么双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
【解析】 因为椭圆的方程为＋＝1，所以椭圆的焦距为8．①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1．②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1．由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
(3) 经过点P(2，－2)，且与双曲线C：－y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程为( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 设与双曲线C：－y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为所求双曲线经过点P(2，－2)，所以λ＝－4＝－2，从而所求双曲线的标准方程为－＝1．
(1) 求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法：令方程的右边等于0，即令－＝0或－＝0，得y＝±x或y＝±x．
(2) 渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3) 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
探究4 双曲线的离心率
例4 根据下列条件求双曲线的离心率．
(1) 已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，且双曲线C的焦距为4；
【解答】 由点(2，3)在双曲线C上，得－＝1．因为双曲线C的焦距为4，所以2c＝4，即c＝2．又a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝，c＝2，从而双曲线的离心率e＝＝2．
(2) 已知点P(2，0)到双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线的距离为1．
【解答】 因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，所以点P(2，0)到渐近线的距离为＝1，解得a2＝3，从而c2＝4，于是e＝＝＝．
(1) 求双曲线的离心率的值或取值范围的方法：
①由＝＝1＋直接求e．
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)，再求解e的值或取值范围．
(2) 以焦点在x轴上的双曲线为例，双曲线渐近线的斜率k与离心率e的关系为k＝＝＝＝．
随堂内化及时评价
1．已知双曲线的实轴长为4，焦点为(－4，0)，(4，0)，则双曲线的标准方程为( B )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－x2＝1
【解析】 由题意可得解得a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，从而双曲线的标准方程为－＝1．
2．(2023·全国甲卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于( D )
A． B．
C． D．
【解析】 由e＝，得＝＝1＋＝5，解得＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．而圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心(2，3)到渐近线y＝2x(y＝－2x与圆不相交)的距离d＝＝，从而弦长|AB|＝2＝2＝．
3．若等轴双曲线(实轴和虚轴相等的双曲线)的一个焦点是F1(－6，0)，则双曲线的标准方程为( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 因为等轴双曲线的一个焦点为F1(－6，0)，所以c＝6，且a＝b．又c2＝a2＋b2，所以2a2＝36，即a2＝18，从而双曲线的标准方程为－＝1．
4．(多选)已知双曲线的方程为－＝1，下列说法正确的是( BC )
A．该双曲线的焦点坐标为(±，0)
B．该双曲线的渐近线方程为x±3y＝0
C．该双曲线的离心率e＝
D．该双曲线的焦点到渐近线的距离为
【解析】 由题意知a＝3，b＝，c＝＝4，则该双曲线的焦点坐标为(±4，0)，渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±3y＝0，离心率e＝＝，焦点(4，0)到渐近线x±3y＝0的距离d＝＝．
5．与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)的双曲线的标准方程为－＝1．
【解析】 设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，解得λ＝－2．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．若双曲线y2－＝1的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为( C )
A．9 B．－9
C． D．－
【解析】 由双曲线的方程为y2－＝1，可得m＞0，且a＝1，b＝．因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，所以a＝3b，即1＝3，解得m＝．
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点的坐标分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( C )
A．4 B．3
C．2 D．
【解析】 设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，则|F1F2|＝2c＝8，即c＝4，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，所以2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，即a＝2，从而e＝＝＝2．
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，那么双曲线的方程为( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】 由题意知解得所以双曲线的方程为－＝1．
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，那么双曲线C的离心率为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝，从而双曲线的离心率e＝＝＝＝．
二、 多项选择题
5．已知a＞0，b＞0，双曲线C1：－＝1与C2：－＝1，则下列结论正确的是( AC )
A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同
C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同
【解析】 由题意可知双曲线C1，C2的实轴长均为2a，所以它们的实轴长相等，故A正确．双曲线C1，C2的焦点分别在x轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误．双曲线C1，C2的焦距均为2c＝2，所以它们的离心率均为e＝，即它们的离心率相等，故C正确．双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±x和y＝±x，所以当≠，即a≠b时，它们的渐近线不相同，故D错误．
6．已知双曲线C：x2－＝1，P是双曲线C上的任意一点，则下列结论正确的有( ABD )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
C．设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2或|PF2|＝6
D．设双曲线C的左、右顶点分别为A，B，当点P与点A，B不重合时，直线PA与直线PB的斜率之积为16
【解析】 由已知可得a2＝1，即a＝1，b2＝16，即b＝4，所以c2＝a2＋b2＝17，即c＝．对于A，e＝＝，故A正确．对于B，双曲线的一条渐近线方程为4x－y＝0，右焦点坐标为(，0)，所以焦点到渐近线的距离d＝＝4，故B正确．对于C，根据双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝2或|PF2|＝6．又因为|PF2|≥c－a＝－1，所以|PF2|＝6，故C错误．对于D，如图，设P(x0，y0)，A(－1，0)，B(1，0)，则kPA·kPB＝×＝＝＝16，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在直线y＝x－2上，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的方程为x2－＝1．
【解析】 由题意可得双曲线的焦点在x轴上．又直线y＝x－2与x轴的交点为(2，0)，所以双曲线的右焦点为(2，0)，故c＝2．因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，从而焦点(c，0)到渐近线的距离为＝b＝，于是a＝＝1，故双曲线的方程为x2－＝1．
8．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则该双曲线的离心率为2．
【解析】 不妨设双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，所以右焦点F(c，0)到该渐近线的距离为＝b＝c，从而b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，于是双曲线的离心率e＝＝2．
