微专题4 椭圆、双曲线的离心率计算
典例剖析素养初现
拓展1 直接由离心率的定义求离心率的值
例1 (1) (2025·苏州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1，点D在线段B1F上，且|B1D|＝2|DF|．若OD∥AB2，则椭圆C的离心率为( B )
(例1(1))
A． B．
C． D．
【解析】 由题意得B2(0，b)，A(a，0)，F(c，0)，所以＝(a，－b)．因为|B1D|＝2|DF|，所以D为B1F的三等分点，故D，＝．由＝(a，－b)及OD∥AB2，得＝，化简得e＝＝．
(2) 设F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H．若△FOH的内切圆的半径r＝b，则双曲线C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可得|FH|＝b，|OH|＝a，|OF|＝c，所以S△FOH＝ab＝(a＋b＋c)·r＝(a＋b＋c)·b，从而3a－c＝b，两边平方可得9a2－6ac＋c2＝b2＝c2－a2，整理得5a＝3c，故e＝＝．
利用题中条件直接求得a，c的具体值或满足的相等关系，再根据定义求得离心率的值，这是求解离心率的首选方法．
拓展2 由正、余弦定理求离心率的值
例2 (1) 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，直线BF2与椭圆C的另一个交点为A，且满足⊥，则椭圆C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，|BF1|＝|BF2|＝a，令|AF2|＝m，则|AF1|＝2a－m．因为⊥，所以F1A⊥F1B，从而|AB|2＝|AF1|2＋|BF1|2，即(m＋a)2＝(2a－m)2＋a2，得m＝，于是|AF1|＝，|AB|＝a＋＝．在Rt△AF1B中，cos A＝＝＝．在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A，所以4c2＝＋－2×××＝a2，从而＝，即e＝．
(例2(1)答)
(2) 已知F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，A是双曲线E的右顶点，P是双曲线E上一点，且PF⊥PA，∠PFA＝60°，则双曲线E的离心率为2．
【解析】 因为PF⊥PA，∠PFA＝60°，所以点P在双曲线E的左支上．不妨设点P在第二象限，如图，记双曲线E的右焦点为F2，连接PF2，则|PF|＝，|PF2|＝．在△PFF2中，由余弦定理知|PF2|2＝|PF|2＋|FF2|2－2|PF||FF2|·cos ∠PFF2，即＝＋(2c)2－2··2c·，整理得c2－ac－2a2＝0，则e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
(例2(2)答)
在解答有关离心率的问题时，常常要结合题中涉及到的三角形，利用正余弦定理、勾股定理以及射影定理建立关于a，b，c的相等关系或者不等关系，进而求出离心率的值或取值范围．
拓展3 利用a，b，c的不等关系求离心率的值或范围
例3 (1) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，上顶点为A，在以点F为圆心、c为半径的圆上存在点M，使得直线AM的斜率为，则椭圆离心率的取值范围是( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意知AM的方程为y－b＝x，即3x－4y＋4b＝0．因为直线AM与圆F：(x＋c)2＋y2＝c2有公共点，所以圆心F到直线AM的距离d＝≤c，化简得4b－3c≤5c，即b≤2c，从而b2≤4c2，即a2－c2≤4c2，也即a2≤5c2，可得e≥．又0＜e＜1，所以≤e＜1．
(2) 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一点．若|PF1|＋|PF2|≥4a－2b，则双曲线C的离心率的取值范围为( B )
A． B．
C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)
【解析】 不妨设点P在第一象限，则|PF2|≥c－a．又|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＋|PF2|≥4a－2b，所以2|PF2|≥2a－2b，即|PF2|≥a－b，即c－a≥a－b，从而b≥2a－c，两边平方得b2≥4a2－4ac＋c2，即c2－a2≥4a2－4ac＋c2，也即5a2－4ac≤0，于是≥，即双曲线C的离心率的取值范围为．
求离心率的取值范围时，通常要把题中的不等关系或者由题意推出的不等关系进一步化简成关于a，b，c的不等式．
拓展4 利用平面几何知识求离心率的值或范围
例4 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆C上异于顶点的一点，∠F1PF2的平分线PQ交x轴于点Q．若|PF1|＝3|QF1|，则椭圆C的离心率为．
【解析】 因为∠F1PF2的平分线PQ交x轴于点Q，所以由角平分线的性质定理知＝．又|PF1|＝3|QF1|，所以|PF2|＝3|QF2|，从而|PF1|＋|PF2|＝3|QF1|＋3|QF2|，即2a＝3×2c，于是e＝＝．
(例4答)
随堂内化及时评价
1．在矩形ABCD中，AB＝2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意得2c＝2，即ac＝a2－c2，所以e2＋e－1＝0，又e∈(0，1)，解得e＝．
2．已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，则椭圆E的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，而|PF1|＝2|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a．又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，所以＋＝(2c)2，整理得＝，故椭圆E的离心率为．
3．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB|＝10，则双曲线C的离心率为．
【解析】 由题意知A，B，F2三点的横坐标相等，如图，设点A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，所以A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5．又|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，将其代入＝5，得b2＝20，从而c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，故e＝＝＝．
(第3题答)
