2.5 与圆的有关的位置关系
2.5.1 点、直线与圆的位置关系
【考点一 点与圆的位置关系】
【归纳总结】点与圆位置关系的判断
几何法：根据点与圆心连线距离d与半径r的大小比较来确定
代数法：将点坐标代入圆方程中，“=”左右两边进行大小比较
1．点与圆：的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心
C．点在圆上 D．点是圆心
【变式】已知圆，则原点O在（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
2．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是______
【考点二 直线与圆的位置关系】
【题型一 直线与圆位置关系的判断】
【归纳总结】直线与圆位置关系的判断
1.几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小比较来确定
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，根据一元二次方程解的个数判断
3.直线系法：若动直线过定点，且该定点在圆的内部，则直线与圆相交
【注意】其他情况不能确定直线与圆的位置关系
（几何法）
3．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2) B．圆心到直线的距离为 C．直线与圆相交 D．圆的半径为
【变式】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
（直线系法）
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【变式】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定
【题型二 根据直线与圆的位置关系求参数】
5．直线与圆没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】“”是直线和圆 相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（部分圆）
7．函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是______．
【变式】直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
8．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练习】若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【考点三 直线与圆相切】
【题型一 过一点的圆的切线方程】
【归纳总结】求过一点的圆的切线方程
1.根本原理：根据圆切线的性质列式进行求解
2.圆切线的性质：
（1）已知切点坐标：连接圆心与切点，其长度（两点距离公式）=半径
（2）未知切线坐标：圆心到直线的距离（点线距离公式）=半径
【注意】设直线方程时，需考虑采用何种直线方程，注意对应直线方程使用时的易错点。如点斜式方程，注意讨论直线斜率不存在的情况
（点在圆上）
9．经过点且与圆相切的直线方程为__________．
【变式】已知点为以原点为圆心的圆上一点，则过点的圆的切线方程为______．
（点在圆外）
10．（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
11．已知⊙O：x2＋y2＝1，点A（0，－2），B（a，2），从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B．∪
C．∪ D．
【题型二 圆的切线长】
【归纳总结】圆的切线长
切线长指圆外一点做圆的切线，该点与切点之间的线段长度
求切线长的根本原理是利用勾股定理建立关系
（一条切线）
12．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A． B． C． D．
13．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【变式】已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ．
（两切线关系）
14．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
【变式】过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三 切点弦及其方程】
【归纳总结】圆的切点弦问题
切点弦：过圆外一点可以作圆的两条切线，连接两切点形成的线段叫做圆的切点弦
切点弦长度：利用等面积法建立关系
切点弦所在的直线方程
①利用切点弦被圆心与圆外一点连线的直线垂直平分，列式进行求解
②结论：过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
（切点弦的长度）
16．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（ ）
A． B． C． D．
17．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ．
（切点弦所在直线方程）
若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，过点作该圆的两条切线，切点分别为.
求该圆的标准方程；
求直线的方程.
19．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ．
【考点四 直线与圆相交】
【题型一 求弦长】
【归纳总结】求直线与圆相交时的弦长
1.几何法：根本是勾股定理，弦长 （弦心距为,圆的半径为）
2.代数法：将直线与圆方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则弦长 (直线的斜率存在).
（中点弦）
20．圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式】已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________．
（一般弦）
21．直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【变式】已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ）
A． B．5 C．4 D．2
22．若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（ ）
A． B．4 C． D．－4
（最短弦长）
23．已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ．
【变式】已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ．
【题型二 根据弦长求参数】
24.（多选）直线过点且与直线平行．若直线被圆截得的弦长为，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
25.（多选）已知直线与圆相交于不同的两点A B，O是坐标原点，且有，则k的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
26．已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【题型三 相交弦所在的直线方程】
（中点弦）
27．若为圆的弦的中点，则直线的方程为______．
（一般相交弦）
28．（多选）若直线与圆：交于，两个不同的点，且，则的值为（ ）
A．0 B．5 C．6 D．－6
【考点四 圆上动点到直线的定距离】
（一点）29．已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 .
（两点）30．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l.若曲线上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是 .
（三点）31．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
【变式】已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 .
