3.3 抛物线
第1课时 抛物线及其标准方程
学习 目标 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的关系． 2．能根据已知条件求抛物线的标准方程，并能运用抛物线的标准方程解决有关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注意：焦点F不在直线l上，若点F在直线l上，点M的轨迹就变为过点F且垂直于直线l的一条直线．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( √ )
(2) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( × )
(3) 若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．( √ )
(4) 抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 抛物线的概念及标准方程
例1 (教材P132例1补充)根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
【解答】 双曲线的方程为－＝1，其左顶点的坐标为(－3，0)，因此抛物线的焦点坐标为(－3，0)．设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则＝3，所以p＝6，因此抛物线的标准方程为y2＝－12x．
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，且|AF|＝5．
【解答】 设所求抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(x0，－3)．由抛物线的定义知5＝|AF|＝．因为(－3)2＝2px0，所以p4－82p2＋81＝0，解得p＝±1或p＝±9，故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x．
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 掌握抛物线的开口方向与方程之间的对应关系．
(2) 当抛物线的开口方向没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论的情形．
(3) 注意p的几何意义．
探究2 抛物线定义的应用
视角1 到焦点与到准线距离的转化
例2－1 (1) 已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，那么线段AB的中点到y轴的距离等于( B )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，即x1＋x2＝6，所以线段AB的中点的横坐标为3，从而线段AB的中点到y轴的距离为3．
(2) 已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，那么点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为．
【解析】 由抛物线的定义可知抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．如图，点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，连接AF，交抛物线y2＝2x于点P′，则|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|，当A，P，F三点共线，即点P在点P′的位置时取等号，故所求最小值为|AF|＝＝．
(例2－1(2)答)
抛物线定义的两种应用：
(1) 实现距离转化．由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2) 解决最值问题．往往用抛物线的定义，化折线为直线来解决最值问题．
视角2 抛物线的轨迹问题
例2－2 一圆经过点F(0，3)，且和直线y＋3＝0相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形．
【解答】 设圆的圆心为M(x，y)，于是|MF|＝d，其中d是圆心M到直线y＋3＝0的距离，因此＝|y＋3|，化简得x2＝12y，所以圆心的轨迹方程是x2＝12y，其图形为如图所示的抛物线．
(例2－2答)
求轨迹方程的常用方法
(1) 直接法：设曲线上动点的坐标为(x，y)，可根据几何条件直接求x，y间的关系式；
(2) 定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3) 相关点法(代入法)：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点的运动条件中去．
变式2－2 已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为(4，0)，点A在直线l上，动点P的纵坐标与点A的纵坐标相同，且⊥，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解答】 由条件可知直线l的方程为x＝4，因此点A的横坐标为4．设点P的坐标为(x，y)，则点A的坐标为(4，y)，因此＝(4，y)，＝(x，y)．因为⊥，所以·＝0，即4x＋y2＝0(x≠0)，即动点P的轨迹方程为y2＝－4x(x≠0)，轨迹是开口向左的抛物线(不包括坐标原点)．
探究3 抛物线方程的实际应用
例3 (教材P132例2补充)某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后船体露出水面的高度为 m，试问：当水面上涨到与拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？
【解答】 以拱桥的拱顶为坐标原点，
(例3答)
建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意知点A(4，－5)在抛物线上，所以16＝－2p×(－5)，2p＝，从而抛物线的方程为x2＝－y．设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于点B，B′(B′与B关于y轴对称)时，船开始不能通航，此时点B的坐标为(2，y)．由22＝－y，得y＝－，此时水面与抛物线拱顶相距|y|＋＝＋＝2(m)，故当水面上涨到与拱顶相距2 m时，木船开始不能通航．
求解抛物线相关的实际应用题的步骤
(1) 建系：建立适当的平面直角坐标系．
(2) 假设：设出合适的抛物线的标准方程．
(3) 计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4) 求解：求出需要求出的量．
(5) 还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
随堂内化及时评价
1．若抛物线C：x2＝2py(p＞0)上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是( C )
A．x2＝4y B．x2＝6y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【解析】 由抛物线的定义得6＋＝8，解得p＝4，所以抛物线C的标准方程为x2＝8y．
2．已知M是抛物线C：y2＝4x上的一个点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|MF|＝2，则|MO|＝．