四、 解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)；
【解答】 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知＝．因为双曲线经过点P(，2)，所以－＝1．联立得故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2) 焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)．
【解答】 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，从而＝．又双曲线经过点M(－3，2)，所以－＝1．联立得所以所求双曲线的标准方程为－＝1．
10．已知中心在坐标原点的双曲线C的右顶点坐标为(，0)，离心率为．
(1) 求双曲线C的标准方程和渐近线方程；
【解答】 设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得解得故双曲线C的标准方程为－y2＝1，渐近线方程为y＝±x．
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得·＝0(其中F1，F2为双曲线的两个焦点)，求△F1PF2的面积．
【解答】 不妨设点P在双曲线的右支上，F1为左焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2．由·＝0，可知PF1⊥PF2．在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16．又(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝2，从而△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1．
11．已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点H(2，1)在双曲线的渐近线上，过点F作FP⊥OH，垂足为P，且＝，则双曲线的方程为( A )
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－y2＝1 D．－＝1
【解析】 由H(2，1)知|OH|＝＝．又＝，所以|OP|＝×＝2．由FP⊥OH，得|FP|为焦点F到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离，所以|FP|＝＝b．在Rt△OFP中，|OP|＝＝＝a＝2．因为点H(2，1)在双曲线的渐近线上，所以1＝，即b＝，从而b＝＝1．故双曲线的方程为－y2＝1．
12．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|＝10，|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率为．
【解析】 由双曲线的对称性及|PQ|＝|F1F2|＝10，可知|OP|＝|OQ|＝|OF1|，则△F1PQ为以F1为直角顶点的直角三角形．由双曲线的对称性，可知四边形F1PF2Q为平行四边形，结合∠PF1Q＝，可知四边形F1PF2Q为矩形，则△F1PF2为直角三角形．设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，所以2a＝2x，|F1F2|＝＝2c＝x．故e＝＝＝．
(第12题答)
13．如图(1)，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——何尊的曲线造型．火种台的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图(2)，一种何尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，何尊的高为63 cm，上口直径为40 cm，底部直径为26 cm，最小直径为24 cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为3．
图(1)
图(2)
(第13题)
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由最小直径为24 cm，可得a＝12，即－＝1．因为何尊的高为63 cm，上口直径为40 cm，底部直径为26 cm，所以可设点A(20，t)，B(13，t－63)(t＞0)，从而－＝1且－＝1，解得b＝36，t＝48，于是双曲线的方程为－＝1．所以双曲线的渐近线为y＝±x＝±3x，所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为3．
(第13题答)第2课时 双曲线的简单几何性质(1)
学习 目标 1．掌握双曲线的简单几何性质． 2．会根据双曲线的标准方程研究双曲线的变量的取值范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．双曲线的变量的取值范围、对称性
(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中要求x∈ ，y∈R．
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中要求x∈R，y∈ ．
(3) 双曲线的对称轴为 ，对称中心为 ．
2．双曲线的顶点
(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点坐标为 ， ．
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点坐标为 ， ．
3．双曲线的渐近线
(1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 ．
(2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 ．
4．双曲线的离心率
(1) 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，通常用e表示，即e＝＝∈(1，＋∞)．
(2) 离心率e越大，双曲线开口越开阔，否则开口越狭窄．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 双曲线－＝1与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．( )
(2) 双曲线－＝1与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．( )
(3) 椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同．( )
(4) 双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( )
典例精讲能力初成
探究1 由双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质
例1 (教材P124例3补充)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
由双曲线的方程研究双曲线几何性质的步骤：
(1) 把双曲线方程化为标准形式；
(2) 由标准方程确定双曲线的焦点位置，确定a，b的值；
(3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
探究2 由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程
例2 求下列双曲线的标准方程．
(1) 与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2) 与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；
(3) 过点(3，9)，离心率e＝．
由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出双曲线方程的形式，再由题设条件确定参数的值．当双曲线的焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏．
探究3 双曲线的渐近线
例3 (1) 已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，那么双曲线的标准方程为 ．
(2) 已知双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，那么双曲线的标准方程为 ．
(3) 经过点P(2，－2)，且与双曲线C：－y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(1) 求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法：令方程的右边等于0，即令－＝0或－＝0，得y＝±x或y＝±x．
(2) 渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3) 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
探究4 双曲线的离心率
例4 根据下列条件求双曲线的离心率．
(1) 已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，且双曲线C的焦距为4；
(2) 已知点P(2，0)到双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线的距离为1．
(1) 求双曲线的离心率的值或取值范围的方法：
①由＝＝1＋直接求e．
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)，再求解e的值或取值范围．
(2) 以焦点在x轴上的双曲线为例，双曲线渐近线的斜率k与离心率e的关系为k＝＝＝＝．
