微专题6 定点、定值、定直线问题
典例剖析素养初现
拓展1 圆锥曲线中的定点问题
视角1 参数法
例1－1 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点(A，B不关于x轴对称)，设两直线的斜率为k1，k2，且k1＋k2＝8，试探究直线AB是否过定点．
【解答】 因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，从而a＝2，故椭圆的方程为＋＝1．设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，由已知Δ＞0，且x1＋x2＝－，x1x2＝．由题意知k1＋k2＝＋＝8，所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8，从而k－＝4，整理得m＝k－2，故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2，因此，直线AB过定点．
一般设直线的方程为y＝kx＋m，通过计算得到k，m之间的关系或求出m的值，从而确定定点的坐标．
视角2 特值法
例1－2 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
(1) 求椭圆C的方程．
【解答】 由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，可知b＝c．又等腰直角三角形的斜边长为2，即2c＝2，所以a＝c＝，故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2) 过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】 当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋2＝；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1．联立解得若存在定点Q满足题意，则点Q的坐标只可能为(0，1)．以下证明Q(0，1)即为所求．若直线l的斜率不存在，上述已经证明．若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，则Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝．因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以·＝x1x2＋(y1－1)·(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＝(1＋k2)·－·＋＝0，从而⊥，即以AB为直径的圆恒过点Q(0，1)．
“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．
拓展2 圆锥曲线中的定值问题
例2 已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线所成的锐角为60°，且P(2，3)为双曲线E上一点．
(1) 求双曲线E的标准方程；
【解答】 由题意知双曲线在第一、三象限的渐近线的倾斜角为30°或60°，即＝或．当＝时，双曲线E的标准方程为－＝1，将代入，无解．当＝时，双曲线E的标准方程为－＝1，由P(2，3)为双曲线E上一点，得－＝1，解得a2＝1，故双曲线E的标准方程为x2－＝1．
(2) 设M为双曲线E在第一象限的任一点，过点M的直线与双曲线E恰有一个公共点，且分别与双曲线E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，求证：△AOB的面积为定值．
【解答】 直线的斜率显然存在，设直线的方程为y＝kx＋t，与x2－＝1联立得(k2－3)x2＋2ktx＋t2＋3＝0．由题意知k≠±，且Δ＝4k2t2－4(k2－3)(t2＋3)＝0，化简得t2－k2＋3＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋t与y＝x联立，解得x1＝；将y＝kx＋t与y＝－x联立，解得x2＝．S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝·2|x1|·2|x2|·sin 120°＝|x1x2|＝．由t2－k2＋3＝0，知S△AOB＝，故△AOB的面积为定值．
求解定值问题的两种常用方法：
(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2) 引进变量法：其解题流程为
拓展3 圆锥曲线中的定直线问题
例3 已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过动点P(a，b)(a＜0)作抛物线C的两条切线，切点为A，B，且·＝0，求证：点P在定直线上．
【解答】 由题设知F(0，1)，设过点P(a，b)的切线的方程为y－b＝k(x－a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得x2－4kx＋4ka－4b＝0 ①，则Δ＝(－4k)2－4(4ka－4b)＝0，即k2－ak＋b＝0，所以k1＋k2＝a(k1，k2为两条切线的斜率)．由k2－ak＋b＝0，得ka－b＝k2，将其代入①得x2－4kx＋4k2＝0，即(x－2k)2＝0，所以x＝2k．又·＝－a(x2－x1)＋(1－b)(y2－y1)＝－a(x2－x1)＋(1－b)(x－x)＝0且x1≠x2，所以－a＋(1－b)(x2＋x1)＝0，即－a＋(1－b)(2k2＋2k1)＝0，从而－a＋(1－b)(k2＋k1)＝0，即－a＋(1－b)a＝0．又a＜0，所以b＝－1，即点P在定直线y＝－1上．
(1) 在探求圆锥曲线中的定直线问题时，常常可以根据条件，结合圆锥曲线的对称性，先由特殊情况推出直线的方程，然后在一般意义上去求解，这样就能比较方便地求出答案．
(2) ①过抛物线y2＝2px上一点M(x0，y0)的切线的方程为y0y＝p(x＋x0)．其他情形类推．
②过抛物线y2＝2px外一点M(x0，y0)作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为y0y＝p(x＋x0)．
随堂内化及时评价
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－，0)，且离心率e＝，若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N(M，N不是左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【解答】 由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1．联立得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，整理得4k2－m2＋1＞0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由已知得AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2，0)，所以(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0．又y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1＞0．当m＝－2k时，直线l的方程为y＝kx－2k，过定点(2，0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k，过定点．故直线l过定点，且定点的坐标为．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆C上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|．
