章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
圆锥曲线的定义、方程与性质 定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
椭 圆 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做椭圆 注：b2＝a2－c2，a＞b |x|≤a， |y|≤b (±a，0)， (0，±b) (±c，0) 关于 x轴、 y轴、 坐标 原点 对称 椭圆中a＞c， 0＜e＜1 ↑ e＝ ↓ 双曲线中 a＜c， e＞1
|y|≤a， |x|≤b (0，±a)， (±b，0) (0，±c)
双 曲 线 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做双曲线 注：b2＝c2－a2 |x|≥a， y∈R (±a，0) (±c，0)
|y|≥a， x∈R (0，±a) (0，±c)
渐近线方程为y＝±x或－＝0， 共渐近线－＝0的双曲线系方程为 双曲线焦点三角形的面积：S△PF1F2＝，θ＝∠F1PF2 (椭圆焦点三角形的面积：S△PF1F2＝b2·tan，θ＝∠F1PF2)
等轴双曲线：双曲线x2－y2＝±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x(渐近线互相垂直)，离心率e＝
抛 物 线 平面内到一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 注：焦点到准线的距离等于p，p＞0 x≥0， y∈R 关于 x轴 对称 e＝1
x≤0， y∈R
y≥0， x∈R (0,0) 关于 y轴 对称
y≤0， x∈R
弦 长 焦半径(以焦点在x轴上为例)： 椭圆：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； 双曲线：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； 抛物线：|PF|＝x0＋ 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，则|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角) 过焦点垂直于对称轴的弦长： 椭圆(双曲线)：； 抛物线：2|p|
弦长|AB|＝·|x2－x1|＝＝ ＝
考法聚焦素养养成
考法1 圆锥曲线的几何性质
例1 (多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为F1，F2，那么下列结论正确的是( )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．点F2到一条渐近线的距离是8
D．过点F2的最短弦长为
【题组训练】
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2
C．3 D．3
2．已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为双曲线C的右顶点，B为双曲线C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则双曲线C的离心率为 ．
(多选)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，下列结论正确的是( )
A．若a＝2b，则椭圆M的离心率为
B．若椭圆M的离心率为，则＝
C．若F1，F2分别为椭圆M的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆M交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a
D．若A1，A2分别为椭圆M的左、右顶点，P为椭圆M上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－
考法2 直线与圆锥曲线
例2 (2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上两点．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 若过点P的直线l交椭圆C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
【题组训练】
1．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1，2)．
(1) 判断是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P；
(2) 若上述线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，求证：A，B，C，D四点共圆．
2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P(1，0)作直线交椭圆E于C，D两点(与点A，B均不重合)．当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|＝．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．
配套新练案
一、 单项选择题
1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．1 B．2
C．4 D．5
2．已知双曲线C：－＝1(b＞0)的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m的值为( )
A． B．
C．－ D．－
(2025·苏州期末)如图，已知点B(2，－1)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点(异于端点)，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，且OE与MD相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
(第4题)
A．y2＝x(0＜x＜2)
B．y2＝x(0＜x＜2)
C．x2＝－y(0＜x＜2)
D．x2＝－4y(0＜x＜2)
二、 多项选择题
5．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，左焦点为F1，右焦点为F2，P为椭圆上且不在x轴上的一点，则下列说法正确的是( )
