2.2基本不等式
学习目标 目标是灯塔，指引着我们前进的方向
1.了解基本不等式的证明过程.
2.掌握基本不等式≤(a>0,b>0)及其变形的应用.(重点)
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点)
4.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点)
基础知识 基础是根基，扎实根基会让我们走得更远
1.定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2.常用变形
变式1： （a＞0，b＞0，当且仅当a=b时，等号成立）
变式2： （当且仅当a=b时，等号成立）
变式3： （当且仅当a=b时，等号成立）
变式4： （x＞0，当且仅当x=1时，等号成立）
变式5： （ab＞0，当且仅当a=b时，等号成立）
3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各项必须为正.
②二定：各项之和或各项之积为定值.
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
典型例题 典例是阶梯，攀爬中提升解题能力
题型1：概念辨析
【例1-1】(多选)下列说法正确的是 ( )
A.对 a,b∈R,≥成立 B.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2
C.对 a,b∈R,a2+b2≥2ab D.若x>2,则x+≥2中可以取等号
答案 BC
解析 A项,当a=-1,b=-1时,不等式不成立;
D项,x+≥2=2时取等号的条件为无解,不等式中不可取等号.
反思感悟 利用基本不等式时要注意a>0,b>0和取等号的条件是否满足.
【例1-2】(多选)下面四个推导过程正确的有 ( )
A.若a,b为正实数,则+≥2=2
B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4
C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2
D.若a<0,b<0,则
答案 AC
解析 A中,∵a,b为正实数,∴,为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;
B中,a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,故B错误;
C中,由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,-,-均变为正数,符合基本不等式的条件,故C正确;
D中,对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,即≥ab,故D错误.
【例1-3】若实数a,b满足b>a>0,下列不等式中恒成立的是 ( )
A.2a+≥2 B.2a+≤2 C.2a+<2 D.2a+>2
答案 A
解析 由题意b>a>0,所以由基本不等式可得2a+≥2=2,
当且仅当2a=,即a=时等号成立,此时b>a=>0满足题意.
【例1-4】下列结论正确的是 4.( )
A.当x>0且x≠1时,x+的最小值为2 B.当x>0时,+≥2
C.当x≠0时,x+≥2 D.当x>0时,x+的最小值为2
答案 B
解析 选项A不满足“取等号时的条件”,故不正确;
选项C不满足“各项必须为正”,故不正确;
选项D不满足“积为定值”,故不正确.
【例1-5】下列不等式中正确的是 ( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2
答案 D
解析 若a<0,则a+≥4不成立,故A错;
若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错;
若a=4,b=16,则<,故C错;
由基本不等式可知D项正确.
【例1-6】若a,b∈R,下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2+>a B.a3+b3≥2 C.a2+b2≥-2ab D.a+b≤2
答案 C
解析 当a=时,有a2+=a,故A错误; 当a=b=-1时,a3+b3=-2,2=2,则a3+b3<2,故B错误;由于a2+b2+2ab=(a+b)2≥0,所以a2+b2≥-2ab,故C正确;若a=1,b=2,可得a+b=3,2=2,则a+b>2,故D错误.
题型2：直接利用基本不等式求最值
【例2-1】已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值
证明：因为x，y都是正数，所以.
（1）当积等于定值P时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.
（2）当和等于定值S时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.
【例2-2】（2024春·陕西榆林）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.
【例2-3】（2024福建省）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D.
【例2-4】（2024·新疆喀什）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由（当且仅当时等号成立），得，
即，即，，当且仅当a=b=时等号成立.
所以的最小值为.故选：B.
【例2-5】（2024秋·天津和平）已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________.
【答案】5
【解析】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，
解得，则的最大值5．故答案为：5．
【例2-6】（2024春·江西宜春）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意知，且，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.故选：D.
【例2-7】（2024春·安徽联考）（多选）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为正实数、满足，
对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，B错；
对于C选项，当，时，，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD.
【例2-8】已知且．
（1）求的最大值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用基本不等式求的最大值；（2）首先构造，再利用基本不等式求最值.
【详解】（1）
当且仅当时，等号成立．
的最大值是
（2）
当且仅当即时，等号成立．
的最大值是
题型3：配凑法求最值
【例3-1】若0答案 1 解析 当00,则 ≤=1,当且仅当2-a=a,即a=1时,等号成立.
