微专题5 抛物线的弦的问题
典例剖析素养初现
拓展1 焦点弦
如图，AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的准线为l，则
(1) x1x2＝，y1y2＝－p2．
(2) 弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，其中α为弦AB所在直线的倾斜角；当α＝90°时，线段AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．
(3)＋＝，|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝．
(4) 以AB为直径的圆必与准线l相切．
(5) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6) S△AOB＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．
(7) ∠A′FB′＝90°．
(8) 若＝λ，则|cos α|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．
例1－1 过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．
【解答】 方法一：由题意知F(1，0)，直线l的方程为y＝(x－1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝．由弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝．
方法二：由抛物线的弦长公式得|AB|＝＝＝＝，其中α为直线AB的倾斜角．
例1－2 已知抛物线C：x2＝4y，O为坐标原点，直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积．
【解答】 联立，得x2－4x－4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4．
方法一：所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝8．又原点O到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以△AOB的面积S＝×|AB|×d＝×8×＝2．
方法二：由于直线l：y＝x＋1经过抛物线的焦点(0，1)，因此利用抛物线的定义得|AB|＝y1＋y2＋2＝＋2＝＋2＝6＋2＝8．下同方法一．
方法三：(割补法)S△AOB＝S△AOF＋S△FOB＝|OF|·|x1－x2|＝×4＝2，其中F为焦点．
例1－3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则点A到y轴的距离为2．
【解析】 过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，设直线AB交l于点C，则△BCE∽△ACD，所以＝＝＝．记|BC|＝x，则|AC|＝2x．因为|AF|＝2|BF|，所以|BF|＝|AB|＝x，|AF|＝2|BF|＝x，从而sin ∠ACD＝＝＝＝，于是|GF|＝|CF|sin ∠ACD＝|CF|．又|GF|＝2，所以|CF|＝6．而|CF|＝|BC|＋|BF|＝x，所以x＝，从而|AF|＝3，故点A到y轴的距离为3－＝2．
(例1－3答)
拓展2 阿基米德三角形
如图，AB为抛物线x2＝2py(p＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作抛物线的切线，且两切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，不妨假设弦AB为阿基米德三角形的底边．
(1) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过抛物线内的定点C(x0，y0)，则顶点P的轨迹为一条直线．
(2) 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
(3) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2．
(4) 若弦AB过抛物线的焦点F，则PA⊥PB，PF⊥AB．
例2－1 设M是抛物线y2＝4x准线上一点，过点M作抛物线的切线，切点分别为A，B，则直线AB所过的定点的坐标为(1，0)．
【解析】 设M(－1，y0)，过点M所作的抛物线的切线的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为k1，直线BM的斜率为k2，则过点M的切线的方程为y－y0＝k(x＋1)．由得ky2－4y＋4y0＋4k＝0 ①，则Δ＝16－4k(4y0＋4k)＝0，得k2＋ky0＝1，所以k1k2＝－1，k1＋k2＝－y0．由①得k2y2－4ky＋4ky0＋4k2＝0，即k2y2－4ky＋4＝(ky－2)2＝0，所以A，B，从而kAB＝＝＝，于是直线AB的方程为y－＝，整理得y＝x＋－＝x＋＝x＋＝(x－1)，即y＝(x－1)，故直线AB过定点(1，0)．
例2－2 已知抛物线E：x2＝y，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，设l1与l2的交点为P，证明：点P在定直线上．
【解答】 设抛物线在点A处的切线的斜率为m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．易知l1的方程为y－x＝m(x－x1)，与y＝x2联立得x2－x＝m(x－x1)，即x2－mx＋mx1－x＝0，则Δ＝m2－4mx1＋4x＝(m－2x1)2＝0，所以m＝2x1，从而l1的方程为y＝2x1(x－x1)＋x，整理得y＝2x1x－x．同理可得，l2的方程为y＝2x2x－x．设点P的坐标为(xP，yP)．联立解得因为点T(1，2)在抛物线内部，所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得x2－kx＋k－2＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝k－2，所以xP＝，yP＝k－2，可知yP＝2xP－2．故点P在定直线y＝2x－2上．
随堂内化及时评价