（四点）32．（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（ ）
A．0 B．1 C． D．2.5 与圆的有关的位置关系
2.5.1 点、直线与圆的位置关系
【考点一 点与圆的位置关系】
【归纳总结】点与圆位置关系的判断
几何法：根据点与圆心连线距离d与半径r的大小比较来确定
代数法：将点坐标代入圆方程中，“=”左右两边进行大小比较
1．点与圆：的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心
C．点在圆上 D．点是圆心
【答案】B
【分析】把点的坐标代入圆的方程左边得到点在圆内，再求出圆心判断得解.
【详解】由题得，
所以点在圆内.
又，
所以圆心为.
所以点在圆内且不是圆心.
故选：B
【变式】已知圆，则原点O在（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
【答案】B
【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点求出距离和半径对比可判断.
【详解】由圆的标准方程，知圆心为，
则原点与圆心的距离为，因为，
所以，即原点在圆外.
故选：B.
2．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【详解】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
【变式】已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是______
【答案】
【解析】先求出以为直径的圆的方程，再由点在圆外，列不等式，解不等式即可得结论．
【详解】因为点，，
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，
因为点在以为直径的圆外，
所以，解得或．
故的取值范围是．
故答案为：．
【考点二 直线与圆的位置关系】
【题型一 直线与圆位置关系的判断】
【归纳总结】直线与圆位置关系的判断
1.几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小比较来确定
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，根据一元二次方程解的个数判断
3.直线系法：若动直线过定点，且该定点在圆的内部，则直线与圆相交
【注意】其他情况不能确定直线与圆的位置关系
（几何法）
3．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
【答案】AD
【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
【变式】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
【答案】B
【分析】根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定.
【详解】因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
故选：B.
（直线系法）
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【来源】广东省韶关市武江区市实验中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试题
【答案】B
【分析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.
【详解】直线恒过定点，
而，故点在圆的内部，
故直线与圆的位置关系为相交，
故选：B.
【变式】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解.
【详解】直线，
即，
令，解得，
即直线过点，
又，
则点在圆内，
所以直线与圆相交，有个公共点，
故选：C.
【题型二 根据直线与圆的位置关系求参数】
5．直线与圆没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆心到直线的距离大于半径求解．
【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为，
所以，由于，平方整理得，，
所以．
故选：A．
【变式】“”是直线和圆 相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】圆 的圆心，半径为，
若直线和圆 相交，
则，解得，
所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件.
故选：B.
6．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题意，设直线的方程为，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即
曲线表示圆心，半径为1的圆，
圆心到直线的距离应小于等于半径，
，即，解得.
故选：C.
（部分圆）
7．函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】画出函数的图象与函数的图象，结合图象求得的取值范围.
【详解】由两边平方并化简得，
表示圆心在原点，半径为的圆在轴上方的部分（含）.
画出函数的图象与函数的图象如下图所示，
由消去并化简得，
令，解得，
由于函数的图象与函数的图象有两个交点，
结合图象可知，的取值范围是.
故答案为：
【变式】直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：
8．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆，包括点，．由直线与圆的位置关系可得结论（需要求出切线的斜率）
【详解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，1为半径，且位于直线右侧的半圆，包括点，．
如图，当直线l经过点时，l与曲线C有两个交点，此时，直线记为；
当l与半圆相切时，由，得，切线记为．
由图可知当时，l与曲线C有两个交点，
故选：A．
【练习】若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可知直线过定点，曲线表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，因为有两个交点，所以先求出当直线与圆相切时切线的斜率，再根据图像可得斜率的取值范围.
【详解】直线可化为所以直线过定点A.
曲线可变形整理为由下图所示：
设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足
由圆心到直线的距离为解得
所以
故答案为：.
【考点三 直线与圆相切】
【题型一 过一点的圆的切线方程】
【归纳总结】求过一点的圆的切线方程
1.根本原理：根据圆切线的性质列式进行求解
2.圆切线的性质：
（1）已知切点坐标：连接圆心与切点，其长度（两点距离公式）=半径
（2）未知切线坐标：圆心到直线的距离（点线距离公式）=半径
【注意】设直线方程时，需考虑采用何种直线方程，注意对应直线方程使用时的易错点。如点斜式方程，注意讨论直线斜率不存在的情况
（点在圆上）
9．经过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.
【详解】解：圆的标准方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即，
化简得，
解得，，
综上：直线方程为：，
故答案为：
【变式】已知点为以原点为圆心的圆上一点，则过点的圆的切线方程为______．
【答案】
【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点处的切线的方程.