【例3-2】已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【详解】由于，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为. 故选：A.
【例3-3】若0答案
解析 由00,1-3x>0,
则2x(1-3x) =×3x(1-3x)≤×=,
当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.
【例3-4】已知，求的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此取到最大值．
故选：B.
【例3-5】(-6≤a≤3)的最大值为 ( )
A.9 B. C.3 D.
答案 B
解析 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时,等号成立,故所求最大值为.
【例3-6】已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 ( )
A.16 B.9 C.4 D.36
答案 B
解析 (1+x)(1+2y)≤==9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立,故所求最大值为9.
【例3-7】已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答.
【详解】因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
故选：A
【例3-8】已知任意的正数a,b,c,有≥成立,当且仅当a=b=c时,等号成立.若0A.6 B.4 C.5 D.3
答案 B
解析 根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4,
当且仅当m=6-2m,即m=2时,等号成立,
故m2(3-m)的最大值为4.
【题型4】分离常数—分式有关的式子求最值
【例4-1】已知，求的最小值.
分析：求最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.
【例4-2】已知，则的最小值为 ．
【答案】3
【详解】由于，所以，故，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：3
【例4-3】当时，若在时取得最小值，则 .
【答案】4
【详解】因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，
将代入，故，故.
故答案为：4
【例4-4】已知，求的最大值；
【答案】1
【详解】∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时，上式等号成立，
故当时，．
【例4-5】已知，则的最小值是（ D ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【例4-6】已知，则的最小值为（ B ）
A．5 B．3 C． D．或3
【答案】B
【例4-7】（2023·广西）函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】因为，则，
所以≤，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.
【例4-8】（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数（）的最大值是__________．
【答案】
【解析】当，.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时
，即. 所以，最大值为
【例4-9】（2023·江苏）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，故选：A
【例4-10】（2023·浙江）函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【解析】因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：
【例4-11】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为_________．
【答案】
【解析】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.故答案为：
【例4-12】（2024高一·全国·专题练习）函数的最大值为
【答案】/
【分析】变形后运用基本不等式求解即可．
【详解】．
因为，所以，，
当且仅当，即 时，等号成立．
所以．
故答案为：．
【例4-13】函数y=的最大值为
【答案】
【例4-14】函数 (x＞1）的最小值为
【答案】
【题型5】1的代换
【例5-1】已知都是正数，且.求证：
【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，即：；
【例5-2】（1）若x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值
若x>0,y>0,x+y=1,求+的最小值
已知，，，则的最小值为
（4）若x>0,y>0,xy=9x+y,求x+y的最小值
解 ∵+=1,x>0,y>0,
∴x+y=(x+y)=10++≥10+2=16,
当且仅当=即x=4,y=12时,等号成立.
即x+y的最小值为16.
延伸探究
（2）若x>0,y>0,x+y=1,求+的最小值.
解 ∵x+y=1,x>0,y>0,
∴+=(x+y)=10++≥10+2=16,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
即+的最小值为16.
（3）已知，，，则的最小值为
【答案】27
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
（4）若x>0,y>0,xy=9x+y,求x+y的最小值.
解 ∵x>0,y>0,xy=9x+y,∴+=1,
由例1可知,x+y的最小值为16.
反思感悟 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
【例5-3】已知a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.5
答案 C
解析 ∵a>0,b>0,a+b=2,
∴+=1,
∴+==++≥+2=,
当且仅当b=2a,即a=,b=时取等号.
【例5-4】（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因为正数满足，所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
【例5-5】已知,则的最小值是
【答案】4+2
【例5-6】（2023春·江苏南京）已知非负数x，y满足,则的最小值是___________.
【答案】4
【解析】由，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
【例5-7】设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
【答案】A
【分析】根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为均为正实数，
所以，当且仅当，即时取等号.
因此的最小值为.
故选：A.
【例5-8】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
【答案】A
【解析】因为正数a，b满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立，故选：A.
【例5-9】已知正实数a，b满足a+b=，则的最小值为
【答案】5
【例5-10】已知都是负实数，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：
.选B
考点：重要不等式.
【题型6】换元法
【例6-1】若正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由配方可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由可化为，因为均为正数，
所以由基本不等式可得，整理可得，
即，当且仅当，即时取等号.
