第3课时 抛物线的简单几何性质(2)
学习 目标 1．理解直线和抛物线的位置关系，会根据图形和方程组的解的组数判断直线和抛物线的位置关系． 2．掌握直线和抛物线相交弦的长和中点弦问题的解决方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述：
1．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若k＝0，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个交点．
因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
2．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为x＝m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线x＝－6与抛物线y2＝6x一定相交．( × )
(2) 直线x＝－6与抛物线x2＝－8y一定相交．( √ )
(3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定相切．( √ )
(4) 抛物线y2＝8x与直线x－y＝0有两个交点．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 直线与抛物线的位置关系
例1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
【解答】 由抛物线的准线方程为x＝－2，得Q(－2，0)．显然直线l的斜率存在，设l：y＝k(x＋2)．由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0．当k＝0时，x＝0，即交点坐标为(0，0)；当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1．综上，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]．
探究2 抛物线的中点弦问题
例2 已知抛物线C：y2＝4x，过点P(1，1)的直线交抛物线C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为y＝2x－1．
【解析】 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知x1≠x2．因为点A，B在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，两式相减得y－y＝4(x1－x2)，整理得＝，即直线AB的斜率k＝．因为直线AB的中点为P(1，1)，所以＝1，从而k＝2，于是直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．
(例2答)
抛物线中点弦问题中直线方程的两种求法
(1) 点差法：设两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．若x1≠x2，将两个交点的坐标分别代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式写出直线方程．
(2) 传统法：设出直线方程，并将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，求出斜率，进而可写出直线方程．
变式2 已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点的坐标为(1，4)，则直线l的方程为( A )
A．4x－y＝0 B．2x－y＝0
C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y1－y2＝2(x－x)＝2(x1＋x2)·(x1－x2)．因为线段AB的中点的坐标为(1，4)，所以x1＋x2＝2，x1－x2≠0，从而＝2(x1＋x2)＝4，即直线l的斜率为4，故直线l的方程为y－4＝4(x－1)，即4x－y＝0．
探究3 弦长问题
例3 若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，求抛物线的方程．
【解答】 设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．设直线2x－y＋1＝0与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立 消去y，得(2x＋1)2＝ax，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝．由Δ＞0，解得a＞8或a＜0．由|AB|＝·＝＝，即a2－8a－48＝0，解得a＝12或a＝－4，均符合题意．所以抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x．
直线与抛物线相交弦长的求解思路：
(1) 设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0，且抛物线的对称轴是y轴时，弦长|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率不存在，且抛物线的对称轴是x轴时，弦长|AB|＝|y1－y2|．
(2) 焦点弦是特殊的弦，除了可以利用以上方法求解，还可以利用抛物线的定义将问题转化为焦半径问题来处理．
随堂内化及时评价
1．(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线截得的弦长为4，则抛物线C的方程为( CD )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【解析】 由解得或所以抛物线C与直线的交点坐标为(0，0)，(4p，8p)，从而＝4，解得p＝±1，故抛物线C的方程为x2＝±2y．
2．(多选)已知直线l：x＝my＋(2m＋1)，抛物线C：x2＝4y，则下列结论正确的是( BD )
A．直线l过定点(－2，1)
B．当m＝－1时，直线l与抛物线C相切
C．当－1＜m＜时，直线l与抛物线C有两个公共点
D．当直线l与抛物线C无公共点时，m＜－1或m＞
【解析】 对于A，因为m＋(2m＋1)＝3m＋1≠－2，所以(－2，1)不是直线l所过定点，故A错误；对于B，当m＝－1时，直线l的方程为x＝－y－1，将其代入抛物线方程得(－y－1)2＝4y，解得y＝1，从而x＝－2，又直线l与抛物线的对称轴不平行，所以直线l与抛物线相切，切点坐标为(－2，1)，故B正确．对于C，当m＝0时，直线l的方程为x＝1，此时直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，故C错误；对于D，联立得x2－x＋2m＋1＝0，由Δ＝1－4××(2m＋1)＝－2m2－m＋1＜0，得m＜－1或m＞，故D正确．
3．如图所示是一座抛物线形拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的对称轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水位下降，水面的宽为6 m时，拱顶到水面的距离为4.5_m．
(第3题)
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝my(m＜0)．因为点A(2，－2)在抛物线x2＝my上，所以22＝m×(－2)，解得m＝－2，从而x2＝－2y．设B(3，y0)，则y0＝－，故拱顶到水面的距离为m．
(第3题答)
4．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且＝2，则△AOB的面积是6．
(第4题答)