【解析】 设M(m，n)，由抛物线的定义得|MF|＝2＝m＋1，所以m＝1，从而n2＝4，故|MO|＝ ＝．
3．已知双曲线x2－y2＝1的右焦点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，那么p的值为2，抛物线的准线方程为x＝－．
【解析】 由双曲线的方程可得c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，所以双曲线的右焦点的坐标为(，0)．由题意可得＝，解得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－．
4．若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＋3＝0的距离大1，则点M的轨迹方程是y2＝16x．
【解析】 将x＋3＝0化为x＝－3．由动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－3的距离大1，及抛物线的定义可知，动点M(x，y)的轨迹为抛物线，该抛物线以F(4，0)为焦点，以直线x＝－4为准线，开口向右．设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，所以＝4，解得p＝8，从而点M的轨迹方程为y2＝16x．
5．已知直线l：3x－4y－12＝0，若P为抛物线x2＝4y上的动点，则点P到直线l的距离最小时点P的坐标为．
【解析】 设P，则点P到直线l：3x－4y－12＝0的距离d ＝ ＝＝，当x0＝时，dmin＝，此时P．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为( C )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
【解析】 由题意知抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1的距离相等，因此－＝－1，p＝2，故抛物线的标准方程为y2＝4x．
2．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( A )
A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】 因为点P在第四象限，所以抛物线的开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1＞0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，从而抛物线的方程为y2＝x．当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p2＞0)，则42＝4p2，所以p2＝4，从而抛物线的方程为x2＝－8y．综上，抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－8y．
3．抛物线y＝2x2的准线方程为( A )
A．y＝－ B．y＝－
C．x＝－ D．x＝－
【解析】 抛物线的方程可化为x2＝y，则p＝，所以抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－＝－．
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的纵坐标为－4，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为( D )
A．y2＝－16x B．y2＝8x或y2＝4x
C．y2＝－8x D．y2＝16x或y2＝8x
【解析】 因为抛物线的准线方程是x＝－，而点M到准线的距离为6，所以点M的横坐标是6－．所以点M的坐标为．又因为点M在抛物线上，所以32＝2p，解得p＝8或p＝4，故该抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝8x．
二、 多项选择题
5．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上．若|AF|＝4，则下列结论正确的是( BCD )
A．抛物线C的焦点坐标为(2，0)
B．抛物线C的准线方程为x＝－1
C．线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3
D．点A的坐标为(3，±2)
【解析】 由题意易知抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．因为点F到准线的距离为2，点A到准线的距离为|AF|＝4，所以线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3，由xA＋＝4，得xA＝3，从而点A的坐标为(3，±2)．
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线D：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合，P是双曲线C与抛物线D的一个公共点，则下列说法正确的是( AB )
A．p＝4 B．△F1PF2的周长为16
C．△F1PF2的面积为2 D．cos ∠F1PF2＝
【解析】 对于A，由题意知F1(－2，0)，F2(2，0)，则抛物线D的焦点为F2，p＝4，故A正确．对于B，联立消去y，整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(负值舍去)，将x＝3代入y2＝8x可得y＝±2．如图，设P(3，2)，则|PF1|＝＝7，|PF2|＝7－2＝5，|F1F2|＝4，从而△F1PF2的周长为16，故B正确．对于C，S△F1PF2＝×|F1F2|×2＝×4×2＝4，故C错误．对于D，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝＝≠，故D错误．
(第6题答)
三、 填空题
7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一点，MH⊥l于点H．若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为y2＝4x．
【解析】 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4．又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，从而|HF|＝4．记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|·sin ∠QHF＝4sin 30°＝2，从而抛物线C的方程为y2＝4x．
(第7题答)
8．已知点P在抛物线y2＝4x上，当点P到点Q(2，－2)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(1，－2)，距离的最小值为3．
【解析】 由题意可得点Q在抛物线的内部，如图，过点Q向准线作垂线，垂足为N，过点P作PP′垂直于准线，垂足为P′，连接FP．抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，|QN|＝3，则|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PP′|≥|QN|，当且仅当P，Q，N三点共线时等号成立，此时点P的纵坐标为－2，将y＝－2代入抛物线的方程，可得点P的横坐标为x＝1，因此点P的坐标为(1，－2)．
(第8题答)
四、 解答题