故选：C
【点睛】本题主要考查基本不等式，属于中档题.
【例6-2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【解析】已知，且xy+2x+y=6，y=
2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，故2x+y的最小值为4.
故选:A
【例6-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【答案】3
【解析】因为，，，所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，所以，
解得或（舍）所以当时，有最小值3.故答案为：3
【例6-4】若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式及不等式的解法可得答案.
【详解】因为，，
所以即，当且仅当时，等号成立；
解得或（舍）.
故选：B.
【题型7】消元法
【例7-1】已知x>0,y>0,x+8y=xy,求x+2y的最小值.
解 因为x>0,y>0,x+8y=xy,
所以+=1,
所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18,
当且仅当即时等号成立.
所以x+2y的最小值为18.
【例7-2】若，，且，则的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．16
【答案】C
【分析】由可得，从而将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意，，得，
故，
由于，故，
当且仅当即时取等号，即，
故的最小值是13，
故选：C
【例7-3】（2023·重庆沙坪坝）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D
【例7-4】已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】用来表示得，代入得，再利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】,，则有，
，
当且仅当，即时等号成立，此时，
故选：B.
【例7-5】若正数x，y满足，则的最小值是（ ）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
【例7-6】若实数a,b满足a2+2ab=1,则a2+b2的最小值是 .
答案
解析 由a2+2ab=1可得b=,
所以a2+b2=a2+=+-≥2-=,
当且仅当a2=时,等号成立.
【题型8】基本不等式的实际应用
【例8-1】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【解析】
【分析】
设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，由题意得出，利用基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论.
【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，
则，.
由基本不等式得.
当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是.
因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要结合定值条件对所求代数式进行合理配凑，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
【例8-2】某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
【答案】A
【分析】设乙选手总共用时，根据题意表示出，然后与作差，比较大小，即可得到结果.
【详解】由题意可知对于选手甲，，则
设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则
即，即甲先到达终点
故选:A.
【例8-3】某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
【答案】B
【解析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
【例8-4】古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
【例8-5】设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
【答案】最大面积是，.
【解析】
【分析】
由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.
考点七 利用基本不等式比较大小
【例7-1】（2023·甘肃）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.故选：B
【例7-2】（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以；
因为，所以，即，
因为，所以，即，
因此，故选：D
【一隅三反】
1．（2023·云南）若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．
【答案】
【解析】，，，则，，，
综上所述：最大的一个是.
故答案为：
2．（2023·河北邯郸·高一校考期末）（多选）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，且，
所以，即，故A错误，B正确；
所以，即，故C错误，D正确.
故选：BD.
3．（2023·河北唐山·）（多选）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】，则，A对；
，而，
所以，即，B错；
且，仅当等号成立，而，故，C对；
，而，
所以，即，D对.
故选：ACD
1. 已知、，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用作差法可证明出所证不等式成立.
【详解】，，即.
【点睛】本题考查利用作差法证明基本不等式的变形，考查推理能力，属于基础题.
2. 已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证；
（2）由基本不等式得，可得证.
【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
3. 当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？
【答案】或时，取得最小值，最小值为.
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的的值，从而可得出结论.
【详解】，当且仅当，即时等号成立.
所以，当或时，取得最小值，最小值为.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
4. 已知，求的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，在时，将代数式变形为，利用基本不等式的变形可求出的最大值，综合可得出结论.
【详解】当时，.
当时，，，，
当且仅当，即时取等号.
的最大值为，此时.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
10. （1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值.
【详解】（1），，，
当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；
（2）由知.
当或时，；
当时，，由基本不等式可得.
当且仅当，即当时等号成立.
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.
11. （1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81
【解析】
【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；
（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．
【详解】设两个正数为a，b
（1），则，当且仅当等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2），则当且仅当等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．
13. 已知、、都是正数，求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由基本不等式可得出，，，然后利用不等式的性质可得出结论.
【详解】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性质可得，
当且仅当时等号成立.
【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
14. 已知，求证：的最大值是.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用基本不等式与不等式的性质可证明出结论.
【详解】，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最大值是.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
16. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
【答案】大于，理由见解析
【解析】
【分析】
设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金大于.
【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
【答案】最大面积是，.