【解析】 抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，由点A在第一象限，＝2，知直线AB的斜率为负值．如图，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，|AF|＝|AC|，过点A作AE⊥BD于点E．由＝2，F(2，0)，可得|AB|＝3|BE|，|AE|＝＝2|BE|，所以tan ∠ABE＝＝2，从而直线AB的斜率为－2，直线AB的方程为y＝－2(x－2)．联立消去y并整理得x2－5x＋4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝5，则|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋4＝9．又原点到直线AB的距离d＝＝，所以△AOB的面积S＝|AB|·d＝××9＝6．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．若过点(2，4)的直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线l有( B )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【解析】 因为点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
2．设经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为9，则|AB|等于( B )
A．18 B．24
C．30 D．36
【解析】 因为经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，所以直线AB的斜率不等于0，从而可设直线AB的方程为x＝ty＋3．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理得y2－12ty－36＝0，所以y1＋y2＝12t，y1y2＝－36，从而x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝12t2＋6．因为线段AB的中点的横坐标为9，所以x1＋x2＝12t2＋6＝18，解得t＝±1，从而|AB|＝·＝×12＝24．
3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝9，则抛物线C的方程为( C )
A．x2＝3y B．x2＝12y
C．x2＝y D．x2＝y
【解析】 由已知可设直线AB的方程为y＝x＋．联立消去x，得y2－3py＋＝0，则Δ＝8p2＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理知y1＋y2＝3p．因为|AB|＝9，所以y1＋y2＋p＝9，即4p＝9，解得p＝，从而抛物线C的方程为x2＝y．
4．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px的焦点，动直线x－my－n＝0与抛物线C交于A，B两点．若OA⊥OB，则( B )
A．m＝6 B．n＝6
C．mn＝6 D．n＝6m
【解析】 由F为抛物线C：y2＝2px的焦点，得＝，即p＝3，所以抛物线C的方程为y2＝6x．联立得y2－6my－6n＝0，则Δ＝36m2＋24n＞0．设A，B，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－6n．由OA⊥OB，得·＝＝－1，即6n＝36，得n＝6．
二、 多项选择题
5．若直线y＝k(x＋1)与抛物线x2＝2y只有一个交点，则实数k的可能取值为( BD )
A．2 B．－2
C．－4 D．0
【解析】 联立消去y可得x2－2kx－2k＝0．因为直线y＝k(x＋1)与抛物线x2＝2y只有一个交点，所以Δ＝4k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－2．
6．设抛物线y＝ax2(a＞0)的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，则( ABC )
A．点P的坐标为 B．直线AB的方程为y＝
C．PA⊥PB D．|AB|＝
【解析】 由y＝ax2，得x2＝y，则抛物线的焦点为F，准线方程为x＝－，所以P，故A正确；设抛物线的切线方程为y＝kx－(k≠0)，由得ax2－kx＋＝0，令Δ＝k2－4×a×＝0，解得k＝±1，所以A，B，因此直线AB的方程为y＝，故B正确；因为＝，＝，所以·＝－＋＝0，从而⊥，即PA⊥PB，故C正确；|AB|＝＝，故D错误．
三、 填空题
7．已知拋物线C：x2＝2py(p＞0)的一条切线的方程为x－y－1＝0，则抛物线C的准线方程为y＋1＝0．
【解析】 由消去y得x2－2px＋2p＝0．由题意得Δ＝(－2p)2－4×2p＝0，解得p＝2，则抛物线C的方程为x2＝4y，所以抛物线C的准线方程为y＝－1，即y＋1＝0．
8．已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB＝－4．
【解析】 由题意知抛物线的焦点坐标为，从而设直线AB的方程为x＝ky＋．联立消去x，得y2－2pky－p2＝0，Δ＝4p2k2＋4p2＞0，则y1y2＝－p2，x1x2＝·＝，所以kOAkOB＝·＝＝＝－4．
四、 解答题
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)．
(1) 求p的值；
【解答】 由已知可得＝1，所以p＝2．
(2) 若过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同的点，若AB的中点为M(3，－2)，求△OAB的面积．
【解答】 由(1)知抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝4x1，y＝4x2，显然x1≠x2，从而y－y＝4x1－4x2，即(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为AB的中点为M(3，－2)，所以y1＋y2＝－4，从而y1－y2＝－(x1－x2)，即＝－1，于是直线l的斜率为－1，因此直线l的方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0．联立消去x，得y2＋4y－4＝0，Δ＝42－4×(－4)＝32＞0，所以y1＋y2＝－4，从而x1＋x2＝2－(y1＋y2)＝6，根据抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝8．而点O到直线l的距离d＝＝，所以△OAB的面积S＝×|AB|×d＝×8×＝2．
10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，y0)与抛物线的焦点F的距离为3，点A到x 轴的距离为．
(1) 求抛物线的方程；
【解答】 抛物线的准线方程为x＝－．由题意可得解得p＝4，x0＝1，y0＝±2，所以抛物线的方程为y2＝8x．
(2) 若点A在第一象限，经过抛物线的焦点F和点A的直线交抛物线于点B，经过点A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴．
【解答】 由(1)可知A(1，2)，则直线OA的方程为y＝2x ①，抛物线的准线方程是x＝－2 ②．联立①②可得点D的纵坐标为－4．因为焦点F的坐标为(2，0)，故直线AF的方程为y＝－2(x－2)．联立消去x得y2＋2y－16＝0，解得y＝2或y＝－4．又因为点A的纵坐标为2，所以点B的纵坐标为－4．因为点B和点D的纵坐标相等，所以BD平行于x轴，即直线BD平行于抛物线的对称轴．
(第10题答)