9．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1) 焦点是F(0，－2)；
【解答】 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，所以可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．又－＝－2，所以p＝4，从而所求抛物线的标准方程是x2＝－8y．
(2) 焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是5．
【解答】 因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)．由焦点到准线的距离为5，知p＝5，所以所求抛物线的标准方程是y2＝－10x．
10．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状(如图所示)．现要求水流最高点B离地面5 m，点B到管柱OA所在直线的距离为4 m，且水流落在地面上以O为圆心、9 m为半径的圆上，求管柱OA的高度．
(第10题)
【解答】 建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)．因为抛物线过点C(5，－5)，所以25＝－2p·(－5)，解得p＝，从而抛物线的方程为x2＝－5y．设A(－4，y)，因为抛物线过点A，所以16＝－5y，即y＝－，从而|OA|＝5－＝，故管柱OA的高度为 m．
(第10题答)
11．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则抛物线C的准线方程为x＝－．
【解析】 方法一：由题意，不妨设点P在第一象限，则P，kOP＝2．因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，从而PQ的方程为y－p＝－，当y＝0时，x＝．由|FQ|＝6，可得－＝6，解得p＝3，所以抛物线的准线方程为x＝－．
方法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO|·|FQ|，所以p2＝×6，解得p＝3，因此，抛物线的准线方程为x＝－．
12．已知圆心在x轴上移动的圆经过点M(－4，0)，且与x轴、y轴分别交于A，B两个动点，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两条垂线的交点记为P，则点P的轨迹为( D )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 设圆心坐标为(a，0)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(a＋4)2．令y＝0，得x＝－4或x＝2a＋4，则A(2a＋4，0)；令x＝0，得y2＝8a＋16，则B(0，±)．所以P(2a＋4，±)，设P(x，y)，易得y2＝4x，所以点P的轨迹为抛物线．
13．已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－3)2＝1，P为抛物线E上一点，Q为圆C上一点，则|PQ|的最小值为( B )
A．5 B．2－1
C．2 D．3
【解析】 由题意知圆C的圆心为C(0，3)，r＝1．设P(x0，y0)，则x＝4y0，所以|PC|＝＝＝，故当y0＝1时，|PC|min＝2，所以|PQ|min＝|PC|min－r＝2－1．3.3 抛物线
第1课时 抛物线及其标准方程
学习 目标 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的关系． 2．能根据已知条件求抛物线的标准方程，并能运用抛物线的标准方程解决有关问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做 ．点F叫做 ，直线l叫做 ．
注意：焦点F不在直线l上，若点F在直线l上，点M的轨迹就变为过点F且垂直于直线l的一条直线．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(2) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(3) 若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．( )
(4) 抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．( )
典例精讲能力初成
探究1 抛物线的概念及标准方程
例1 (教材P132例1补充)根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，且|AF|＝5．
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 掌握抛物线的开口方向与方程之间的对应关系．
(2) 当抛物线的开口方向没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论的情形．
(3) 注意p的几何意义．
探究2 抛物线定义的应用
视角1 到焦点与到准线距离的转化
例2－1 (1) 已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，那么线段AB的中点到y轴的距离等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2) 已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，那么点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．
抛物线定义的两种应用：
(1) 实现距离转化．由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2) 解决最值问题．往往用抛物线的定义，化折线为直线来解决最值问题．
视角2 抛物线的轨迹问题
例2－2 一圆经过点F(0，3)，且和直线y＋3＝0相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形．
求轨迹方程的常用方法
(1) 直接法：设曲线上动点的坐标为(x，y)，可根据几何条件直接求x，y间的关系式；
(2) 定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3) 相关点法(代入法)：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点的运动条件中去．
变式2－2 已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为(4，0)，点A在直线l上，动点P的纵坐标与点A的纵坐标相同，且⊥，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
探究3 抛物线方程的实际应用
例3 (教材P132例2补充)某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后船体露出水面的高度为 m，试问：当水面上涨到与拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？
求解抛物线相关的实际应用题的步骤
(1) 建系：建立适当的平面直角坐标系．
(2) 假设：设出合适的抛物线的标准方程．
(3) 计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4) 求解：求出需要求出的量．
