第2课时 抛物线的简单几何性质(1)
学习 目标 1．会根据抛物线的标准方程研究抛物线的对称性、顶点、准线方程等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．抛物线的几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
开口 方向 向右 向左 向上 向下
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
2．设抛物线上一点P的坐标为(x0，y0)，焦点为F．
(1) 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，|PF|＝＝x0＋．
(2) 对于抛物线y2＝－2px(p＞0)，|PF|＝＝－x0＋．
(3) 对于抛物线x2＝2py(p＞0)，|PF|＝＝y0＋．
(4) 对于抛物线x2＝－2py(p＞0)，|PF|＝＝－y0＋．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 抛物线没有渐近线．( √ )
(2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p．( × )
(3) 抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是[0，＋∞)．( √ )
(4) 抛物线y＝3x2的准线方程是y＝－．( × )
典例精讲能力初成
探究1 由抛物线的方程得到抛物线的几何性质
例1 已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到抛物线的准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值为( B )
A．2 B．2或4
C．1或2 D．1
【解析】 设M(xM，yM)．因为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到抛物线的准线及对称轴的距离分别为3和2，所以即因为点M在抛物线上，所以8＝2p，整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4．
在求解有关抛物线的几何性质的问题时，常常先要将抛物线的方程化成标准方程，画出抛物线的草图，这样能够避免发生不必要的错误．
变式1 已知点(1，2)在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为( D )
A．x＝－ B．y＝－
C．x＝－ D．y＝－
【解析】 因为点(1，2)在抛物线C：y＝ax2上，所以2＝a×12，即a＝2，从而抛物线C的标准方程为x2＝y，故抛物线C的准线方程为y＝－．
探究2 由抛物线的几何性质得抛物线的方程
例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求实数m的值及抛物线的方程和准线方程．
【解答】 方法一：由题意知抛物线的开口向下，可设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F．因为点M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，所以解得从而抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
方法二：由题意设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F，准线l：y＝．如图，过点M作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5．又|MN|＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4．又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2，从而抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
(例2答)
抛物线的性质：(1) 抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．(2) 抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p．
探究3 抛物线的几何性质的应用
例3 已知抛物线y2＝8x．
(1) 求该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴及变量x的取值范围；
【解答】 抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，[0，＋∞)．
(2) 以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
【解答】 如图，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为M．又焦点F是△OAB的重心，所以|OF|＝|OM|．因为|OF|＝2，所以|OM|＝|OF|＝3，从而点M(3，0)．设A(3，m)，则m2＝24，解得m＝2或m＝－2，所以A(3，2)，B(3，－2)，从而|OA|＝|OB|＝，于是△OAB的周长为2＋4．
(例3答)
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质：
(1) 开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2) 关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3) 定值：焦点到准线的距离为p，过焦点且垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p，离心率恒等于1．
探究4 抛物线的焦半径及焦点弦问题
例4 (教材P135例4补充)已知P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于A，B两点．
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 由题意知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－．由|PF|＝2，得1＋＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2) 若|AB|＝8，求k的值．
【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，则x1＋x2＝．因为直线l经过抛物线C的焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，解得k＝±1，即k的值为1或－1．
若过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p．
随堂内化及时评价
1．已知抛物线C：x＋8y2＝0，则抛物线C的准线方程为________．
【解析】 由抛物线C：x＋8y2＝0，即y2＝－x，知抛物线C的准线方程为x＝．
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的纵坐标为－4，且点M到抛物线准线的距离为6，则抛物线的标准方程为( D )
A．y2＝－16x B．y2＝8x或y2＝4x
C．y2＝－8x D．y2＝16x或y2＝8x
【解析】 因为抛物线的准线方程是x＝－，点M到抛物线准线的距离为6，所以点M的横坐标是6－，从而点M的坐标为．又因为点M在抛物线上，所以32＝2p，解得p＝8或p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝8x．
3．已知点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，当点M在抛物线上移动时，使得|MF|＋|MA|取得最小值的点M的坐标为( D )
A．(0，0) B．
C．(1，) D．(2，2)
【解析】 如图，过点M作抛物线y2＝2x的准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2，2)．
(第3题答)
4．已知抛物线x2＝4y的焦点F到抛物线上的点P的距离为3，那么点P的坐标为(±2，2)，△POF(O为坐标原点)的面积为．
【解析】 设P(m，n)，由抛物线的定义知1＋n＝3，所以n＝2．由抛物线的方程可知m2＝8，解得m＝±2，所以P(±2，2)，S△POF＝×|OF|×|m|＝．
5．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦(过焦点的弦)，若|AB|＝4，则弦AB的中点的纵坐标为．
【解析】 设AB的中点为P(x0，y0)．如图，过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′．由题得|AB|＝|AA′|＋|BB′|＝4，则|PQ|＝＝2．因为|PQ|＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝．
(第5题答)