(1) 求椭圆C的标准方程；
【解答】 由题意知MF2⊥F1F2，则|MF2|＝．因为|MF1|＝3|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a，所以＝2a，即2b2＝a2．又2c＝2，且a2＝b2＋c2，所以c＝1，b＝1，a＝，从而椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2) 设O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明＋为定值，并求出该定值．
【解答】 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝．因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，从而(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝代入，整理得3m2＝2(1＋k2)．而＋＝＝．设h为原点到直线l的距离，则|OA|·|OB|＝|AB|·h，所以＋＝．而h＝，所以＋＝＝．当直线l的斜率不存在时，设A(x1，y1)，则kOA＝±1，不妨设kOA＝1，则x1＝y1，将y1＝x1代入椭圆的方程得x＝，所以|OA|2＝|OB|2＝，从而＋＝．综上，＋为定值．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
1．已知动圆P过点F且与直线y＝－相切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程；
【解答】 设点P的坐标为(x，y)，则＝，等式两边平方并整理得x2＝y，所以曲线C的方程为x2＝y．
(2) 若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过△OAB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
【解答】 如图，由题意可知直线AB的斜率一定存在，否则与曲线C没有两个交点．设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y，得2x2－kx－m＝0，则Δ＝k2＋8m＞0，x1＋x2＝，x1x2＝－．由x2＝y，得y1＝2x，y2＝2x，所以y1y2＝2x·2x＝4(x1x2)2＝4×2＝m2．因为直线AB过△OAB的外心，所以OA⊥OB，从而·＝x1x2＋y1y2＝0，即－＋m2＝0，解得m＝或m＝0(舍去)．当m＝时，满足Δ＞0，所以直线AB的方程为y＝kx＋，从而直线AB过定点．
(第1题答)
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M(2，0)，设直线MA与直线MB的斜率分别为k1，k2．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 因为椭圆C的焦距2c＝2，所以c＝1．又椭圆C的离心率e＝＝，所以a＝，从而b2＝a2－c2＝1，于是椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2) 试问：随着直线l的变化，k1＋k2是否为定值？请说明理由．
【解答】 当直线l的斜率为0，即直线l为x轴时，k1＝0，k2＝0，所以k1＋k2＝0．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x并整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，则Δ＝4m2－4(m2＋2)×(－1)＝8m2＋8＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以k1＝＝，k2＝＝，从而k1＋k2＝＋＝＝0．综上，k1＋k2为定值0．
3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，动直线l经过点(3，0)交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于x轴时，△OAB的面积为6．
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 当l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝3，将其代入抛物线的方程可得y＝±．由S△OAB＝×3×2＝6，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．
(2) 若抛物线C在A，B两点处的切线交于点P，且点A在抛物线C的准线上的射影为A1，试探究：点P是否在定直线上，且以点P为圆心、PA1为半径的圆是否过定点？若是，求出该定直线方程以及定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】 设直线AB：x＝ay＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x可得y2－4ay－12＝0，则Δ＝16a2＋48＞0，y1＋y2＝4a，y1y2＝－12．设在点A处的切线l1的方程为x＝m(y－y1)＋x1，将其与抛物线的方程联立可得y2－4my＋4my1－4x1＝0，由Δ＝16m2－4(4my1－4x1)＝0，得m＝，故l1：x＝．同理可得l2：x＝．联立l1，l2的方程可得P(－3，2a)，故点P在定直线x＝－3上．易知A1(－1，y1)，|PA1|2＝[(－3)－(－1)]2＋(2a－y1)2＝4＋(2a－y1)2，故以点P为圆心、PA1为半径的圆的方程为(x＋3)2＋(y－2a)2＝4＋(2a－y1)2，将y－4ay1＝12代入整理得(x－1)(x＋7)＋y(y－4a)＝0，故此圆过定点(－7，0)，(1，0)．综上，点P在定直线x＝－3上，以点P为圆心、PA1为半径的圆过定点(－7，0)，(1，0)．
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第四象限，且满足直线OA与直线OB的斜率之积为－．当l垂直于x轴时，·＝－．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 当l⊥x轴时，由直线OA与直线OB的斜率之积为－，可得直线OA：y＝x，直线OB：y＝－x．设A(2t，t)，B(2t，－t)(t＞0)，则·＝4t2－3－t2＝3t2－3＝－，解得t＝，所以A，从而解得a2＝4，b2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2) 若P为椭圆C的左顶点，且满足＝λ＋μ(λ＜0，μ＜0)，证明：λ2＋μ2为定值．
【解答】 由题意知P(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ＋μ，知①2＋4×②2得(λx1＋μx2)2＋4(λy1＋μy2)2＝4，即λ2(x＋4y)＋μ2(x＋4y)＋2λμ(x1x2＋4y1y2)＝4．由A，B为椭圆C上的点，得x＋4y＝4，x＋4y＝4．又直线OA与直线OB的斜率之积为－，故＝－，即x1x2＋4y1y2＝0．因此λ2＋μ2＝1．微专题6 定点、定值、定直线问题