(5) 还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
随堂内化及时评价
1．若抛物线C：x2＝2py(p＞0)上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是( )
A．x2＝4y B．x2＝6y
C．x2＝8y D．x2＝16y
2．已知M是抛物线C：y2＝4x上的一个点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|MF|＝2，则|MO|＝ ．
3．已知双曲线x2－y2＝1的右焦点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，那么p的值为2，抛物线的准线方程为 ．
4．若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＋3＝0的距离大1，则点M的轨迹方程是 ．
5．已知直线l：3x－4y－12＝0，若P为抛物线x2＝4y上的动点，则点P到直线l的距离最小时点P的坐标为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
2．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
3．抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－ B．y＝－
C．x＝－ D．x＝－
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的纵坐标为－4，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－16x B．y2＝8x或y2＝4x
C．y2＝－8x D．y2＝16x或y2＝8x
二、 多项选择题
5．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上．若|AF|＝4，则下列结论正确的是( )
A．抛物线C的焦点坐标为(2，0)
B．抛物线C的准线方程为x＝－1
C．线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3
D．点A的坐标为(3，±2)
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线D：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合，P是双曲线C与抛物线D的一个公共点，则下列说法正确的是( )
A．p＝4 B．△F1PF2的周长为16
C．△F1PF2的面积为2 D．cos ∠F1PF2＝
三、 填空题
7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一点，MH⊥l于点H．若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为 ．
8．已知点P在抛物线y2＝4x上，当点P到点Q(2，－2)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为 ，距离的最小值为 ．
四、 解答题
9．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1) 焦点是F(0，－2)；
(2) 焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是5．
10．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状(如图所示)．现要求水流最高点B离地面5 m，点B到管柱OA所在直线的距离为4 m，且水流落在地面上以O为圆心、9 m为半径的圆上，求管柱OA的高度．
(第10题)
11．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则抛物线C的准线方程为 ．
12．已知圆心在x轴上移动的圆经过点M(－4，0)，且与x轴、y轴分别交于A，B两个动点，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两条垂线的交点记为P，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
13．已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－3)2＝1，P为抛物线E上一点，Q为圆C上一点，则|PQ|的最小值为( )
A．5 B．2－1
C．2 D．3(共43张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
第1课时 抛物线及其标准方程
学习 目标 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的关系．
2．能根据已知条件求抛物线的标准方程，并能运用抛物线的标准方程解决有关问题．
新知初探·基础落实
一、概念表述
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做__________．点F叫做________________，直线l叫做________________．
注意：焦点F不在直线l上，若点F在直线l上，点M的轨迹就变为过点F且垂直于直线l的一条直线．
相等
抛物线
抛物线的焦点
抛物线的准线
二、概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． ( )
(2) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． ( )
(3) 若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． ( )
(4) 抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离． ( )
√
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
抛物线的概念及标准方程
(教材P132例1补充)根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
1
【解答】
(教材P132例1补充)根据下列条件求抛物线的标准方程．
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，且|AF|＝5．
1
【解答】
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 掌握抛物线的开口方向与方程之间的对应关系．
(2) 当抛物线的开口方向没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论的情形．
(3) 注意p的几何意义．
探究
2
抛物线定义的应用
视角1 到焦点与到准线距离的转化
(1) 已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，那么线段AB的中点到y轴的距离等于 ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】
抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，即x1＋x2＝6，所以线段AB的中点的横坐标为3，从而线段AB的中点到y轴的距离为3．
B
2－1
