3.2.1 双曲线及其标准方程
【基础巩固】
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．设是双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，为线段的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆
B．点的轨迹可能是一个定点
C．点的轨迹不可能是圆
D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于两点，其中在第一象限，若，则的周长为________．
7．某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处宽，底部宽，，底部离最窄处垂直高度为，斧高.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与平行，则其长度为________.
8．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；
(3)经过两点．
【能力拓展】
9．在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．②
10．已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则________．
【素养提升】
12．学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长米、宽米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求的距离尽可能远．
(1)两位同学应处在什么位置？请说明理由；
(2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点处分别放置两个音箱（两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过秒（声音在空气中的传播速度为米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到米）．3.2.1 双曲线及其标准方程
【基础巩固】
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线方程可知：，且焦点在轴上，
则，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.
2．设是双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，为线段的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线，则，
由于为的中点，为线段的中点，且，
所以，则.故选：C.
3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为，
由双曲线的定义可得，解得或，
设点，则或，且，易知点，
所以，，
当时，；
当时，.
综上所述，，故.
故选：A.
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点在双曲线右支上，
由双曲线的定义可得，
又，两式联立得.
又，所以，即为直角三角形，
所以.故选：C.
5．（多选）已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆
B．点的轨迹可能是一个定点
C．点的轨迹不可能是圆
D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线
【答案】ABD
【解析】对A，如图1，连接，
由已知得，所以．
又因为点在圆内，所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对；
对B，如图2，
当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对；
对D，如图3，连接，
由已知得，所以．
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对；
对C，当点与点重合时，如图4，
则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点，
此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错.
故选：ABD.
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于两点，其中在第一象限，若，则的周长为________．
【答案】
【解析】由双曲线定义可得，
所以，
故周长为
故答案为：.
7．某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处宽，底部宽，，底部离最窄处垂直高度为，斧高.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与平行，则其长度为________.
【答案】
【解析】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意，，所以，
因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线方程为，因为斧高，
令，得，所以，解得，
所以，所以.故答案为：.
8．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；
(3)经过两点．
【答案】见解析
【解析】(1)由，
当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点的坐标代入，得，不符合题意；
当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为：．
(2)设所求双曲线的方程为．
∵双曲线过点，∴，
解得或（舍去）．故双曲线的标准方程为．
(3)可设双曲线的方程为，
则有解得则双曲线的标准方程为．
【能力拓展】
9．在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．②
【答案】A
【解析】设点，则，
由可得，即，
即曲线上存在点，使得，即为“合作曲线”，
对于①，由双曲线可得，
则双曲线上存在点满足，故①为“合作曲线”；
对于②，由椭圆可得，
则椭圆上存在点满足，故②为“合作曲线”；
对于③，因为圆心到直线的结论，
故直线上不存在一点满足，故③不为“合作曲线”；故选：A.
10．已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，
圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义，
所以，即的最小值为.
故选：D.
11．双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则________．
【答案】
【解析】由题可知三点共线，三点共线，如图，连接，，
设，则，因为，所以，
又，所以，，
所以，，
所以，得，
则．
故答案为：.
【素养提升】
12．学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长米、宽米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求的距离尽可能远．
(1)两位同学应处在什么位置？请说明理由；
(2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点处分别放置两个音箱（两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过秒（声音在空气中的传播速度为米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到米）．
【答案】见解析
【解析】(1)由题意可得
，
当四点共线时，两点间的距离最大，
此时两点分别在圆弧的中点，距离为米．
(2)如图所示，以所在的直线为轴，以中轴线为轴建立平面直角坐标系，
则，．
根据题意可得，
则两点在以为焦点的双曲线上，，即．
设双曲线方程为，则，
解得，所以，即．
因此音箱距中轴线距离约为时为最佳放置点．
