章检测 第三章学情检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A． B．
C． D．
2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A．2 B．
C． D．
3．已知双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点．若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．已知直线l：y＝k(x＋3)＋1与曲线C：y＝有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4，0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点．若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
6．如图，已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点H，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
（第6题）
7．在△ABC中，若|AB|＝2|BC|，以A，B为焦点的椭圆与双曲线经过点C，且它们的离心率分别为e1，e2，则( )
A．－＝1 B．－＝2
C．－＝1 D．－＝2
8．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，那么椭圆C的方程为( )
（第8题）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为F1，F2，那么下列结论中正确的是( )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．点F2到双曲线C的一条渐近线的距离是8
D．双曲线C的标准方程为－＝1
10．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，则( )
A．|AB|＝12 B．·＝－
C．yAyB＝－3 D．xAxB＝3
11．已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到点F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C．若直线y＝2x与曲线C交于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A．曲线C的方程为＋＝1
B．曲线C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°
C．|AB|＝
D．若N为曲线C上不同于A，B的一点，且直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6，那么抛物线的标准方程为 ．
13．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P．若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
14． 反比例函数y＝的图象是双曲线(其渐近线分别为x轴和y轴)；同样地，“对勾函数”y＝mx＋(m＞0，n＞0)的图象也是双曲线．设m＝，n＝，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为 ．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知双曲线C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长为4．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
16．(15分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 若抛物线与直线y＝kx－2交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求实数k的值．
17．(15分)已知离心率为2的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，且点P(1，2)，线段PF1的垂直平分线经过点F2．
(1) 求双曲线C的方程．
(2) 设Q为双曲线C上异于顶点的任一点，O为坐标原点，A1，A2为双曲线C的左、右顶点，连接A1Q，A2Q，分别交y轴于点R和S．试问：|OR|·|OS|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出|OR|·|OS|的取值范围．
18．(17分)已知圆A：(x－)2＋y2＝16，B(－，0)，T是圆A上的动点，BT的垂直平分线交AT于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程．
(2) 设过点(0，2)的直线l交曲线C于M，N两点，记点P(0，－1)．试问：是否存在直线l，满足|PM|＝|PN|？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
19． (17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)：
(第19题)
步骤1，设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2，把纸片折叠，使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合)；
步骤3，把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4，不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程；
(2) 已知点M(－2，0)，N(2，0)，过点D(1，0)作斜率不为0的直线l，直线l与曲线C交于G，Q两点，直线GM与直线NQ交于点B，证明点B在定直线上，并求出此定直线的方程．章检测 第三章学情检测卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( C )
A． B．
C． D．
【解析】抛物线的标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，所以焦点坐标为．
2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( C )
A．2 B．
C． D．
【解析】由题意可知直线y＝x与y＝－x互相垂直，即－·＝－1，则a＝b．由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，故e＝．
3．已知双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点．若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】由题意，不妨设点M(x，y)在第一象限，联立解得(其中c2＝a2＋b2)．由四边形MNPQ为矩形且面积为8，及双曲线的对称性，得·＝2，即2c2＝5ab．又因为c2＝a2＋b2，所以2(a2＋b2)＝5ab，即2×－5×＋2＝0，解得＝，故所求渐近线的方程为y＝±x．