(2) 已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，那么点P到点A(0，2)的距离与
点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______．
【解析】
2－1
抛物线定义的两种应用：
(1) 实现距离转化．由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2) 解决最值问题．往往用抛物线的定义，化折线为直线来解决最值问题．
视角2 抛物线的轨迹问题
一圆经过点F(0，3)，且和直线y＋3＝0相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形．
【解答】
2－2
求轨迹方程的常用方法
(1) 直接法：设曲线上动点的坐标为(x，y)，可根据几何条件直接求x，y间的关系式；
(2) 定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3) 相关点法(代入法)：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点的运动条件中去．
【解答】
探究
3
抛物线方程的实际应用
3
【解答】
求解抛物线相关的实际应用题的步骤
(1) 建系：建立适当的平面直角坐标系．
(2) 假设：设出合适的抛物线的标准方程．
(3) 计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4) 求解：求出需要求出的量．
(5) 还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
随堂内化·及时评价
1．若抛物线C：x2＝2py(p＞0)上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是 ( )
A．x2＝4y B．x2＝6y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【解析】
C
2．已知M是抛物线C：y2＝4x上的一个点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|MF|＝2，则|MO|＝______．
【解析】
3．已知双曲线x2－y2＝1的右焦点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，那么p的值为_______，抛物线的准线方程为___________．
【解析】
4．若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＋3＝0的距离大1，则点M的轨迹方程是__________．
【解析】
y2＝16x
5．已知直线l：3x－4y－12＝0，若P为抛物线x2＝4y上的动点，则点P到直线l的距
离最小时点P的坐标为____________．
【解析】
配套新练案
一、单项选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为 ( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
【解析】
C
2．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为 ( )
A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】
A
3．抛物线y＝2x2的准线方程为 ( )
【解析】
A
【解析】
D
二、多项选择题
5．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上．若|AF|＝4，则下列结论正确的是 ( )
A．抛物线C的焦点坐标为(2，0)
B．抛物线C的准线方程为x＝－1
C．线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3
【解析】
【答案】BCD
【解析】
对于A，由题意知F1(－2，0)，F2(2，0)，则抛物线D的焦点为F2，p＝4，故A正确．
【答案】AB
三、填空题
7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一点，MH⊥l于点H．若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为_________．
【解析】
因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4．又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，从而|HF|＝4．记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|·sin ∠QHF＝4sin 30°＝2，从而抛物线C的方程为y2＝4x．
y2＝4x
8．已知点P在抛物线y2＝4x上，当点P到点Q(2，－2)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为____________，距离的最小值为_____．
【解析】
由题意可得点Q在抛物线的内部，如图，过点Q向准线作垂线，垂足为N，过点P作PP′垂直于准线，垂足为P′，连接FP．抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，|QN|＝3，则|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PP′|≥|QN|，当且仅当P，Q，N三点共线时等号成立，此时点P的纵坐标为－2，将y＝－2代入抛物线的方程，可得点P的横坐标为x＝1，因此点P的坐标为(1，－2)．
(1，－2)
3
四、解答题
9．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1) 焦点是F(0，－2)；
【解答】
9．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(2) 焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是5．
【解答】
因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以可设抛物线的标准方程为y2＝ －2px(p＞0)．由焦点到准线的距离为5，知p＝5，所以所求抛物线的标准方程是y2＝－10x．
10．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状(如图所示)．现要求水流最高点B离地面5 m，点B到管柱OA所在直线的距离为4 m，且水流落在地面上以O为圆心、9 m为半径的圆上，求管柱OA的高度．
【解答】
11．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则抛物线C的准线方程
为___________．
【解析】
12．已知圆心在x轴上移动的圆经过点M(－4，0)，且与x轴、y轴分别交于A，B两个动点，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两条垂线的交点记为P，则点P的轨迹为 ( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】
D
13．已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－3)2＝1，P为抛物线E上一点，Q为圆C上一点，则|PQ|的最小值为 ( )
【解析】
B