A．m的取值范围是(0，4)
B．当焦距为4时，离心率为
C．当离心率为时，△PF1F2的周长为4＋4
D．当长轴长为4时，△PF1F2面积的最大值为4
6．探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”．已知一探照灯的轴截面是抛物线C：y2＝4x(顶点在原点O)，从焦点F射出两条互为反向的光线经抛物线C上的点P，Q反射，若直线PQ的倾斜角为θ，则( )
A．当θ＝45°时，P，Q处两条反射光线所在直线的距离为4
B．当θ＝45°时，△OPQ的面积为2
C． θ∈R，·＝－3
D． θ∈R，|FP|＋|FQ|＝|FP|·|FQ|
三、 填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M与焦点F的距离为4，点M到x轴的距离为p，则p＝ ．
8．已知平面上到定点(c，0)(或(－c，0))与定直线l：x＝的距离之比等于(a＞c)的点的轨迹为椭圆．已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F1，A(－2，1)，P为椭圆C上的动点，则当点P的坐标为时，2|PA|－3|PF1|的最小值为 ．
四、 解答题
9．如图，已知直线l：y＝－3x＋10与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
(第9题)
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 若直线l′与直线l关于y轴对称，试在抛物线C上求一点P，使得点P到直线l′的距离最短，并求出最短距离．
10．(2025·常州期末)已知椭圆E: ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4，直线l与x轴、y轴分别交于点M，N(均不与坐标原点O重合)，与椭圆E相交于A，B两点．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 当直线l的斜率为－时，求△OAM与△OBN的面积之比．
11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点(，2)在双曲线C上．
(1) 求双曲线C的方程．
(2) 设双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(M在第一象限)．记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，判断是否是定值．若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
圆锥曲线的定义、方程与性质 定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
椭 圆 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做椭圆 注：b2＝a2－c2，a＞b ＋＝1 |x|≤a， |y|≤b (±a，0)， (0，±b) (±c，0) 关于 x轴、 y轴、 坐标 原点 对称 椭圆中a＞c， 0＜e＜1 ↑ e＝ ↓ 双曲线中 a＜c， e＞1
＋＝1 |y|≤a， |x|≤b (0，±a)， (±b，0) (0，±c)
双 曲 线 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做双曲线 注：b2＝c2－a2 －＝1 |x|≥a， y∈R (±a，0) (±c，0)
－＝1 |y|≥a， x∈R (0，±a) (0，±c)
渐近线方程为y＝±x或－＝0， 共渐近线－＝0的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0) 双曲线焦点三角形的面积：S△PF1F2＝，θ＝∠F1PF2 (椭圆焦点三角形的面积：S△PF1F2＝b2·tan，θ＝∠F1PF2)
等轴双曲线：双曲线x2－y2＝±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x(渐近线互相垂直)，离心率e＝
抛 物 线 平面内到一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 注：焦点到准线的距离等于p，p＞0 y2＝2px x≥0， y∈R 关于 x轴 对称 e＝1
y2＝－2px x≤0， y∈R
x2＝2py y≥0， x∈R (0,0) 关于 y轴 对称
x2＝－2py y≤0， x∈R
弦 长 焦半径(以焦点在x轴上为例)： 椭圆：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； 双曲线：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； 抛物线：|PF|＝x0＋ 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，则|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角) 过焦点垂直于对称轴的弦长： 椭圆(双曲线)：； 抛物线：2|p|
弦长|AB|＝·|x2－x1|＝＝·|y2－y1| ＝
考法聚焦素养养成
考法1 圆锥曲线的几何性质
例1 (多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为F1，F2，那么下列结论正确的是( AC )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．点F2到一条渐近线的距离是8
D．过点F2的最短弦长为
【解析】 由题意可知a＝6，c＝10，所以b＝＝8，离心率e＝＝，故A正确；渐近线方程为y＝±x，故B错误；F2(10，0)，一条渐近线为4x＋3y＝0，则点F2到该渐近线的距离d＝＝8，故C正确；过点F2的最短弦长为2a＝12，故D错误．
【题组训练】
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( B )
A．2 B．2
C．3 D．3
【解析】 由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，所以点A到准线x＝－1的距离为2，从而点A的横坐标为－1＋2＝1．不妨设点A在x轴上方，将x＝1代入y2＝4x，得A(1，2)，所以|AB|＝＝2．
2．已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为双曲线C的右顶点，B为双曲线C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则双曲线C的离心率为2．