11．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若＋2＝0，则△OMN的面积为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 易知F(0，1)，且直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1．联立消去y并整理得x2－4kx－4＝0．设M(xM，yM)，N(xN，yN)．由韦达定理得xM＋xN＝4k，xMxN＝－4．由＋2＝0，得(xM，yM－1)＋2(xN，yN－1)＝0，所以xM＋2xN＝0，即xM＝－2xN．因为xMxN＝－4，所以|xN|＝，从而S△OMN＝|OF|·|xM－xN|＝×3|xN|＝．
12． 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，请判断：
(1) x1x2是否为定值？
【解答】 抛物线y2＝2px的焦点为F．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)．由消去y并整理，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0．由根与系数的关系，得x1x2＝(定值)．当直线AB垂直于x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝．综上，x1x2为定值．
(2) ＋是否为定值？
【解答】 由抛物线的定义知|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋．故＋＝＋＝＝＝＝＝(定值)．所以＋为定值．第3课时 抛物线的简单几何性质(2)
学习 目标 1．理解直线和抛物线的位置关系，会根据图形和方程组的解的组数判断直线和抛物线的位置关系． 2．掌握直线和抛物线相交弦的长和中点弦问题的解决方法．
新知初探基础落实
一、 概念表述：
1．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①若k≠0，当Δ 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ 时，直线与抛物线相离，无交点．
②若k＝0，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线 ．
因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的 条件．
2．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为x＝m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线x＝－6与抛物线y2＝6x一定相交．( )
(2) 直线x＝－6与抛物线x2＝－8y一定相交．( )
(3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定相切．( )
(4) 抛物线y2＝8x与直线x－y＝0有两个交点．( )
典例精讲能力初成
探究1 直线与抛物线的位置关系
例1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
探究2 抛物线的中点弦问题
例2 已知抛物线C：y2＝4x，过点P(1，1)的直线交抛物线C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为 ．
抛物线中点弦问题中直线方程的两种求法
(1) 点差法：设两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．若x1≠x2，将两个交点的坐标分别代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式写出直线方程．
(2) 传统法：设出直线方程，并将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，求出斜率，进而可写出直线方程．
变式2 已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点的坐标为(1，4)，则直线l的方程为( )
A．4x－y＝0 B．2x－y＝0
C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0
探究3 弦长问题
例3 若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，求抛物线的方程．
直线与抛物线相交弦长的求解思路：
(1) 设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0，且抛物线的对称轴是y轴时，弦长|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率不存在，且抛物线的对称轴是x轴时，弦长|AB|＝|y1－y2|．
(2) 焦点弦是特殊的弦，除了可以利用以上方法求解，还可以利用抛物线的定义将问题转化为焦半径问题来处理．
随堂内化及时评价
1．(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线截得的弦长为4，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
2．(多选)已知直线l：x＝my＋(2m＋1)，抛物线C：x2＝4y，则下列结论正确的是( )
A．直线l过定点(－2，1)
B．当m＝－1时，直线l与抛物线C相切
C．当－1＜m＜时，直线l与抛物线C有两个公共点
D．当直线l与抛物线C无公共点时，m＜－1或m＞
3．如图所示是一座抛物线形拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的对称轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水位下降，水面的宽为6 m时，拱顶到水面的距离为 ．
(第3题)
4．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且＝2，则△AOB的面积是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1．若过点(2，4)的直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
2．设经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为9，则|AB|等于( )
A．18 B．24
C．30 D．36
3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝9，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝3y B．x2＝12y
C．x2＝y D．x2＝y
4．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px的焦点，动直线x－my－n＝0与抛物线C交于A，B两点．若OA⊥OB，则( )
A．m＝6 B．n＝6
C．mn＝6 D．n＝6m
二、 多项选择题
5．若直线y＝k(x＋1)与抛物线x2＝2y只有一个交点，则实数k的可能取值为( )
A．2 B．－2
C．－4 D．0
6．设抛物线y＝ax2(a＞0)的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，则( )
A．点P的坐标为 B．直线AB的方程为y＝
C．PA⊥PB D．|AB|＝
三、 填空题
7．已知拋物线C：x2＝2py(p＞0)的一条切线的方程为x－y－1＝0，则抛物线C的准线方程为 ．
8．已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB＝ ．
四、 解答题
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)．
(1) 求p的值；