1．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|＝|AM|，则直线AB的斜率为2．
【解析】 如图，由题意知F，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，所以点A的横坐标为＝．又点A在抛物线C上，所以A，从而kAB＝kAF＝＝2．
(第1题答)
2．(多选)如图，抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是( BCD )
(第2题)
A．若|AB|＝10，则直线AB的方程为x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0
B．PF⊥QF
C．以线段AF为直径的圆与y轴相切
D．|PQ|2＝4|AF|·|BF|
【解析】 对于A，由题意知F(2，0)，显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－2，y1)，Q(－2，y2)．联立消去x得y2－8my－16＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16．若|AB|＝10，则|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝my1＋2＋my2＋2＋4＝m(y1＋y2)＋8＝8m2＋8＝10，解得m＝或m＝－，所以直线AB的方程为2x－y－4＝0或2x＋y－4＝0，故A错误．对于B，因为kPF＝＝－，kQF＝＝－，所以kPF·kQF＝－·＝＝－1，从而PF⊥QF，故B正确．对于C，由抛物线的定义知|AF|＝x1＋2，线段AF的中点的横坐标x0＝＝|AF|，即线段AF的中点到y轴的距离是|AF|，所以以线段AF为直径的圆与y轴相切，故C正确．对于D，因为|AF|·|BF|＝(x1＋2)(x2＋2)＝(my1＋4)(my2＋4)＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝－16m2＋4m·8m＋16＝16m2＋16，|PQ|2＝|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝64m2＋64，所以|PQ|2＝4|AF|·|BF|，故D正确．
3．已知A，B是抛物线x2＝y上两动点，过点A，B分别作抛物线的切线，若两切线交于点P，当∠APB＝90°时，点P的纵坐标为－，△APB面积的最小值为．
【解析】 设切点A(x1，x)，B(x2，x)，不妨设点A在第一象限，则x1＞0．设直线PA的方程为y－x＝k(x－x1)，与抛物线方程x2＝y联立，消去y得x2－kx＋kx1－x＝0．因为直线PA与抛物线相切，所以Δ＝k2－4kx1＋4x＝0，解得k＝2x1，从而直线PA的方程y＝2x1x－x．同理，直线PB的方程为y＝2x2x－x．联立得点P的坐标为．当∠APB＝90°时，kAP·kBP＝4x1x2＝－1，可得x1x2＝－，所以kAB＝＝x1＋x2，从而直线AB的方程为y－x＝(x1＋x2)·(x－x1)，即(x1＋x2)x－y－x1x2＝0，故点P到直线AB的距离d＝，|AB|＝|x1－x2|，因此S△PAB＝|AB|·d＝＝≥，当且仅当x1＝时等号成立．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 选择题
1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF|＝4，则|AB|等于( A )
A． B．6
C． D．8
【解析】 由题意知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，y1＞0．由|AF|＝4，得x1＋1＝4，所以x1＝3，y1＝2，从而直线AB的方程为y＝(x－1)＝(x－1)．联立消去y可得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，故|AB|＝x1＋x2＋2＝．
2．已知过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点(点A在y轴左侧)，若4|AF|＝|BF|，则直线AB的斜率为( B )
A． B．
C．4 D．5
【解析】 设直线AB与抛物线的准线交于点P，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点M，N．由4|AF|＝|BF|及抛物线的定义可知4|AM|＝|BN|．由△PAM∽△PBN，可得＝＝，则|PB|＝4|PA|．又|PB|＝|PA|＋|AB|＝|PA|＋5|AF|，所以|PA|＝|AF|＝|AM|，从而|PM|＝|AM|，故直线AB的斜率为．
(第2题答)
3．已知A(0，2)，抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，B(4，y0)为Γ上一点，若AB⊥AF，则|BF|＝( C )
A．2 B．4
C．5 D．6
【解析】 由题意知F，又A(0，2)，B(4，y0)，所以＝，＝(4，y0－2)．因为AB⊥AF，所以·＝(4，y0－2)·＝0，即p－y0＋2＝0．又y＝8p，所以y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，从而p＝2，故|BF|＝4＋＝5．
4．(多选)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是( BCD )
A．x1x2＝2 B．y1y2＝－4
C．若θ＝，则|AB|＝ D．＋＝1
【解析】 由题意知F(0，1)，直线AB的斜率不可能为0，设其方程为x＝ty＋1．联立消去x，得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，从而x1x2＝＝1，故A错误，B正确．对于C，若θ＝，则t＝，所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝×＝，故C正确．对于D，由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，又x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝4t2＋2，所以＋＝＋＝＝＝1，故D正确．