【解析】 联立解得所以|BF|＝．由题意得＝3，又|AF|＝c－a，所以＝＝3，化简得c＝2a，因此双曲线C的离心率为2．
3．(多选)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，下列结论正确的是( BCD )
A．若a＝2b，则椭圆M的离心率为
B．若椭圆M的离心率为，则＝
C．若F1，F2分别为椭圆M的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆M交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a
D．若A1，A2分别为椭圆M的左、右顶点，P为椭圆M上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－
【解析】 若a＝2b，则c＝b，所以e＝，故A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，所以＝，故B正确；由椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是·＝＝＝－，故D正确．
考法2 直线与圆锥曲线
例2 (2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上两点．
(1) 求椭圆C的离心率；
【解答】 由题意得解得所以e＝＝＝．
(2) 若过点P的直线l交椭圆C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
【解答】 由kAP＝＝－，得直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0．易知|AP|＝＝．由(1)知椭圆C的方程为＋＝1，设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，所以将直线AP沿着与AP垂直的方向斜向下平移个单位，所得直线与椭圆的交点即可以为点B，设新的直线的方程为x＋2y＋m＝0，则点P到该直线的距离为＝，解得m＝6或m＝－18．当m＝6时，联立解得或所以B(0，－3)或．当B(0，－3)时，kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0；当B时，kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0．当m＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，则Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点．综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0．
【题组训练】
1．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1，2)．
(1) 判断是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P；
【解答】 双曲线C的标准方程为x2－＝1，假设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－＝1，x－＝1，两式相减得＝，即kAB＝＝1，所以存在这样的弦AB，此时直线AB的方程为y＝x＋1．
(2) 若上述线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，求证：A，B，C，D四点共圆．
【解答】 设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，则点P(1，2)在直线CD上，所以m＝－3，从而直线CD的方程为x＋y－3＝0．设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为Q(x0，y0)，则x－＝1，x－＝1，两式相减得kCD＝，所以－1＝，即y0＝－2x0．又因为Q(x0，y0)在直线CD上，所以x0＋y0－3＝0．由解得所以Q(－3，6)．不妨假设点A的横坐标小于点B的横坐标．联立易得A(－1，0)，B(3，4)．联立消去y整理得x2＋6x－11＝0，则所以|CD|＝|x3－x4|＝4．由距离公式得|QA|＝|QB|＝|QC|＝|QD|＝2，所以A，B，C，D四点共圆．
2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P(1，0)作直线交椭圆E于C，D两点(与点A，B均不重合)．当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|＝．
(1) 求椭圆E的方程；
【解答】 由题意知A(－a，0)．当点D与椭圆E的上顶点重合时，D(0，b)，所以|AD|＝＝①．易知离心率e＝＝②，由①②解得a＝2，b＝1，故椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2) 设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．
【解答】 由题意知直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为x＝my＋1．联立得(m2＋4)y2＋2my－3＝0．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，可得my1y2＝(y1＋y2)．易知A(－2，0)，B(2，0)，所以k1＝，k2＝，从而＝＝＝＝＝＝，为定值．
请老师布置同学们完成《配套新练案》中的练习！
配套新练案
一、 单项选择题
1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于( B )
A．1 B．2
C．4 D．5
【解析】 方法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝|PF1|·|PF2|，于是|PF1|·|PF2|＝2．
方法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°．由椭圆方程可知c2＝5－1＝4，即c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16．而|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2．