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是抛物线C上一点．若|AF|＝x0，则x0等于( C )
A．4 B．2
C．1 D．8
【解析】 由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此抛物线C的焦点为F，准线l的方程为x＝－．设点A到准线l的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1．
2．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝4x上，则这个等边三角形的边长为( A )
A．8 B．4
C．4 D．3
【解析】 依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝4x上，可设另外两个顶点的坐标分别为，(m＞0)，所以tan 30°＝＝，解得m＝4，故这个等边三角形的边长为2m＝8．
3．已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5．若O为坐标原点，则△OFM的面积为( B )
A．1 B．2
C． D．2
【解析】 由题意得抛物线C的准线方程为x＝－，焦点为F．由抛物线的定义知点M到焦点的距离等于到准线的距离，则5＝4＋，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．因为点M(4，y0)在抛物线C上，所以y＝16，解得|y0|＝4，从而S△OFM＝|OF|·|y0|＝×1×4＝2．
4．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C．若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( D )
(第4题)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
【解析】 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D．设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a．由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．在Rt△ACE中，因为|AF|＝|AE|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，解得a＝1．因为BD∥FG，所以＝，即＝，解得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x．
(第4题答)
二、 多项选择题
5．对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是( AC )
A．开口向上，焦点坐标为(0，2)
B．开口向上，焦点坐标为
C．焦点到准线的距离为4
D．准线方程为y＝－4
【解析】 由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2．
6．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，点M(1，3)，则下列结论正确的是( CD )
A．|PF|的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．|PM|＋|PF|的最小值为4
D．过点M且与抛物线C只有一个公共点的直线有且仅有一条
【解析】 当P在原点时，|PF|取最小值1，故A错误．易知抛物线C关于y轴对称，故B错误．如图，作出抛物线C的准线l：y＝－1，过点P作l的垂线，垂足为H，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，则|PF|＝|PH|，因为|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PH|，所以当M，P，H三点共线时，|PM|＋|PF|取最小值，最小值为|MM′|＝4，故C正确．因为点M在抛物线内，所以只有过点M的直线平行于对称轴y轴时，过点M的直线才与抛物线C只有一个公共点，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则|PF|＝8．
【解析】 如图，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与抛物线的准线方程x＝－2 联立得A(－2，4)．设P(x0，4)，因为P为抛物线y2＝8x上一点，所以8x0＝48，解得x0＝6，故|PF|＝x0＋2＝8．
(第7题答)
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．若直线l的斜率为2，则弦AB的长为5，抛物线C的方程为y2＝4x．
【解析】 由题意得抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝2x－2．联立消去y得(x－1)2＝x，即x2－3x＋1＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5．
四、 解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，求抛物线的标准方程．
【解答】 当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则直线的方程为y＝－x＋p．设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D(图略)．由抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8①．由消去y，得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p②．将②代入①，得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x．当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线的标准方程为y2＝－4x．综上，抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x．
10．(1) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值及抛物线的方程和准线方程．
【解答】 因为抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，所以可确定所求抛物线开口向下．
方法一：设所求抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F．因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，所以解得从而抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
方法二：如图，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F，准线l：y＝．过点M作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5．而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．又点M(m，－3)在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2．
(第10题(1)答)
(2) 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积等于4，求抛物线的标准方程．
【解答】 由题意可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x＝，所以A，B两点的坐标分别为，，从而|AB|＝2|a|．因为△OAB的面积为4，所以··2|a|＝4，解得a＝±2，故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x．
11．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l，直线l交抛物线E于点N，则△PFN周长的取值范围是( C )
A．(7，9) B．(7，10)
C．(8，10) D．(8，10]
【解析】 易知圆C的圆心为C(0，1)，且点C与抛物线E的焦点F重合，设PN交抛物线的准线于H，由抛物线的定义得|FN|＝|NH|，所以△PFN的周长为|FN|＋|NP|＋|FP|＝|PH|＋4．联立解得B(2，3)．因为|PH|＝yP＋1，且3＜yP＜5，所以|PH|∈(4，6)，从而|PH|＋4∈(8，10)，即△PFN周长的取值范围是(8，10)．
(第11题答)
12．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是( ABD )
A．抛物线C的焦点坐标是(2，0)
B．x1x2＝4
C．若x1＋x2＝5，则|AB|＝7
D．若以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