随堂内化及时评价
1．已知双曲线的实轴长为4，焦点为(－4，0)，(4，0)，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－x2＝1
2．(2023·全国甲卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于( )
A． B．
C． D．
3．若等轴双曲线(实轴和虚轴相等的双曲线)的一个焦点是F1(－6，0)，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．(多选)已知双曲线的方程为－＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线的焦点坐标为(±，0)
B．该双曲线的渐近线方程为x±3y＝0
C．该双曲线的离心率e＝
D．该双曲线的焦点到渐近线的距离为
5．与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)的双曲线的标准方程为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．若双曲线y2－＝1的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为( )
A．9 B．－9
C． D．－
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点的坐标分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，那么双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，那么双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．已知a＞0，b＞0，双曲线C1：－＝1与C2：－＝1，则下列结论正确的是( )
A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同
C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同
6．已知双曲线C：x2－＝1，P是双曲线C上的任意一点，则下列结论正确的有( )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
C．设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2或|PF2|＝6
D．设双曲线C的左、右顶点分别为A，B，当点P与点A，B不重合时，直线PA与直线PB的斜率之积为16
三、 填空题
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在直线y＝x－2上，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的方程为 ．
8．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则该双曲线的离心率为 ．
四、 解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)；
(2) 焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)．
10．已知中心在坐标原点的双曲线C的右顶点坐标为(，0)，离心率为．
(1) 求双曲线C的标准方程和渐近线方程；
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得·＝0(其中F1，F2为双曲线的两个焦点)，求△F1PF2的面积．
11．已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点H(2，1)在双曲线的渐近线上，过点F作FP⊥OH，垂足为P，且＝，则双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－y2＝1 D．－＝1
12．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|＝10，|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率为 ．
13．如图(1)，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——何尊的曲线造型．火种台的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图(2)，一种何尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，何尊的高为63 cm，上口直径为40 cm，底部直径为26 cm，最小直径为24 cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．
图(1) 图(2)
(第13题)(共53张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
第2课时 双曲线的简单几何性质(1)
学习 目标 1．掌握双曲线的简单几何性质．
2．会根据双曲线的标准方程研究双曲线的变量的取值范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．
新知初探·基础落实
一、概念表述
1．双曲线的变量的取值范围、对称性
(3) 双曲线的对称轴为____________，对称中心为________．
(－∞，－a]∪[a，＋∞)
(－∞，－a]∪[a，＋∞)
x轴、y轴
原点
2．双曲线的顶点
3．双曲线的渐近线
(－a，0)
(a，0)
(0，－a)
(0，a)
√
×
×
×
典例精讲·能力初成
探究
1
由双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质
(教材P124例3补充)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
1
【解答】
由双曲线的方程研究双曲线几何性质的步骤：
(1) 把双曲线方程化为标准形式；
(2) 由标准方程确定双曲线的焦点位置，确定a，b的值；
(3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
探究
2
由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程
求下列双曲线的标准方程．
2
【解答】
求下列双曲线的标准方程．
2
【解答】
求下列双曲线的标准方程．
2
【解答】
由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出双曲线方程的形式，再由题设条件确定参数的值．当双曲线的焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏．
探究
3
双曲线的渐近线
3
【解析】
【解析】
3
【解析】
3
【答案】 A
探究
4
双曲线的离心率
根据下列条件求双曲线的离心率．
4
【解答】
根据下列条件求双曲线的离心率．
4
【解答】
随堂内化·及时评价
1．已知双曲线的实轴长为4，焦点为(－4，0)，(4，0)，则双曲线的标准方程为 ( )
【解析】
B
【解析】
D
3．若等轴双曲线(实轴和虚轴相等的双曲线)的一个焦点是F1(－6，0)，则双曲线的标准方程为 ( )
【解析】
D
【解析】
BC
【解析】
配套新练案
【解析】
C
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点的坐标分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 ( )
A．4 B．3
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
C
【解析】
由题意可知双曲线C1，C2的实轴长均为2a，所以它们的实轴长相等，故A正确．
双曲线C1，C2的焦点分别在x轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误．
【答案】 AC
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
C．设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2或|PF2|＝6
D．设双曲线C的左、右顶点分别为A，B，当点P与点A，B不重合时，直线PA与直线PB的斜率之积为16
【解析】
【答案】 ABD
三、填空题
【解析】
【解析】
2
四、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
【解答】
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
【解答】
(1) 求双曲线C的标准方程和渐近线方程；
【解答】
【解答】
【解析】
【答案】A
曲线C上关于原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|＝10，|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离
心率为______．
【解析】
13．如图(1)，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——何尊的曲线造型．火种台的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图(2)，一种何尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，
何尊的高为63 cm，上口直径为40 cm，底部直径为26 cm，最小直径为24 cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为_____．
图(1)
图(2)
【解析】
【答案】3