(2) 若过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同的点，若AB的中点为M(3，－2)，求△OAB的面积．
10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，y0)与抛物线的焦点F的距离为3，点A到x 轴的距离为．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 若点A在第一象限，经过抛物线的焦点F和点A的直线交抛物线于点B，经过点A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴．
11．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若＋2＝0，则△OMN的面积为( )
A． B．
C． D．
12． 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，请判断：
(1) x1x2是否为定值？
(2) ＋是否为定值？(共41张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
第3课时 抛物线的简单几何性质(2)
学习 目标 1．理解直线和抛物线的位置关系，会根据图形和方程组的解的组数判断直线和抛物线的位置关系．
2．掌握直线和抛物线相交弦的长和中点弦问题的解决方法．
新知初探·基础落实
一、概念表述：
1．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①若k≠0，当Δ_______时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ_______时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ_______时，直线与抛物线相离，无交点．
②若k＝0，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线________________．
因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的______________条件．
＞0
＝0
＜0
只有一个交点
必要不充分
2．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为x＝m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
二、概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 直线x＝－6与抛物线y2＝6x一定相交． ( )
(2) 直线x＝－6与抛物线x2＝－8y一定相交． ( )
(3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定相切． ( )
(4) 抛物线y2＝8x与直线x－y＝0有两个交点． ( )
×
√
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
直线与抛物线的位置关系
设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
1
【解答】
探究
2
抛物线的中点弦问题
已知抛物线C：y2＝4x，过点P(1，1)的直线交抛物线C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为____________．
2
【解析】
y＝2x－1
变式2 已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点的坐标为(1，4)，则直线l的方程为 ( )
A．4x－y＝0 B．2x－y＝0
C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0
【解析】
A
探究
3
弦长问题
3
【解答】
随堂内化·及时评价
【解析】
CD
2．(多选)已知直线l：x＝my＋(2m＋1)，抛物线C：x2＝4y，则下列结论正确的是 ( )
A．直线l过定点(－2，1)
B．当m＝－1时，直线l与抛物线C相切
【解析】
对于A，因为m＋(2m＋1)＝3m＋1≠－2，所以(－2，1)不是直线l所过定点，故A错误；
对于B，当m＝－1时，直线l的方程为x＝－y－1，将其代入抛物线方程得(－y－1)2＝4y，解得y＝1，从而x＝－2，又直线l与抛物线的对称轴不平行，所以直线l与抛物线相切，切点坐标为(－2，1)，故B正确；
对于C，当m＝0时，直线l的方程为x＝1，此时直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，故C错误；
【答案】BD
3．如图所示是一座抛物线形拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的对称轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水位下降，水面的宽为6 m时，拱顶到水面的距离为__________．
【解析】
4.5 m
【解析】
抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，由点A在第一象限，＝2，知直线AB的斜率为负值．
配套新练案
一、单项选择题
1．若过点(2，4)的直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【解析】
因为点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
B
2．设经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为9，则|AB|等于 ( )
A．18 B．24 C．30 D．36
【解析】
因为经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，所以直线AB的斜率不等于0，从而可设直线AB的方程为x＝ty＋3．
B
3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝9，则抛物线C的方程为 ( )
【解析】
C
【解析】
B
二、多项选择题
5．若直线y＝k(x＋1)与抛物线x2＝2y只有一个交点，则实数k的可能取值为( )
A．2 B．－2
C．－4 D．0
【解析】
BD
【解析】
【答案】ABC
三、填空题
7．已知拋物线C：x2＝2py(p＞0)的一条切线的方程为x－y－1＝0，则抛物线C的准线方程为___________．
【解析】
y＋1＝0
8．已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB＝_______．
【解析】
－4
四、解答题
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)．
(1) 求p的值；
【解答】
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)．
(2) 若过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同的点，若AB的中点为M(3，－2)，求△OAB的面积．
【解答】
(1) 求抛物线的方程；
【解答】
(2) 若点A在第一象限，经过抛物线的焦点F和点A的直线交抛物线于点B，经过点A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴．
【解答】
【解析】
【答案】 A
12． 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，请判断：
(1) x1x2是否为定值？
【解答】
12． 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，请判断：
【解答】