4．已知直线l：y＝k(x＋3)＋1与曲线C：y＝有两个公共点，则实数k的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
【解析】直线l：y＝k(x＋3)＋1过定点(－3，1)，曲线C是椭圆＋y2＝1的上半部分(包括x轴上的点)．如图，当直线l与椭圆上半部分相切时，斜率为0，当直线l过椭圆右顶点时，斜率为＝－，所以实数k的取值范围是．
(第4题答)
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4，0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点．若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( D )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【解析】设点A在第一象限，则点B在第四象限，由抛物线的对称性知A，B，则S△CAB＝×2p＝24，解得p＝4(负值舍去)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－8x．
6．如图，已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点H，则椭圆C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
(第6题)
【解析】由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)，设E(0，m)．由PF∥OE，得＝，则|MF|＝①．由OE∥MF，OE的中点为H，得＝，则|MF|＝②．由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，则e＝＝．
7．在△ABC中，若|AB|＝2|BC|，以A，B为焦点的椭圆与双曲线经过点C，且它们的离心率分别为e1，e2，则( A )
A．－＝1 B．－＝2
C．－＝1 D．－＝2
【解析】如图，设椭圆与双曲线的标准方程分别为＋＝1(a＞b＞0)，－＝1(a′＞0，b′＞0)，焦距为2c，则|AB|＝2c，|BC|＝c．因为点C在椭圆上，所以|AC|＋|BC|＝2a，即|AC|＝2a－c．又因为点C在双曲线上，所以|AC|－|BC|＝2a′，即2a－c－c＝2a′，得－＝1，即－＝1．
(第7题答)
8．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，那么椭圆C的方程为( C )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】由题意可得c＝5．如图，设椭圆C的右焦点为F′，连接PF′．由|OP|＝|OF|＝|OF′|，知∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，从而∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理得|PF′|＝＝＝8．由椭圆的定义得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，解得a＝7，a2＝49，则b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1．
,
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为F1，F2，那么下列结论中正确的是( AC )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．点F2到双曲线C的一条渐近线的距离是8
D．双曲线C的标准方程为－＝1
【解析】由题意可知a＝6，c＝10，所以b＝＝8，离心率e＝＝，故A正确；双曲线的渐近线方程为y＝±x，故B错误；F2(10，0)，一条渐近线的方程为4x＋3y＝0，则点F2到该渐近线4x＋3y＝0的距离d＝＝8，故C正确；由上知，双曲线C的标准方程为－＝1，故D错误．
10．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，则( AB )
A．|AB|＝12 B．·＝－
C．yAyB＝－3 D．xAxB＝3
【解析】抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在直线的方程为y＝．将y＝·代入y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．由根与系数的关系得xA＋xB＝，xAxB＝，故D错误．yy＝3xA·3xB＝9xAxB＝，所以yAyB＝－，故C错误．·＝xAxB＋yAyB＝－＝－，故B正确．由抛物线的定义可得|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，故A正确．
11．已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到点F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C．若直线y＝2x与曲线C交于A，B两点，则下列结论中正确的是( AD )
A．曲线C的方程为＋＝1
B．曲线C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°
C．|AB|＝
D．若N为曲线C上不同于A，B的一点，且直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－
【解析】对于A，设P(x，y)，由动点P到点F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，得＝，化简得曲线C的方程为＋＝1，故A正确．对于B，假设存在点M，使得∠F1MF2＝90°，则|MO|＝|F1F2|＝1，而|MO|的最小值为b＝＞1，与假设矛盾，所以假设不成立，即不存在点M，使得∠F1MF2＝90°，故B错误．对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得19x2－12＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝0，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝≠，故C错误．对于D，由题意知点A，B关于原点对称，则B(－x1，－y1)，设N(x0，y0)(x0≠±x1)．因为点A(x1，y1)，P(x0，y0)是曲线C上的点，所以y＝3－x，y＝3－x．由k1＝，k2＝，得k1k2＝＝＝＝－，故D正确．
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6，那么抛物线的标准方程为y2＝－4x或y2＝－36x．
【解析】 设抛物线的焦点为F(a，0)，则|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9．当焦点为F(－1，0)时，抛物线的开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9，0)时，抛物线的开口方向向左，其方程为y2＝－36x．
13．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P．若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为－1．