典例剖析素养初现
拓展1 圆锥曲线中的定点问题
视角1 参数法
例1－1 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点(A，B不关于x轴对称)，设两直线的斜率为k1，k2，且k1＋k2＝8，试探究直线AB是否过定点．
一般设直线的方程为y＝kx＋m，通过计算得到k，m之间的关系或求出m的值，从而确定定点的坐标．
视角2 特值法
例1－2 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
(1) 求椭圆C的方程．
(2) 过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．
拓展2 圆锥曲线中的定值问题
例2 已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线所成的锐角为60°，且P(2，3)为双曲线E上一点．
(1) 求双曲线E的标准方程；
(2) 设M为双曲线E在第一象限的任一点，过点M的直线与双曲线E恰有一个公共点，且分别与双曲线E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，求证：△AOB的面积为定值．
求解定值问题的两种常用方法：
(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2) 引进变量法：其解题流程为
拓展3 圆锥曲线中的定直线问题
例3 已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过动点P(a，b)(a＜0)作抛物线C的两条切线，切点为A，B，且·＝0，求证：点P在定直线上．
(1) 在探求圆锥曲线中的定直线问题时，常常可以根据条件，结合圆锥曲线的对称性，先由特殊情况推出直线的方程，然后在一般意义上去求解，这样就能比较方便地求出答案．
(2) ①过抛物线y2＝2px上一点M(x0，y0)的切线的方程为y0y＝p(x＋x0)．其他情形类推．
②过抛物线y2＝2px外一点M(x0，y0)作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为y0y＝p(x＋x0)．
随堂内化及时评价
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－，0)，且离心率e＝，若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N(M，N不是左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆C上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明＋为定值，并求出该定值．
配套新练案
1．已知动圆P过点F且与直线y＝－相切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过△OAB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M(2，0)，设直线MA与直线MB的斜率分别为k1，k2．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 试问：随着直线l的变化，k1＋k2是否为定值？请说明理由．
3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，动直线l经过点(3，0)交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于x轴时，△OAB的面积为6．
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 若抛物线C在A，B两点处的切线交于点P，且点A在抛物线C的准线上的射影为A1，试探究：点P是否在定直线上，且以点P为圆心、PA1为半径的圆是否过定点？若是，求出该定直线方程以及定点坐标；若不是，请说明理由．
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第四象限，且满足直线OA与直线OB的斜率之积为－．当l垂直于x轴时，·＝－．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若P为椭圆C的左顶点，且满足＝λ＋μ(λ＜0，μ＜0)，证明：λ2＋μ2为定值．(共39张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
微专题6 定点、定值、定直线问题
典例剖析·素养初现
拓展
1
圆锥曲线中的定点问题
视角1 参数法
1－1
【解答】
一般设直线的方程为y＝kx＋m，通过计算得到k，m之间的关系或求出m的值，从而确定定点的坐标．
视角2 特值法
1－2
【解答】
(1) 求椭圆C的方程．
1－2
【解答】
若直线l的斜率不存在，上述已经证明．
“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．
拓展
2
圆锥曲线中的定值问题
(1) 求双曲线E的标准方程；
2
【解析】
(2) 设M为双曲线E在第一象限的任一点，过点M的直线与双曲线E恰有一个公共点，且分别与双曲线E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，求证：△AOB的面积为定值．
2
【解答】
求解定值问题的两种常用方法：
(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2) 引进变量法：其解题流程为
拓展
3
圆锥曲线中的定直线问题
3
【解答】
(1) 在探求圆锥曲线中的定直线问题时，常常可以根据条件，结合圆锥曲线的对称性，先由特殊情况推出直线的方程，然后在一般意义上去求解，这样就能比较方便地求出答案．
(2) ①过抛物线y2＝2px上一点M(x0，y0)的切线的方程为y0y＝p(x＋x0)．其他情形类推．
②过抛物线y2＝2px外一点M(x0，y0)作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为y0y＝p(x＋x0)．
随堂内化·及时评价
【解答】
(1) 求椭圆C的标准方程；
【解答】
【解答】
配套新练案
(1) 求曲线C的方程；
【解答】
(2) 若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过△OAB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
【解答】
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】
(2) 试问：随着直线l的变化，k1＋k2是否为定值？请说明理由．
【解答】
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】
(2) 若抛物线C在A，B两点处的切线交于点P，且点A在抛物线C的准线上的射影为A1，试探究：点P是否在定直线上，且以点P为圆心、PA1为半径的圆是否过定点？若是，求出该定直线方程以及定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】
【解答】
【解答】