【解析】
【分析】
由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.2.2基本不等式
学习目标 目标是灯塔，指引着我们前进的方向
1.了解基本不等式的证明过程.
2.掌握基本不等式≤(a>0,b>0)及其变形的应用.(重点)
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点)
4.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点)
基础知识 基础是根基，扎实根基会让我们走得更远
1.定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2.常用变形
变式1： （a＞0，b＞0，当且仅当a=b时，等号成立）
变式2： （当且仅当a=b时，等号成立）
变式3： （当且仅当a=b时，等号成立）
变式4： （x＞0，当且仅当x=1时，等号成立）
变式5： （ab＞0，当且仅当a=b时，等号成立）
3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各项必须为正.
②二定：各项之和或各项之积为定值.
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
典型例题 典例是阶梯，攀爬中提升解题能力
题型1：概念辨析
【例1-1】(多选)下列说法正确的是 ( )
A.对 a,b∈R,≥成立 B.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2
C.对 a,b∈R,a2+b2≥2ab D.若x>2,则x+≥2中可以取等号
答案 BC
解析 A项,当a=-1,b=-1时,不等式不成立;
D项,x+≥2=2时取等号的条件为无解,不等式中不可取等号.
反思感悟 利用基本不等式时要注意a>0,b>0和取等号的条件是否满足.
【例1-2】(多选)下面四个推导过程正确的有 ( )
A.若a,b为正实数,则+≥2=2
B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4
C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2
D.若a<0,b<0,则答案 AC
解析 A中,∵a,b为正实数,∴,为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;
B中,a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,故B错误;
C中,由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,-,-均变为正数,符合基本不等式的条件,故C正确;
D中,对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,即≥ab,故D错误.
【例1-3】若实数a,b满足b>a>0,下列不等式中恒成立的是 ( )
A.2a+≥2 B.2a+≤2 C.2a+<2 D.2a+>2
答案 A
解析 由题意b>a>0,所以由基本不等式可得2a+≥2=2,
当且仅当2a=,即a=时等号成立,此时b>a=>0满足题意.
【例1-4】下列结论正确的是 4.( )
A.当x>0且x≠1时,x+的最小值为2 B.当x>0时,+≥2
C.当x≠0时,x+≥2 D.当x>0时,x+的最小值为2
答案 B
解析 选项A不满足“取等号时的条件”,故不正确;
选项C不满足“各项必须为正”,故不正确;
选项D不满足“积为定值”,故不正确.
【例1-5】下列不等式中正确的是 ( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2
答案 D
解析 若a<0,则a+≥4不成立,故A错;
若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错;
若a=4,b=16,则<,故C错;
由基本不等式可知D项正确.
【例1-6】若a,b∈R,下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2+>a B.a3+b3≥2 C.a2+b2≥-2ab D.a+b≤2
答案 C
解析 当a=时,有a2+=a,故A错误; 当a=b=-1时,a3+b3=-2,2=2,则a3+b3<2,故B错误;由于a2+b2+2ab=(a+b)2≥0,所以a2+b2≥-2ab,故C正确;若a=1,b=2,可得a+b=3,2=2,则a+b>2,故D错误.
题型2：直接利用基本不等式求最值
【例2-1】已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值
证明：因为x，y都是正数，所以.
（1）当积等于定值P时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.
（2）当和等于定值S时，，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.
【例2-2】（2024春·陕西榆林）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.
【例2-3】（2024福建省）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D.
【例2-4】（2024·新疆喀什）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由（当且仅当时等号成立），得，
即，即，，当且仅当a=b=时等号成立.
所以的最小值为.故选：B.
【例2-5】（2024秋·天津和平）已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________.
【答案】5
【解析】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，
解得，则的最大值5．故答案为：5．
【例2-6】（2024春·江西宜春）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意知，且，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.故选：D.
【例2-7】（2024春·安徽联考）（多选）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为正实数、满足，
对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，B错；
对于C选项，当，时，，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD.
【例2-8】已知且．
（1）求的最大值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用基本不等式求的最大值；（2）首先构造，再利用基本不等式求最值.
【详解】（1）
当且仅当时，等号成立．
的最大值是
（2）
当且仅当即时，等号成立．
的最大值是
题型3：配凑法求最值
【例3-1】若0答案 1 解析 当00,则 ≤=1,当且仅当2-a=a,即a=1时,等号成立.