【解析】 对于A，由抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，知p＝4，所以F(2，0)，故A正确．对于B，当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以x1x2＝2×2＝4；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－2)，联立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4．故B正确．对于C，|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋4＝9，故C错误．对于D，过点A，B，M分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，因为|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|，从而以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确．第2课时 抛物线的简单几何性质(1)
学习 目标 1．会根据抛物线的标准方程研究抛物线的对称性、顶点、准线方程等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．抛物线的几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
开口 方向
范围
对称轴
顶点
离心率
2．设抛物线上一点P的坐标为(x0，y0)，焦点为F．
(1) 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，|PF|＝＝x0＋．
(2) 对于抛物线y2＝－2px(p＞0)，|PF|＝＝－x0＋．
(3) 对于抛物线x2＝2py(p＞0)，|PF|＝＝y0＋．
(4) 对于抛物线x2＝－2py(p＞0)，|PF|＝＝－y0＋．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 抛物线没有渐近线．( )
(2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p．( )
(3) 抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是[0，
＋∞)．( )
(4) 抛物线y＝3x2的准线方程是y＝－．( )
典例精讲能力初成
探究1 由抛物线的方程得到抛物线的几何性质
例1 已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到抛物线的准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值为( )
A．2 B．2或4
C．1或2 D．1
在求解有关抛物线的几何性质的问题时，常常先要将抛物线的方程化成标准方程，画出抛物线的草图，这样能够避免发生不必要的错误．
变式1 已知点(1，2)在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为( )
A．x＝－ B．y＝－
C．x＝－ D．y＝－
探究2 由抛物线的几何性质得抛物线的方程
例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求实数m的值及抛物线的方程和准线方程．
抛物线的性质：(1) 抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．(2) 抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p．
探究3 抛物线的几何性质的应用
例3 已知抛物线y2＝8x．
(1) 求该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴及变量x的取值范围；
(2) 以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质：
(1) 开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2) 关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3) 定值：焦点到准线的距离为p，过焦点且垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p，离心率恒等于1．
探究4 抛物线的焦半径及焦点弦问题
例4 (教材P135例4补充)已知P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于A，B两点．
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 若|AB|＝8，求k的值．
若过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p．
随堂内化及时评价
1．已知抛物线C：x＋8y2＝0，则抛物线C的准线方程为________．
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的纵坐标为－4，且点M到抛物线准线的距离为6，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－16x B．y2＝8x或y2＝4x
C．y2＝－8x D．y2＝16x或y2＝8x
3．已知点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，当点M在抛物线上移动时，使得|MF|＋|MA|取得最小值的点M的坐标为( )
A．(0，0) B．
C．(1，) D．(2，2)
4．已知抛物线x2＝4y的焦点F到抛物线上的点P的距离为3，那么点P的坐标为 ，△POF(O为坐标原点)的面积为 ．
5．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦(过焦点的弦)，若|AB|＝4，则弦AB的中点的纵坐标为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是抛物线C上一点．若|AF|＝x0，则x0等于( )
A．4 B．2
C．1 D．8
2．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝4x上，则这个等边三角形的边长为( )
A．8 B．4
C．4 D．3
3．已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5．若O为坐标原点，则△OFM的面积为( )
A．1 B．2
C． D．2
4．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C．若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
(第4题)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
二、 多项选择题
5．对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点坐标为(0，2)
B．开口向上，焦点坐标为
C．焦点到准线的距离为4
D．准线方程为y＝－4
6．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，点M(1，3)，则下列结论正确的是( )
A．|PF|的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．|PM|＋|PF|的最小值为4
D．过点M且与抛物线C只有一个公共点的直线有且仅有一条
三、 填空题
7．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则|PF|＝ ．
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．若直线l的斜率为2，则弦AB的长为 ，抛物线C的方程为 ．
四、 解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，求抛物线的标准方程．
(1) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，
－3)到焦点的距离为5，求m的值及抛物线的方程和准线方程．
(2) 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积等于4，求抛物线的标准方程．
11．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l，直线l交抛物线E于点N，则△PFN周长的取值范围是( )
A．(7，9) B．(7，10)
C．(8，10) D．(8，10]
12．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是( )
A．抛物线C的焦点坐标是(2，0)
B．x1x2＝4
C．若x1＋x2＝5，则|AB|＝7