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以点F2为圆心、a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点．若3|AB|＞|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是( B )
A． B．
C．(1，) D．(1，)
【解析】 设以F2(c，0)为圆心、a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，则点F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，所以|AB|＝2．因为3|AB|＞|F1F2|，所以3×2＞2c，可得9a2－9b2＞c2，即18a2－9c2＞c2，也即5c2＜9a2，从而＜，于是e＜．又e＞1，所以双曲线的离心率的取值范围是．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
1．若双曲线－＝1的离心率为，则实数m的值是( D )
A．± B．±
C．± D．0
【解析】 由双曲线－＝1的离心率为，可得解得m＝0．
2．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，若|PF1|－|PF2|＝2b，则椭圆C的离心率的取值范围是( D )
A． B．
C． D．
【解析】 根据椭圆的几何性质及题意得－2c≤|PF1|－|PF2|＝2b≤2c，即b≤c，b2≤c2，所以a2－c2≤c2，可得a2≤2c2，即e2＝≥．又e∈(0，1)，所以e∈．
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．若|PF1|＝3，|OP|＝，∠F1PF2＝90°，则椭圆C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，在△PF1F2中，O是F1F2的中点，∠F1PF2＝90°，所以|OP|＝c＝．由4c2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10，|PF1|＝3，解得|PF2|＝1，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋1＝4，从而a＝2，故e＝＝＝．
(第3题答)
4．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若直线AF2与直线BF2互相垂直，则椭圆C的离心率为( C )
A． B．
C．－1 D．
【解析】 在椭圆的方程中令x＝－c，可得＋＝1，则y2＝b2＝，所以y＝±，从而|AF1|＝|BF1|＝．如图，因为直线AF2与直线BF2互相垂直，所以∠AF2F1＝∠BF2F1＝45°．在Rt△AF1F2中，|AF1|＝|F1F2|，即＝2c，所以b2＝a2－c2＝2ac，从而e2＋2e－1＝0，解得e＝－1＋或－1－(舍去)，所以椭圆C的离心率为－1．
(第4题答)
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在椭圆C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 方法一：由题意知A(－a，0)．设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)．由kAP·kAQ＝，得·＝＝．由＋＝1，得y＝，所以＝，即＝，从而椭圆C的离心率e＝＝＝．
方法二：设椭圆的右顶点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kAP·kAQ＝kPA·(－kPB)＝．由椭圆的第三定义得kPA·kPB＝－，故＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝．
6．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(b＞0)，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋4相交，则椭圆C的离心率的取值范围是．
【解析】 由椭圆C的长半轴a＝3知短半轴b＜3，且椭圆的离心率e＝．因为圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋4相交，所以原点到直线的距离d＝2＜b，则有b∈(2，3)，代入离心率公式得e∈．
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，|PF2|＝|F1F2|，且∠F1PF2＝60°，则椭圆C的离心率为．
【解析】 因为|PF2|＝|F1F2|，且∠F1PF2＝60°，所以△F1PF2为等边三角形，点P在线段F1F2的中垂线，即y轴上．令椭圆C的半焦距为c，可得P(0，c)．因为A是椭圆C的左顶点，所以A(－a，0)，此时直线AP的斜率为，从而＝，故椭圆C的离心率e＝＝．
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是．
【解析】 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝5|PF2|，所以|PF2|＝，|PF1|＝．因为|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即3a≥2c，所以≤，即e≤．又e＞1，所以1＜e≤，即双曲线的离心率的取值范围是．
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点，若△ABF1为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围是(0，－1)．
【解析】 由题意易得|AB|＝，则|AF2|＝．因为△ABF1为钝角三角形，所以∠AF1F2＞45°，可得|F1F2|＜，即2c＜，即b2＞2ac．又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2＞2ac，即e2＋2e－1＜0，又0＜e＜1，解得0＜e＜－1，故椭圆C的离心率的取值范围是(0，－1)．
10．(2025·芜湖期末)如图，F1，F2是椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－y2＝1的公共焦点，A，B分别是椭圆C1和双曲线C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则椭圆C1的离心率为．
(第10题)
【解析】 由双曲线的方程可得c＝，所以|F1F2|＝2．因为|AF2|－|AF1|＝2，|AF2|＋|AF1|＝2a，所以|AF2|＝a＋，|AF1|＝a－．在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，则|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(a－)2＋(a＋)2＝(2)2，解得a＝2，所以e＝＝．微专题4 椭圆、双曲线的离心率计算
典例剖析素养初现
拓展1 直接由离心率的定义求离心率的值