【例3-2】已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【详解】由于，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为. 故选：A.
【例3-3】若0答案
解析 由00,1-3x>0,
则2x(1-3x) =×3x(1-3x)≤×=,
当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.
【例3-4】已知，求的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此取到最大值．
故选：B.
【例3-5】(-6≤a≤3)的最大值为 ( )
A.9 B. C.3 D.
答案 B
解析 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时,等号成立,故所求最大值为.
【例3-6】已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 ( )
A.16 B.9 C.4 D.36
答案 B
解析 (1+x)(1+2y)≤==9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立,故所求最大值为9.
【例3-7】已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答.
【详解】因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
故选：A
【例3-8】已知任意的正数a,b,c,有≥成立,当且仅当a=b=c时,等号成立.若0A.6 B.4 C.5 D.3
答案 B
解析 根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4,
当且仅当m=6-2m,即m=2时,等号成立,
故m2(3-m)的最大值为4.
【题型4】分离常数—分式有关的式子求最值
【例4-1】已知，求的最小值.
分析：求最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.
【例4-2】已知，则的最小值为 ．
【答案】3
【详解】由于，所以，故，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：3
【例4-3】当时，若在时取得最小值，则 .
【答案】4
【详解】因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，
将代入，故，故.
故答案为：4
【例4-4】已知，求的最大值；
【答案】1
【详解】∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时，上式等号成立，
故当时，．
【例4-5】已知，则的最小值是（ D ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【例4-6】已知，则的最小值为（ B ）
A．5 B．3 C． D．或3
【答案】B
【例4-7】（2023·广西）函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】因为，则，
所以≤，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.
【例4-8】（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数（）的最大值是__________．
【答案】
【解析】当，.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时
，即. 所以，最大值为
【例4-9】（2023·江苏）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，故选：A
【例4-10】（2023·浙江）函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【解析】因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：
【例4-11】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为_________．
【答案】
【解析】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.故答案为：
【例4-12】（2024高一·全国·专题练习）函数的最大值为
【答案】/
【分析】变形后运用基本不等式求解即可．
【详解】．
因为，所以，，
当且仅当，即 时，等号成立．
所以．
故答案为：．
【例4-13】函数y=的最大值为
【答案】
【例4-14】函数 (x＞1）的最小值为
【答案】
【题型5】1的代换
【例5-1】已知都是正数，且.求证：
【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，即：；
【例5-2】（1）若x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值
若x>0,y>0,x+y=1,求+的最小值
已知，，，则的最小值为
（4）若x>0,y>0,xy=9x+y,求x+y的最小值
解 ∵+=1,x>0,y>0,
∴x+y=(x+y)=10++≥10+2=16,
当且仅当=即x=4,y=12时,等号成立.
即x+y的最小值为16.
延伸探究
（2）若x>0,y>0,x+y=1,求+的最小值.
解 ∵x+y=1,x>0,y>0,
∴+=(x+y)=10++≥10+2=16,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
即+的最小值为16.
（3）已知，，，则的最小值为
【答案】27
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
（4）若x>0,y>0,xy=9x+y,求x+y的最小值.
解 ∵x>0,y>0,xy=9x+y,∴+=1,
由例1可知,x+y的最小值为16.
反思感悟 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
【例5-3】已知a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.5
答案 C
解析 ∵a>0,b>0,a+b=2,
∴+=1,
∴+==++≥+2=,
当且仅当b=2a,即a=,b=时取等号.
【例5-4】（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因为正数满足，所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
【例5-5】已知,则的最小值是
【答案】4+2
【例5-6】（2023春·江苏南京）已知非负数x，y满足,则的最小值是___________.
【答案】4
【解析】由，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
【例5-7】设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
【答案】A
【分析】根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为均为正实数，
所以，当且仅当，即时取等号.
因此的最小值为.
故选：A.
【例5-8】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
【答案】A
【解析】因为正数a，b满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立，故选：A.
【例5-9】已知正实数a，b满足a+b=，则的最小值为
【答案】5
【例5-10】已知都是负实数，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：
.选B
考点：重要不等式.
【题型6】换元法
【例6-1】若正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由配方可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由可化为，因为均为正数，
所以由基本不等式可得，整理可得，
即，当且仅当，即时取等号.