5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝k(x－1)与抛物线C交于M，N两点(M在第一象限)，l为抛物线C的准线，若点M到l的距离为4，Q(5，0)，则( BCD )
A．k＝±
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．点F到直线MQ的距离为2
【解析】 由抛物线的方程可得焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由点M到l的距离为4，可得x1＋1＝4，所以x1＝3，将其代入抛物线的方程可得y＝4×3＝12．又点M在第一象限，所以y1＝2，故M(3，2)．由点M在直线y＝k(x－1)上，得2＝k(3－1)，所以k＝，故A不正确．直线MN的方程为y＝(x－1)，联立消去y整理可得3x2－10x＋3＝0，由x1＝3，得x2＝，所以y2＝－，从而N，于是|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B正确．以MN为直径的圆的圆心坐标为，即，半径为＝，所以圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝r，从而以MN为直径的圆与准线l相切，故C正确．直线MQ的方程为y＝(x－5)，即x＋y－5＝0，所以点F到直线MQ的距离d′＝＝2，故D正确．
6．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则( AC )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【解析】 由题意可得焦点为F(1，0)，所以＝1，p＝2，故A正确．联立消去y得3x2－10x＋3＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋p＝，故B错误．设MN的中点为Q，分别过点M，N，Q向l作垂线，垂足为M1，N1，Q1，由梯形中位线的性质及抛物线的定义可得|QQ1|＝(|MM1|＋|NN1|)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，所以以MN为直径的圆与准线l相切，故C正确．设点M在第一象限，由图易知x1＜x2．由3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，所以M，N(3，－2)，从而|OM|＝，|ON|＝，|MN|＝，于是△OMN不是等腰三角形，故D错误．
(第6题答)
二、 填空题
7．已知过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F且斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两个不同点，若|AB|＝8，则△OAB(O是坐标原点)的面积为1．
【解析】 由题意知F直线AB的方程为y－＝(x－0)，即x－y＋＝0．联立消去y得x2－2px－p2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2p，所以y1＋y2＝(x1＋x2)＋p＝7p，从而|AB|＝y1＋y2＋p＝8p＝8，解得p＝1，于是直线AB的方程为x－y＋＝0．又O(0，0)到直线AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×8×＝1．
8．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝6与抛物线C：x2＝6y交于A，B两点，则直线l与抛物线C所围成的封闭图形的面积为48．
【解析】 把y＝6代入方程x2＝6y，解得x＝±6，不妨设A(6，6)，B(－6，6)．设在点A处的抛物线C的切线的方程为y－6＝k(x－6)．联立消去y得x2－6kx＋36(k－1)＝0，由Δ＝36k2－4×36(k－1)＝0，解得k＝2，所以在点A处的抛物线C的切线的方程为y＝2x－6．由对称性可知在点B处的抛物线C的切线的斜率为－2，切线方程为y＝－2x－6．联立解得所以两条切线的交点坐标为(0，－6)，从而直线l与抛物线C所围成的封闭图形的面积为×＝48．
三、 解答题
9．已知平面曲线C满足：曲线C上任意一点到点的距离比到直线y＝－的距离小1．
(1) 求曲线C的方程；
【解答】 方法一：由题意知曲线C是以点为焦点、直线y＝－为准线的抛物线，故曲线C的方程为x2＝2y．
方法二：设曲线C上的点为(x，y)，则＝－1，由题意易知y≥0，整理得x2＝2y．
(2) 若D为直线y＝－上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点．
【解答】 设D，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝x．设直线DA的斜率为m，则直线DA的方程为y－x＝m(x－x1)，与x2＝2y联立得x2－x＝m(x－x1)，整理得x2－2mx＋2mx1－x＝0，Δ＝4m2－4(2mx1－x)＝4(x－2mx1＋m2)＝4(x1－m)2＝0，所以m＝x1，故切线DA的方程为y＋＝x1(x－t)．因为A(x1，y1)在切线DA上，所以y1＋＝x1(x1－t)，整理得2tx1－2y1＋1＝0．同理可得2tx2－2y2＋1＝0．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足直线方程2tx－2y＋1＝0，所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，即y＝tx＋，故直线AB过定点．
10．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且抛物线C经过点M(1，)，直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．
(1) 求抛物线C的标准方程；
【解答】 因为抛物线C经过点M(1，)，所以2＝2p，解得p＝1，从而抛物线C的标准方程为y2＝2x．
(2) 若直线l过定点(4，0)，求△AOB面积的取值范围；
【解答】 易知直线l的斜率不为0．设l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x并整理得y2－2ty－8＝0，则Δ＝4t2＋32＞0．由韦达定理得y1＋y2＝2t，y1y2＝－8，则△AOB的面积S＝×4×|y1－y2|＝2＝2≥8，故△AOB面积的取值范围为[8，＋∞)．