【解析】 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点F2的坐标为(c，0)，点P的坐标为(不妨取点P在第一象限内)．由题意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，即a2－c2＝2ac，从而＋2－1＝0，解得＝－1或－－1(舍去)，于是e＝＝－1．
14． 反比例函数y＝的图象是双曲线(其渐近线分别为x轴和y轴)；同样地，“对勾函数”y＝mx＋(m＞0，n＞0)的图象也是双曲线．设m＝，n＝，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为2．
【解析】 由题意得双曲线为y＝x＋，所以双曲线的渐近线为x＝0及y＝x，渐近线的夹角为60°，从而＝，于是双曲线的焦点所在直线的方程为y＝x．由得x＝x＋，解得或所以a＝＝，从而b＝，于是c＝＝，故双曲线的焦距为2．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知双曲线C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长为4．
(1) 求双曲线C的标准方程；
【解答】 设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知c＝，2a＝4，所以a＝2，b＝1，从而双曲线C的标准方程为－y2＝1．
(2) 若双曲线C上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
【解答】 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±4．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20，即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝20，从而|PF1|·|PF2|＝2，于是△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1．
16．(15分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6．
(1) 求抛物线的方程；
【解答】 由题意设抛物线的方程为y2＝2px，p＞0，其准线方程为x＝－．因为点P(4，m)到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以4＋＝6，解得p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x．
(2) 若抛物线与直线y＝kx－2交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求实数k的值．
【解答】 由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由解得k＞－1且k≠0，由x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以实数k的值为2．
17．(15分)已知离心率为2的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，且点P(1，2)，线段PF1的垂直平分线经过点F2．
(1) 求双曲线C的方程．
【解答】 由题意知|PF2|2＝|F1F2|2，即(c－1)2＋4＝(2c)2，即3c2＋2c－5＝0，解得c＝1或－(舍去)．又e＝＝2，所以a＝，从而b2＝c2－a2＝，于是双曲线C的方程为－＝1．
(2) 设Q为双曲线C上异于顶点的任一点，O为坐标原点，A1，A2为双曲线C的左、右顶点，连接A1Q，A2Q，分别交y轴于点R和S．试问：|OR|·|OS|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出|OR|·|OS|的取值范围．
【解答】 设Q(x0，y0)，A1，A2，则直线A1Q的方程为y＝，令x＝0，得y＝．同理可知直线A2Q的方程为y＝，令x＝0，得y＝－．所以|OR|·|OS|＝＝．由点Q(x0，y0)在双曲线上，可知4x－y＝1，即4x－1＝y，所以|OR|·|OS|＝＝，故|OR|·|OS|为定值．
18．(17分)已知圆A：(x－)2＋y2＝16，B(－，0)，T是圆A上的动点，BT的垂直平分线交AT于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程．
【解答】 由题意得|QA|＋|QB|＝|QA|＋|QT|＝|AT|＝4＞2＝|AB|，所以点Q的轨迹是椭圆，且2a＝4，2c＝2，从而b＝1，于是曲线C的方程为＋y2＝1．
(2) 设过点(0，2)的直线l交曲线C于M，N两点，记点P(0，－1)．试问：是否存在直线l，满足|PM|＝|PN|？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
【解答】 假设存在满足题意的直线l，显然l的斜率存在且不为0，设l：y＝kx＋2(k≠0)．由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，则Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＝64k2－48＞0，得k2＞．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝．又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝，所以MN的中点的坐标为，因此，MN的垂直平分线的方程为y－＝－．若|PM|＝|PN|，则点P(0，－1)在MN的垂直平分线上，所以－1－＝－·，可得k2＝＞，即k＝±．因此，存在满足题意的直线l，且直线l的方程为y＝±x＋2．
19． (17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)：
(第19题)
步骤1，设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2，把纸片折叠，使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合)；
步骤3，把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4，不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C的方程；
【解答】 由题意可知|PE|＋|PF|＝|PA|＋|PE|＝4＞|EF|＝2，故点P的轨迹是以E，F为焦点，且长轴长2a＝4的椭圆，焦距2c＝|EF|＝2，所以b2＝a2－c2＝1，因此轨迹C的方程为＋y2＝1．
(2) 已知点M(－2，0)，N(2，0)，过点D(1，0)作斜率不为0的直线l，直线l与曲线C交于G，Q两点，直线GM与直线NQ交于点B，证明点B在定直线上，并求出此定直线的方程．
【解答】 由题意可设直线l的方程为x＝my＋1，G(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，则Δ＝4m2＋12(m2＋4)＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝－．而直线GM的方程为y＝·(x＋2)，直线QN的方程为y＝(x－2)，联立得
x＝－
＝－
＝－
＝
＝
＝
＝4，所以点B在定直线x＝4上．
(第19题答)