故选：C
【点睛】本题主要考查基本不等式，属于中档题.
【例6-2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【解析】已知，且xy+2x+y=6，y=
2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，故2x+y的最小值为4.
故选:A
【例6-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【答案】3
【解析】因为，，，所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，所以，
解得或（舍）所以当时，有最小值3.故答案为：3
【例6-4】若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式及不等式的解法可得答案.
【详解】因为，，
所以即，当且仅当时，等号成立；
解得或（舍）.
故选：B.
【题型7】消元法
【例7-1】已知x>0,y>0,x+8y=xy,求x+2y的最小值.
解 因为x>0,y>0,x+8y=xy,
所以+=1,
所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18,
当且仅当即时等号成立.
所以x+2y的最小值为18.
【例7-2】若，，且，则的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．16
【答案】C
【分析】由可得，从而将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意，，得，
故，
由于，故，
当且仅当即时取等号，即，
故的最小值是13，
故选：C
【例7-3】（2023·重庆沙坪坝）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D
【例7-4】已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】用来表示得，代入得，再利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】,，则有，
，
当且仅当，即时等号成立，此时，
故选：B.
【例7-5】若正数x，y满足，则的最小值是（ ）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
【例7-6】若实数a,b满足a2+2ab=1,则a2+b2的最小值是 .
答案
解析 由a2+2ab=1可得b=,
所以a2+b2=a2+=+-≥2-=,
当且仅当a2=时,等号成立.
【题型8】基本不等式的实际应用
【例8-1】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【解析】
【分析】
设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，由题意得出，利用基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论.
【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，
则，.
由基本不等式得.
当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是.
因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要结合定值条件对所求代数式进行合理配凑，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
【例8-2】某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
【答案】A
【分析】设乙选手总共用时，根据题意表示出，然后与作差，比较大小，即可得到结果.
【详解】由题意可知对于选手甲，，则
设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则
即，即甲先到达终点
故选:A.
【例8-3】某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
【答案】B
【解析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
【例8-4】古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
【例8-5】设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
【答案】最大面积是，.
【解析】
【分析】
由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.
考点七 利用基本不等式比较大小
【例7-1】（2023·甘肃）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.故选：B
【例7-2】（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以；
因为，所以，即，
因为，所以，即，
因此，故选：D
【一隅三反】
1．（2023·云南）若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．
【答案】
【解析】，，，则，，，
综上所述：最大的一个是.
故答案为：
2．（2023·河北邯郸·高一校考期末）（多选）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，且，
所以，即，故A错误，B正确；
所以，即，故C错误，D正确.
故选：BD.
3．（2023·河北唐山·）（多选）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】，则，A对；
，而，
所以，即，B错；
且，仅当等号成立，而，故，C对；
，而，
所以，即，D对.
故选：ACD
1. 已知、，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用作差法可证明出所证不等式成立.
【详解】，，即.
【点睛】本题考查利用作差法证明基本不等式的变形，考查推理能力，属于基础题.
2. 已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证；
（2）由基本不等式得，可得证.
【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
3. 当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？
【答案】或时，取得最小值，最小值为.
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的的值，从而可得出结论.
【详解】，当且仅当，即时等号成立.
所以，当或时，取得最小值，最小值为.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
4. 已知，求的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，在时，将代数式变形为，利用基本不等式的变形可求出的最大值，综合可得出结论.
【详解】当时，.
当时，，，，
当且仅当，即时取等号.
的最大值为，此时.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
10. （1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值.
【详解】（1），，，
当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；
（2）由知.
当或时，；
当时，，由基本不等式可得.
当且仅当，即当时等号成立.
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.
11. （1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81
【解析】
【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；
（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．
【详解】设两个正数为a，b
（1），则，当且仅当等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2），则当且仅当等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．
13. 已知、、都是正数，求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由基本不等式可得出，，，然后利用不等式的性质可得出结论.
【详解】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性质可得，
当且仅当时等号成立.
【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
14. 已知，求证：的最大值是.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用基本不等式与不等式的性质可证明出结论.
【详解】，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最大值是.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
16. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
【答案】大于，理由见解析
【解析】
【分析】
设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金大于.
【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
【答案】最大面积是，.
【解析】
【分析】
由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.