(3) 若＝2，求直线l的方程．
【解答】 由(1)知抛物线C的焦点为F，且直线l过点F．由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x并整理得y2－2ty－1＝0，此时Δ＝4t2＋4＞0，且由韦达定理得y1＋y2＝2t，y1y2＝－1．由＝2，得y1＝4t，y2＝－2t，此时y1y2＝－8t2＝－1，解得t＝±．故直线l的方程为2x－y－＝0或2x＋y－＝0．微专题5 抛物线的弦的问题
典例剖析素养初现
拓展1 焦点弦
如图，AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的准线为l，则
(1) x1x2＝，y1y2＝－p2．
(2) 弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，其中α为弦AB所在直线的倾斜角；当α＝90°时，线段AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．
(3)＋＝，|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝．
(4) 以AB为直径的圆必与准线l相切．
(5) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6) S△AOB＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．
(7) ∠A′FB′＝90°．
(8) 若＝λ，则|cos α|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．
例1－1 过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．
例1－2 已知抛物线C：x2＝4y，O为坐标原点，直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积．
例1－3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则点A到y轴的距离为 ．
拓展2 阿基米德三角形
如图，AB为抛物线x2＝2py(p＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作抛物线的切线，且两切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，不妨假设弦AB为阿基米德三角形的底边．
(1) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过抛物线内的定点C(x0，y0)，则顶点P的轨迹为一条直线．
(2) 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
(3) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2．
(4) 若弦AB过抛物线的焦点F，则PA⊥PB，PF⊥AB．
例2－1 设M是抛物线y2＝4x准线上一点，过点M作抛物线的切线，切点分别为A，B，则直线AB所过的定点的坐标为 ．
例2－2 已知抛物线E：x2＝y，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，设l1与l2的交点为P，证明：点P在定直线上．
随堂内化及时评价
1．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|＝|AM|，则直线AB的斜率为 ．
2．(多选)如图，抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是( )
(第2题)
A．若|AB|＝10，则直线AB的方程为x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0
B．PF⊥QF
C．以线段AF为直径的圆与y轴相切
D．|PQ|2＝4|AF|·|BF|
3．已知A，B是抛物线x2＝y上两动点，过点A，B分别作抛物线的切线，若两切线交于点P，当∠APB＝90°时，点P的纵坐标为 ，△APB面积的最小值为 ．
配套新练案
一、 选择题
1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF|＝4，则|AB|等于( )
A． B．6
C． D．8
2．已知过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点(点A在y轴左侧)，若4|AF|＝|BF|，则直线AB的斜率为( )
A． B．
C．4 D．5
3．已知A(0，2)，抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，B(4，y0)为Γ上一点，若AB⊥AF，则|BF|＝( )
A．2 B．4
C．5 D．6
4．(多选)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是( )
A．x1x2＝2 B．y1y2＝－4
C．若θ＝，则|AB|＝ D．＋＝1
5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝k(x－1)与抛物线C交于M，N两点(M在第一象限)，l为抛物线C的准线，若点M到l的距离为4，Q(5，0)，则( )
A．k＝±
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．点F到直线MQ的距离为2
6．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
二、 填空题
7．已知过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F且斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两个不同点，若|AB|＝8，则△OAB(O是坐标原点)的面积为 ．
8．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝6与抛物线C：x2＝6y交于A，B两点，则直线l与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