【详解】设切线斜率为.
,
直线的斜率为：
由题意可得直线和切线垂直，
故切线的斜率为：
故切线的方程为：
即
故答案为：
（点在圆外）
10．（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解.
【详解】圆的圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切得：，解得或，
所以直线的方程为：或.
故选：AC
【变式】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：.
又因为光线与圆相切，所以，,
整理：，解得：，或,故选D．
11．已知⊙O：x2＋y2＝1，点A（0，－2），B（a，2），从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B．∪
C．∪ D．
【答案】B
【分析】根据题意，先设过点的切线的斜率为，得到切线方程为，根据题意，求出，得到切线方程，与联立求交点坐标，进而可得出结果.
【详解】解：易知点在直线上，过点作圆的切线，
设切线的斜率为，则切线方程为，
即，
由，得，
∴切线方程为，和直线的交点坐标分别为，
故要使视线不被挡住，则实数的取值范围是.
故选：B.
【题型二 圆的切线长】
【归纳总结】圆的切线长
1.切线长指圆外一点做圆的切线，该点与切点之间的线段长度
2.求切线长的根本原理是利用勾股定理建立关系
12．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.
【详解】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，
所以有，
因为过点向圆作切线，切点为，
所以
所以，
故选：C
13．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可.
【详解】由题意知，直线过圆心，即，
化简得在上，
如图，为使最小，
只需圆心与直线上的点的距离最小，
如图所示：
所以的最小值为，
故选：B
【变式】已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用数量积的运算律，结合圆的切线性质求解.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，又，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为1.
故答案为：1
（两切线关系）
14．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求 的面积，结合对称性可得结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
由切线性质可得，，，
又点的坐标为，
所以，
所以，
所以的面积，
的面积，
所以四边形的面积.
故选：D.
【变式】已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
四边形的面积，
则当最小时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，
，
此时.
故选：A
15．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.
【详解】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角，
由于,所以,
由二倍角公式可得，
故选:B
【变式】过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设是直线的动点，由题意可得是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，计算可得．
【详解】由圆，可得圆心为，半径为，
设是直线的动点，自向圆作切线，
当长最短时，两切线所成的角最大，
即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，
由点到直线的距离公式可得，
，，，
．
故选：C．
【题型三 切点弦及其方程】
【归纳总结】圆的切点弦问题
切点弦：过圆外一点可以作圆的两条切线，连接两切点形成的线段叫做圆的切点弦
切点弦长度：利用等面积法建立关系
切点弦所在的直线方程
①利用切点弦被圆心与圆外一点连线的直线垂直平分，列式进行求解
②结论：过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
（切点弦的长度）
16．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案.
【详解】圆，且，则，
又，∴，利用面积相等，∴，
故选：D．
17．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解.
【详解】设圆的圆心为，半径为1，
由切线长定理可得，
又因为，，则，所以，
所以，则四边形面积为，
所以，
当的长最小时，弦长最小，
而的最小值为圆心到直线的距离，
所以，所以．
故答案为：.
（切点弦所在直线方程）
18．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程.
【详解】①点到直线距离等于半径，
∴，∴圆的标准方程为
②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点；
由圆的切线的性质可知，，
∴
∴，即
故答案为：①②
19．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ．
【答案】
【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可.
【详解】设,，易知
由平面向量数量积的几何意义可知，
所以有
所以点在直线上
故直线的方程为，过定点
故答案为：
【考点四 直线与圆相交】
【题型一 求弦长】
【归纳总结】求直线与圆相交时的弦长
1.几何法：根本是勾股定理，弦长 （弦心距为,圆的半径为）
2.代数法：将直线与圆方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则弦长 (直线的斜率存在).
（中点弦）
20．圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】配方法将一般式方程整理成标准方程，确定圆心和半径之后根据弦长公式可求.
【详解】将配方得,
圆心为，
所以弦长为.
故选：B.
【变式】已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________．
【答案】6
【分析】根据题意可得直线的方程为，根据垂径定理可求，再求点到直线的距离，计算面积．
【详解】由已知点，所以．
因为为线段的中点，所以，
所以，所以直线的方程为，即．
设点到直线的距离为，则，
所以．
设点到直线的距离为，则，
则的面积
故答案为：6．
（一般弦）
21．直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.