例1 (1) (2025·苏州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1，点D在线段B1F上，且|B1D|＝2|DF|．若OD∥AB2，则椭圆C的离心率为( )
(例1(1))
A． B．
C． D．
(2) 设F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H．若△FOH的内切圆的半径r＝b，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．
利用题中条件直接求得a，c的具体值或满足的相等关系，再根据定义求得离心率的值，这是求解离心率的首选方法．
拓展2 由正、余弦定理求离心率的值
例2 (1) 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，直线BF2与椭圆C的另一个交点为A，且满足⊥，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2) 已知F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，A是双曲线E的右顶点，P是双曲线E上一点，且PF⊥PA，∠PFA＝60°，则双曲线E的离心率为 ．
在解答有关离心率的问题时，常常要结合题中涉及到的三角形，利用正余弦定理、勾股定理以及射影定理建立关于a，b，c的相等关系或者不等关系，进而求出离心率的值或取值范围．
拓展3 利用a，b，c的不等关系求离心率的值或范围
例3 (1) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，上顶点为A，在以点F为圆心、c为半径的圆上存在点M，使得直线AM的斜率为，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2) 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一点．若|PF1|＋|PF2|≥4a－2b，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A． B．
C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)
求离心率的取值范围时，通常要把题中的不等关系或者由题意推出的不等关系进一步化简成关于a，b，c的不等式．
拓展4 利用平面几何知识求离心率的值或范围
例4 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆C上异于顶点的一点，∠F1PF2的平分线PQ交x轴于点Q．若|PF1|＝3|QF1|，则椭圆C的离心率为 ．
随堂内化及时评价
1．在矩形ABCD中，AB＝2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，则椭圆E的离心率为( )
A． B．
C． D．
3．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB|＝10，则双曲线C的离心率为 ．
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以点F2为圆心、a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点．若3|AB|＞|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(1，) D．(1，)
配套新练案
1．若双曲线－＝1的离心率为，则实数m的值是( )
A．± B．±
C．± D．0
2．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，若|PF1|－|PF2|＝2b，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．若|PF1|＝3，|OP|＝，∠F1PF2＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若直线AF2与直线BF2互相垂直，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C．－1 D．
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在椭圆C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
6．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(b＞0)，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋4相交，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，|PF2|＝|F1F2|，且∠F1PF2＝60°，则椭圆C的离心率为 ．
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点，若△ABF1为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围是 ．
10．(2025·芜湖期末)如图，F1，F2是椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－y2＝1的公共焦点，A，B分别是椭圆C1和双曲线C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则椭圆C1的离心率为 ．
(第10题)(共35张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
微专题4 椭圆、双曲线的离心率计算
典例剖析·素养初现
拓展
1
直接由离心率的定义求离心率的值
1
【解析】
【答案】B
1
【解析】
A
利用题中条件直接求得a，c的具体值或满足的相等关系，再根据定义求得离心率的值，这是求解离心率的首选方法．
拓展
2
由正、余弦定理求离心率的值
2
【解析】
【答案】A
【解析】
2
2
在解答有关离心率的问题时，常常要结合题中涉及到的三角形，利用正余弦定理、勾股定理以及射影定理建立关于a，b，c的相等关系或者不等关系，进而求出离心率的值或取值范围．
拓展
3
利用a，b，c的不等关系求离心率的值或范围
3
【解析】
【答案】A
【解析】
3
B
求离心率的取值范围时，通常要把题中的不等关系或者由题意推出的不等关系进一步化简成关于a，b，c的不等式．
拓展
4
利用平面几何知识求离心率的值或范围
4
【解析】
随堂内化·及时评价
1．在矩形ABCD中，AB＝2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为 ( )
【解析】
A
【解析】
A
【解析】
【解析】
【答案】B
配套新练案
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
【答案】 A
【解析】
【答案】 C
【解析】
【答案】 A
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】