三、 解答题
9．已知平面曲线C满足：曲线C上任意一点到点的距离比到直线y＝－的距离小1．
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若D为直线y＝－上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点．
10．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且抛物线C经过点M(1，)，直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若直线l过定点(4，0)，求△AOB面积的取值范围；
(3) 若＝2，求直线l的方程．(共45张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
微专题5 抛物线的弦的问题
典例剖析·素养初现
拓展
1
焦点弦
如图，AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的准线为l，则
过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．
1－1
【解答】
已知抛物线C：x2＝4y，O为坐标原点，直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积．
1－2
【解答】
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则点A到y轴的距离为_____．
1－3
【解析】
【答案】2
拓展
2
阿基米德三角形
如图，AB为抛物线x2＝2py(p＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作抛物线的切线，且两切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，不妨假设弦AB为阿基米德三角形的底边．
(1) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过抛物线内的定点C(x0，y0)，则顶点P的轨迹为一条直线．
(2) 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
(3) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2．
(4) 若弦AB过抛物线的焦点F，则PA⊥PB，PF⊥AB．
设M是抛物线y2＝4x准线上一点，过点M作抛物线的切线，切点分别为A，B，则直线AB所过的定点的坐标为____________．
【解析】
设M(－1，y0)，过点M所作的抛物线的切线的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为k1，直线BM的斜率为k2，则过点M的切线的方程为y－y0＝k(x＋1)．
2－1
【答案】(1，0)
已知抛物线E：x2＝y，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，设l1与l2的交点为P，证明：点P在定直线上．
【解答】
2－2
随堂内化·及时评价
1．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|＝|AM|，则直线AB的斜率为______．
【解析】
2．(多选)如图，抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是 ( )
A．若|AB|＝10，则直线AB的方程为x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0
B．PF⊥QF
C．以线段AF为直径的圆与y轴相切
D．|PQ|2＝4|AF|·|BF|
【解析】
对于D，因为|AF|·|BF|＝(x1＋2)(x2＋2)＝(my1＋4)(my2＋4)＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝－16m2＋4m·8m＋16＝16m2＋16，|PQ|2＝|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝64m2＋64，所以|PQ|2＝4|AF|·|BF|，故D正确．
【答案】 BCD
3．已知A，B是抛物线x2＝y上两动点，过点A，B分别作抛物线的切线，若两切线交于点P，当∠APB＝90°时，点P的纵坐标为__________，△APB面积的最小值为______．
【解析】
配套新练案
一、选择题
1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF|＝4，则|AB|等于 ( )
【解析】
【答案】A
2．已知过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点(点A在y轴左侧)，若4|AF|＝|BF|，则直线AB的斜率为 ( )
【解析】
设直线AB与抛物线的准线交于点P，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点M，N．由4|AF|＝|BF|及抛物线的定义可知4|AM|＝|BN|．
【答案】B
3．已知A(0，2)，抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，B(4，y0)为Γ上一点，若AB⊥AF，则|BF|＝ ( )
A．2 B．4
C．5 D．6
【解析】
C
4．(多选)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是 ( )
A．x1x2＝2 B．y1y2＝－4
【解析】
【答案】BCD
5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝k(x－1)与抛物线C交于M，N两点(M在第一象限)，l为抛物线C的准线，若点M到l的距离为4，Q(5，0)，则 ( )
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】AC
【解析】
1
【解析】
【答案】48
(1) 求曲线C的方程；
【解答】
【解答】
(1) 求抛物线C的标准方程；
【解答】
(2) 若直线l过定点(4，0)，求△AOB面积的取值范围；
【解答】
【解答】