【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
【变式】已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ）
A． B．5 C．4 D．2
【答案】A
【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算．
【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为，
到直线的距离为，
所以，
所以，
故选：A．
22．若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（ ）
A． B．4 C． D．－4
【答案】D
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.
【详解】由题意得圆的圆心到直线的距离为
，
所以，所以，
所以
，
故选：D
（最短弦长）
23．已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ．
【答案】
【分析】根据直线平行分，时，计算求解参数，再应用几何法计算弦长即可求解.
【详解】当时，显然不符合题意，
当时，由两直线平行，得，解得或，
当时，两直线重合，不符合，所以．
由得，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
截得的弦长为，
当且仅当时，取等号．
故截得的弦长最短为．
故答案为：；.
【变式】已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案.
【详解】依题意，圆，圆心，半径为，
直线过定点，，故点在圆内，
当直线过圆心时，弦长最大，为直径，
当直线与垂直时，弦长最小，
此时的最小值为，故的取值范围为．
故答案为：．
【题型二 根据弦长求参数】
24.（多选）直线过点且与直线平行．若直线被圆截得的弦长为，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】AD
【分析】求出直线的表达式，利用垂径定理求出圆心到该直线的距离，建立表达式求解值即可.
【详解】设直线的方程为，过点，故
所以直线l的方程为，圆的圆心，半径为2，
直线l被圆截得的弦长为，半弦长为，则弦心距为1，
圆心到直线的距离，解得或，故选：AD.
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，以及直线的方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到圆心到直线的距离，从而利用点到直线距离公式求解.
【变式】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
25.（多选）已知直线与圆相交于不同的两点A B，O是坐标原点，且有，则k的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设中点为M，记，由垂径定理求得弦长，然后求得的范围，再根据点到直线距离公式求得的范围．
【详解】设中点为M，记，于是，，，
于是：，解得：，又由直线和圆有两个交点可得：，于是，
即，解得，．
故选：BC．
26．已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合斜率关系可求得实数的值.
【详解】将直线的方程化为，由可得，
所以，直线过定点，且，故点在圆内，
圆心为，当时，圆心到直线的距离取最大值，此时取最小值，
，所以.
故选：A.
【题型三 相交弦所在的直线方程】
（中点弦）
27．若为圆的弦的中点，则直线的方程为______．
【答案】
【分析】根据条件可知，利用两直线的位置关系求直线方程.
【详解】设圆的圆心， ,则，由条件可知，
则的斜率为1，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
（一般相交弦）
28．（多选）若直线与圆：交于，两个不同的点，且，则的值为（ ）
A．0 B．5 C．6 D．－6
【答案】AD
【分析】表达出圆心到直线的距离，根据垂径定理及特殊角计算出，列出方程，求出答案.
【详解】圆的半径为3，设圆心到直线的距离为，
则，因为，所以，
所以，解得：或.
故选：AD.
【考点四 圆上动点到直线的定距离】
（一点）29．已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，圆 C 过原点且原点到直线 的距离为1，则 在直线 上，且与 相切，与 无交点，可解问题.
【详解】设与直线 平行且距离为的直线方程为，
则，解得或，
所以与直线 的距离为1的点都在
直线 和 上，
又圆 过原点
且原点到直线 的距离为，
则 在直线 上，且与 相切，
所以
故答案为：
（两点）30．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，反射光线所在的直线为l.若曲线上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据对称确定直线的方程，再根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围.
【详解】由题意知反射光线所在的直线经过点，
设反射光线的所在直线的方程为，点，在直线方程上，
，解得，
反射光线的所在直线的方程为，即.
曲线可化为，
可得其圆心为，半径,
根据点到直线的距离公式可得点到的距离.
因为圆上有且仅有两个点到直线l的距离为1，
所以 或.
故答案为：.
（三点）31．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得.
【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1，
则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示：
解得.
故答案为：
【变式】已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意，分析可得圆心到直线的距离小于等于，故可求参数的取值范围.
【详解】由题，当圆心到直线的距离为时，圆上恰好有三个点到直线的距离为，
则，所以．
故答案为：.
（四点）32．（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】AB
【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项.
【详解】因为圆的方程为：，
所以圆心，半径.
若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则
圆心到直线的距离等于.
即，解得.
显然0和1在该区间内.
故选：AB.