2．已知双曲线C：－＝1(b＞0)的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 双曲线C的上焦点坐标为(0，)，又双曲线的一条渐近线方程为3x－by＝0，则＝，所以b＝，从而双曲线C的离心率为＝．
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m的值为( C )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 由题意知F1(－，0)，F2(，0)．因为△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到AB的距离是点F2到AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(此时直线AB与椭圆C不相交，舍去)．
4．(2025·苏州期末)如图，已知点B(2，－1)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点(异于端点)，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，且OE与MD相交于点P，则点P的轨迹方程为( D )
(第4题)
A．y2＝x(0＜x＜2)
B．y2＝x(0＜x＜2)
C．x2＝－y(0＜x＜2)
D．x2＝－4y(0＜x＜2)
【解析】 设P(m，n)(0＜m＜2，－1＜n＜0)．因为直线OB的方程为y＝－x，且点M在直线OB上，所以M．因为直线OP的方程为y＝x，且点E在直线OP上，所以E．因为ME∥x轴，所以－＝，从而m2＝－4n(0＜m＜2)．
二、 多项选择题
5．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，左焦点为F1，右焦点为F2，P为椭圆上且不在x轴上的一点，则下列说法正确的是( CD )
A．m的取值范围是(0，4)
B．当焦距为4时，离心率为
C．当离心率为时，△PF1F2的周长为4＋4
D．当长轴长为4时，△PF1F2面积的最大值为4
【解析】 对于A，因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m＞4，故A错误．对于B，当焦距为4时，c＝2，所以m－4＝22，可得m＝8，从而a＝2，因此离心率e＝＝＝，故B错误．对于C，结合B可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，2c＝4，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋4，故C正确．对于D，当长轴长为4时，a＝2，又b＝2，所以c＝2，从而△PF1F2面积的最大值为b×2c＝bc＝4，故D正确．
6．探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”．已知一探照灯的轴截面是抛物线C：y2＝4x(顶点在原点O)，从焦点F射出两条互为反向的光线经抛物线C上的点P，Q反射，若直线PQ的倾斜角为θ，则( ACD )
A．当θ＝45°时，P，Q处两条反射光线所在直线的距离为4
B．当θ＝45°时，△OPQ的面积为2
C． θ∈R，·＝－3
D． θ∈R，|FP|＋|FQ|＝|FP|·|FQ|
【解析】 由题意知F(1，0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．当θ＝45°时，直线PQ的方程为y＝x－1，联立整理得x2－6x＋1＝0，则x1x2＝1，x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，y1y2＝－4．对于A，所求距离为|y1－y2|＝＝4，故A正确．对于B，S△OPQ＝·|OF|·|y1－y2|＝2，故B错误．对于C，由抛物线焦点弦结论可知x1x2＝＝1，y1y2＝－p2＝－4，故·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C正确．对于D，由抛物线焦点弦常用结论可知＋＝＝1，等式两边同乘|FP|·|FQ|，可得|FP|＋|FQ|＝|FP|·|FQ|，故D正确．
三、 填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M与焦点F的距离为4，点M到x轴的距离为p，则p＝2．
【解析】 由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M与焦点F的距离为4，可得点M到y轴的距离为4－．又点M到x轴的距离为p，所以(p)2＝2p．又p＞0，所以p＝2．
8．已知平面上到定点(c，0)(或(－c，0))与定直线l：x＝的距离之比等于(a＞c)的点的轨迹为椭圆．已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F1，A(－2，1)，P为椭圆C上的动点，则当点P的坐标为时，2|PA|－3|PF1|的最小值为－5．
【解答】 【解析】 设椭圆C的右焦点为F2，点P到直线x＝的距离为d，此时＝，所以2|PA|－3|PF1|＝2＝2＝2＝2(|PA|＋d－3a)≥2×＝－5，如图，当且仅当点P为AA′与椭圆C的交点时取等号，此时点P的坐标为，故2|PA|－3|PF1|的最小值为－5．
(第8题答)
四、 解答题
9．如图，已知直线l：y＝－3x＋10与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
(第9题)
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 联立消去y并整理得9x2－(60＋2p)x＋100＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(－3x1＋10)(－3x2＋10)＝9x1x2－30(x1＋x2)＋100＝－p．因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝－p＝0，解得p＝，从而抛物线C的方程为y2＝x．
(2) 若直线l′与直线l关于y轴对称，试在抛物线C上求一点P，使得点P到直线l′的距离最短，并求出最短距离．
【解答】 由题意知直线l′的方程为y＝3x＋10，令直线m平行于直线l′，且与抛物线C相切，则切点即为点P．设直线m的方程为y＝3x＋b，联立消去y并整理得9x2＋x＋b2＝0，令Δ＝－36b2＝－40b＋＝0，解得b＝，所以9x2－x＋＝0，解得x＝，从而y＝3×＋＝，故点P的坐标为，此时点P到直线l′的距离最短，且最短距离d＝＝．
