5.2.1三角函数的概念及诱导公式（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.1　三角函数的概念及诱导公式一
基础过关练
知识点1　三角函数的定义及应用
1.已知角θ的终边过点(-1,1),则cos θ=(　　)
A.- B. C.-1 D.1
2.若45°角的终边上有一点(4-a,a+1),则a=(　　)
A.3 B.- C.1 D.
3.已知角α的终边经过点P(-5,n),且tan α=,则cos α的值为(　　)
A. B.- C. D.-
4.在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点和,那么sin αcos β=(　　)
A.- B.- C. D.
5.设a<0,角α的终边与圆x2+y2=1的交点为P(-3a,4a),那么sin α+2cos α=(　　)
A.- B.- C. D.
知识点2　三角函数值的符号的判断
6.若C为△ABC的内角,则下列一定取正值的是(　　)
A.sin C B.cos C C.tan C D.
7.若角α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.已知点M(tan α,-cos α)在第三象限,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.判断下列各式的符号:
(1)sin 145°cos(-210°);
(2)sin 3·cos 4·tan 5.
知识点3　诱导公式一的应用
10.计算:sin(-1 410°)=　　　　.
11.求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)·sin 750°;
(2)sin+cos ·tan 4π.
能力提升练
12.以原点为圆心的单位圆上一点P(1,0)绕点O逆时针旋转到达点Q,则点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
13.(多选)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是(　　)
A.tan A与cos B B.cos B与sin C
C.tan 与cos D.tan 与sin C
14.(多选)若角α的终边在第一象限,则下列选项中,一定为正数的是(　　)
A.sin 2α B.cos 2α C.tan D.sin
15.(多选)已知函数f(x)=loga|x-2|+2(a>0且a≠1)的图象经过定点A,且点A在角θ的终边上,则+的值可能是(　　)
A. B. C. D.
16.已知α∈[-3π,3π],且cos=-,写出一个满足条件的α的值:　　　　.
17.角α的终边在直线y=3x上,且sin α<0,若P(m,n)是角α终边上一点,O为原点,OP=,则m-n=　　　　.
18.已知直线y=x与以原点为圆心的单位圆交于A,B两点,点A在x轴的上方,O是坐标原点.
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值;
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值.
19.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
20.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M的坐标为,且OM=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
答案
1.A　由三角函数的定义可得cos θ==-.
故选A.
2.D　由题意得tan 45°==1,所以a=.故选D.
3.B　因为tan α=,角α的终边经过点P(-5,n),所以=,解得n=-12,
所以cos α==-.
故选B.
4.B　因为角α,β的终边与单位圆分别交于点和,
所以由三角函数的定义可得sin α=,cos β=-,
所以sin αcos β=×=-.
故选B.
5.D　因为角α的终边与圆x2+y2=1的交点为P(-3a,4a),所以(-3a)2+(4a)2=1,
解得a2=,
又∵a<0,∴a=-,
∴P,
∴cos α=,sin α=-,
∴sin α+2cos α=,
故选D.
6.A　由题意知C∈(0,π),故sin C>0,cos C,tan C的符号不定,
故选A.
7.D　因为角α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0,
所以点P(sin α,cos α)在第四象限,故选D.
8.D　因为点M(tan α,-cos α)在第三象限,
所以tan α<0,cos α>0,
所以角α的终边在第四象限.
故选D.
9.解题思路　(1)∵145°角是第二象限角,∴sin 145°>0,
∵-210°=-360°+150°,∴-210°角是第二象限角,
∴cos(-210°)<0,
∴sin 145°cos(-210°)<0.
(2)∵<3<π,π<4<,<5<2π,
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,
∴sin 3·cos 4·tan 5>0.
10.答案　
解题思路　由三角函数的诱导公式一,可得sin(-1 410°)=sin(-4×360°+30°)=sin 30°=.
11.解题思路　(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°·cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=.
(2)原式=sin+costan(4π+0)=sin +cos ×0=.
12.D　设Q(x,y),由任意角的三角函数定义可得x=cos =cos =,y=sin =sin =.∴点Q的坐标为.
故选D.
13.CD　对于A,当A=时,tan A无意义,故A不满足题意;
对于B,当B为钝角时,cos B<0,故B不满足题意;
对于C,因为B,C∈(0,π),所以,∈,
所以tan >0,cos >0,故C满足题意;
对于D,因为A,C∈(0,π),所以∈,sin C>0,
所以tan >0,故D满足题意.
故选CD.
14.AC　∵角α的终边在第一象限,
∴2kπ<α<2kπ+,k∈Z,
∴kπ<∴tan 一定为正,sin 可能为正,可能为负,故C正确,D错误;
4kπ<2α<4kπ+π,k∈Z,∴角2α是第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角,故sin 2α恒正,cos 2α可正可负可为0,故A正确,B错误.
故选AC.
15.BD　因为函数f(x)=loga|x-2|+2(a>0且a≠1)的图象经过定点A,
所以A(3,2)或A(1,2),
当点A(3,2)在角θ的终边上时,sin θ==,tan θ=,
则+=+=,
当点A(1,2)在角θ的终边上时,sin θ==,tan θ=2,
则+=+=,
故选BD.
16.答案　π(答案不唯一)
解题思路　因为cos=-,所以α-=2k1π+或α-=2k2π-,k1,k2∈Z,
所以α=2k1π+π或α=2k2π-,k1,k2∈Z,
又α∈[-3π,3π],所以一个满足条件的α的值为π.
17.答案　2
解题思路　因为P(m,n)是角α终边上一点,所以n=3m,又OP=,
所以=|n|=,解得n=±3,
又sin α<0,所以n<0,
所以n=-3,m=-1,
所以m-n=2.
18.解题思路　(1)由题意可知A点的坐标为,
所以sin α==,cos α==.
(2)由题意可得B点的坐标为,
所以tan β==1.
19.解题思路　(1)在单位圆中作出满足sin α≥的角α的终边的范围,如图1中阴影部分(包含边界),
故满足条件的角α的集合为α2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z.
(2)在单位圆中作出满足cos α≤-的角α的终边的范围,如图2中阴影部分(包含边界),
故满足条件的角α的集合为α2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z.
20.解题思路　(1)由=-,可知sin α<0,
由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,
∴角α的终边在第四象限.
(2)∵OM=1,∴+m2=1,解得m=±.
∵角α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由正弦函数的定义可知sin α===-.