D．若以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切，则AB是该圆的一条直径(共45张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
第2课时 抛物线的简单几何性质(1)
学习 目标 1．会根据抛物线的标准方程研究抛物线的对称性、顶点、准线方程等几何性质．
2．会利用抛物线的性质解决一些简单的问题．
新知初探·基础落实
一、概念表述
1．抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
开口方向 ________ ________ ________ ________
范围 ______________ ______________ ______________ ______________
对称轴 _______ _______ 顶点 _____________ 离心率 ________ 向右
向左
向上
向下
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
x轴
y轴
O(0，0)
e＝1
2．设抛物线上一点P的坐标为(x0，y0)，焦点为F．
二、概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 抛物线没有渐近线． ( )
(2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p． ( )
(3) 抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是[0，＋∞)． ( )
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
由抛物线的方程得到抛物线的几何性质
1
【解析】
B
在求解有关抛物线的几何性质的问题时，常常先要将抛物线的方程化成标准方程，画出抛物线的草图，这样能够避免发生不必要的错误．
变式1 已知点(1，2)在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为 ( )
【解析】
D
探究
2
由抛物线的几何性质得抛物线的方程
已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求实数m的值及抛物线的方程和准线方程．
2
【解答】
抛物线的性质：(1) 抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．(2) 抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p．
探究
3
抛物线的几何性质的应用
已知抛物线y2＝8x．
(1) 求该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴及变量x的取值范围；
3
【解答】
抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，[0，＋∞)．
(2) 以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
3
【解答】
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质：
(1) 开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2) 关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3) 定值：焦点到准线的距离为p，过焦点且垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p，离心率恒等于1．
探究
4
抛物线的焦半径及焦点弦问题
(教材P135例4补充)已知P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于A，B两点．
(1) 求抛物线C的方程；
4
【解答】
(教材P135例4补充)已知P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于A，B两点．
(2) 若|AB|＝8，求k的值．
【解答】
4
随堂内化·及时评价
1．已知抛物线C：x＋8y2＝0，则抛物线C的准线方程为________．
【解析】
【解析】
D
3．已知点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，当点M在抛物线上移动时，使得|MF|＋|MA|取得最小值的点M的坐标为 ( )
【解析】
如图，过点M作抛物线y2＝2x的准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2，2)．
D
4．已知抛物线x2＝4y的焦点F到抛物线上的点P的距离为3，那么点P的坐标为________________，△POF(O为坐标原点)的面积为______．
【解析】
5．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦(过焦点的弦)，若|AB|＝4，则弦AB的中点的纵
坐标为______．
【解析】
配套新练案
【解析】
C
2．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝4x上，则这个等边三角形的边长为 ( )
【解析】
A
3．已知点M(4，y0)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离
为5．若O为坐标原点，则△OFM的面积为 ( )
【解析】
B
【解析】
【答案】D
【解析】
AC
6．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，点M(1，3)，则下列结论正确的是 ( )
A．|PF|的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．|PM|＋|PF|的最小值为4
D．过点M且与抛物线C只有一个公共点的直线有且仅有一条
【解析】
当P在原点时，|PF|取最小值1，故A错误．
易知抛物线C关于y轴对称，故B错误．
如图，作出抛物线C的准线l：y＝－1，过点P作l的垂线，垂足为H，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，则|PF|＝|PH|，因为|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PH|，所以当M，P，H三点共线时，|PM|＋|PF|取最小值，最小值为|MM′|＝4，故C正确．
因为点M在抛物线内，所以只有过点M的直线平行于对称轴y轴时，过点M的直线才与抛物线C只有一个公共点，故D正确．
【答案】CD
【解析】
8
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．若直线l的斜率为2，则弦AB的长为_____，抛物线C的方程为_________．
【解析】
5
y2＝4x
四、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，求抛物线的标准方程．
【解答】
10．(1) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值及抛物线的方程和准线方程．
【解答】
因为抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，所以可确定所求抛物线开口向下．
10．(2) 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积等于4，求抛物线的标准方程．
【解答】
11．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l，直线l交抛物线E于点N，则△PFN周长的取值范围是 ( )
A．(7，9) B．(7，10)
C．(8，10) D．(8，10]
【解析】
易知圆C的圆心为C(0，1)，且点C与抛物线E的焦点F重合，设PN交抛物线的准线于H，由抛物线的定义得|FN|＝|NH|，所以△PFN的周长为|FN|＋|NP|＋|FP|＝|PH|＋4．
【答案】C
12．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是 ( )
A．抛物线C的焦点坐标是(2，0)
B．x1x2＝4
C．若x1＋x2＝5，则|AB|＝7
D．若以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
【解析】
对于A，由抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，知p＝4，所以F(2，0)，故A正确．
对于C，|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋4＝9，故C错误．
对于D，过点A，B，M分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，因为|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|，从而以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确．
【答案】ABD