10．(2025·常州期末)已知椭圆E: ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4，直线l与x轴、y轴分别交于点M，N(均不与坐标原点O重合)，与椭圆E相交于A，B两点．
(1) 求椭圆E的方程；
【解答】 由题意知2a＝4，所以a＝2．由离心率e＝＝＝，得c＝，则有b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2) 当直线l的斜率为－时，求△OAM与△OBN的面积之比．
【解答】 如图，设直线l：y＝－x＋m，所以M(2m，0)，N(0，m)．联立得x2－2mx＋2m2－2＝0，则Δ＝8－4m2＞0，可得－＜m＜．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，即x2＝2m－x1，所以＝＝＝＝1，从而△OAM与△OBN的面积之比为1．
(第10题答)
11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点(，2)在双曲线C上．
(1) 求双曲线C的方程．
【解答】 依题意得解得a2＝1，b2＝4，故双曲线C的方程为x2－＝1．
(2) 设双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(M在第一象限)．记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，判断是否是定值．若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解答】 由题意知A(－1，0)，B(1，0)．显然直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立得(4m2－1)y2＋16my＋12＝0，则Δ＝256m2－48(4m2－1)＝64m2＋48＞0，且m2≠．由韦达定理得y1＋y2＝－，y1y2＝，可得my1y2＝－(y1＋y2)．因为k1＝，k2＝，所以＝＝＝＝＝－，从而为定值－．
(第11题答)(共46张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理·系统整合
圆锥曲线的定义、方程与性质 定义 标准方程
椭 圆 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做椭圆 注：b2＝a2－c2，a＞b _____________
_____________
双 曲 线 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做双曲线 注：b2＝c2－a2 _____________
_____________
圆锥曲线的定义、方程与性质 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
椭 圆 |x|≤a，|y|≤b (±a，0)， (0，±b) (±c，0) 关于 x轴、 y轴、 坐标 原点 对称 椭圆中a＞c，
0＜e＜1
↑
↓
双曲线中
a＜c，e＞1
|y|≤a，|x|≤b (0，±a)， (±b，0) (0，±c)
双 曲 线 |x|≥a，y∈R (±a，0) (±c，0)
|y|≥a，x∈R (0，±a) (0，±c)
定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
圆锥曲线的定义、方程与性质 抛 物 线 平面内到一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 注：焦点到准线的距离等于p，p＞0 __________ x≥0， y∈R (0,0) 关于 x轴 对称 e＝1
y2＝－2px x≤0， y∈R
__________ y≥0， x∈R 关于 y轴 对称
x2＝－2py y≤0， x∈R
y2＝2px
x2＝2py
考法聚焦·素养养成
考法
1
圆锥曲线的几何性质
1
【解析】
过点F2的最短弦长为2a＝12，故D错误．
【答案】AC
【题组训练】
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|等于 ( )
【解析】
B
【解析】
2
【解析】
由椭圆的定义易知C正确；
【答案】BCD
考法
2
直线与圆锥曲线
(1) 求椭圆C的离心率；
2
【解答】
(2) 若过点P的直线l交椭圆C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
2
【解答】
【题组训练】
1．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1，2)．
(1) 判断是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P；
【解答】
1．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1，2)．
(2) 若上述线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，求证：A，B，C，D四点共圆．
【解答】
(1) 求椭圆E的方程；
【解答】
【解答】
配套新练案
【解析】
【答案】B
【解析】
C
【解析】
C
4．(2025·苏州期末)如图，已知点B(2，－1)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点(异于端点)，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，且OE与MD相交于点P，则点P的轨迹方程为 ( )
【解析】
D
【解析】
【答案】 CD
6．探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”．已知一探照灯的轴截面是抛物线C：y2＝4x(顶点在原点O)，从焦点F射出两条互为反向的光线经抛物线C上的点P，Q反射，若直线PQ的倾斜角为θ，则 ( )
【解析】
【答案】 ACD
【解析】
2
【解析】
四、解答题
9．如图，已知直线l：y＝－3x＋10与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】
9．如图，已知直线l：y＝－3x＋10与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
(2) 若直线l′与直线l关于y轴对称，试在抛物线C上求一点P，使得点P到直线l′的距离最短，并求出最短距离．
【解答】
(1) 求椭圆E的方程；
【解答】
【解答】
(1) 求双曲线C的方程．
【解答】
【解答】
