平面向量的数量积
课前必备知识
课标要求
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量数量积与向量投影的关系.3.掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算.4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.5.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
知识梳理
1．两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)__叫做向量a，b的夹角．特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作__a⊥b__．
2．向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量__|a||b|cos_θ__叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos_θ__．
规定：0与任一向量的数量积为__0__．
3．向量数量积的几何意义
设两个非零向量a，b，它们的夹角是θ， e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b__投影__，叫做向量a在向量b上的__投影向量__．记作|a|cos θe.
4．向量数量积的性质
a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ.
(1)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__；特别地，a·a＝__a2＝|a|2__或|a|＝____.
(2)a·b＝0 __a⊥b__．
(3)cos θ＝____．
(4)|a·b|__≤__|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝__b·a__(交换律).
(2)(λa)·b＝__λ(a·b)__＝__a·(λb)__(λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__．
6．向量数量积的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__．
(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝__x2＋y2__，|a|＝____．
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____，此为两点间的距离公式．
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b __x1x2＋y1y2＝0__．
(5)若a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝____．
常用结论
1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
课前训练
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．(2025·海南校考阶段练习)已知a＝(2，1)，b＝(3，0)，则向量a在向量b方向上的投影向量为____________．
3．(教材母题必修习题6.3T2改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有( )
A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
A． B．
C． D．1
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为________．
课堂核心考点
考点1 向量的数量积
【例1】 (1)已知e是单位向量，且|2e－a|＝，a＋2e在e上的投影向量为5e，则a与e的夹角为( )
A． B．
C． D．
(2)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝6，＝3，则· ＝( )
A．12 B．16
C．14 D．10
(3)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A． B．
C． D．
求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义a·b＝|a||b|cos θ；②利用基向量，结合向量的运算律；③利用向量的坐标运算．
变式探究
1．已知||＝，||＝，且，的夹角为，则在上的投影向量为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋3b，＝2a－b，＝，则||＝( )
A．2 B．2
C．2 D．6
3．在△ABC中，A＝，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且满足2AD＝DB＝2，AE＝EC＝2，CD交BE于F，设＝a，＝b，则·＝________.
考点2 平面向量数量积的应用
【例2】 (1)如图，一条河的南北两岸平行．游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则其航行速度的大小为( )
A．2 km/h B．2 km/h
C．2 km/h D．14 km/h
(2)在△ABC中，·＋2＝0，·＝，则△ABC的形状为( )
A．等腰直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形
D．等腰(非直角)三角形
(3)(2025·湖南长沙三模)在△ABC中，已知2·＝||||＝32，B(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求平面向量夹角的方法：
①定义法：利用向量积的定义可知，cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|三个量或者找出这三个量之间的关系．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)注意：①夹角的范围为[0，π]；②计算模时，要特别注意|a|＝的应用，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法．
变式探究
4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )
A．24 J B．24 J
C．24 J D．24 J
5．已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且，则点O为△ABC的________心．
6．(2025·黑龙江哈尔滨期中)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，若|AB|＝|AC|＝1，·＝－，则∠BAC的大小为________．
考点3 平面向量数量积的综合应用
【例3】 (1)如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是__________.
(2)(2025·四川成都三模)已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为S1，S2.若S1＝|·|·|·|，则S2的取值范围是( )
A．[，) B．[－1，)
C．[，) D．[－1，)
(1)向量的数量积的综合问题，常常涉及平面向量的基本定理、向量数量积的定义及向量数量积的运算律等基础知识，要求有较强的运算求解能力．
(2)向量数量积的计算有两个最基本的方法，其一是基向量法，其二是坐标法．当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般通过建立平面直角坐标系的方法转化为向量的坐标运算．
变式探究
7．(2025·北京阶段练习)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝30°，则|c|的最大值等于__________．
8．(2025·新疆联考期末)已知O为△ABC的外心，且＝λ＋(1－λ).若向量在向量上的投影向量为μ，其中μ∈[，]，则cos ∠AOC的取值范围为( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]平面向量的数量积
课前必备知识
课标要求
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量数量积与向量投影的关系.3.掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算.4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.5.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
知识梳理
1．两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)__叫做向量a，b的夹角．特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作__a⊥b__．
2．向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量__|a||b|cos_θ__叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos_θ__．
规定：0与任一向量的数量积为__0__．
3．向量数量积的几何意义
设两个非零向量a，b，它们的夹角是θ， e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b__投影__，叫做向量a在向量b上的__投影向量__．记作|a|cos θe.
4．向量数量积的性质
a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ.
(1)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__；特别地，a·a＝__a2＝|a|2__或|a|＝____.
(2)a·b＝0 __a⊥b__．
(3)cos θ＝____．
(4)|a·b|__≤__|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝__b·a__(交换律).
(2)(λa)·b＝__λ(a·b)__＝__a·(λb)__(λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__．
6．向量数量积的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__．
(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝__x2＋y2__，|a|＝____．
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____，此为两点间的距离公式．
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b __x1x2＋y1y2＝0__．
(5)若a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝____．
常用结论
1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
课前训练
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：D 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D.
2．(2025·海南校考阶段练习)已知a＝(2，1)，b＝(3，0)，则向量a在向量b方向上的投影向量为____________．
解析：(2，0) 由题意，a＝(2，1)，b＝(3，0)，|b|＝＝3，所以向量a在向量b方向上的投影向量为·＝×＝(3，0)＝(2，0).
3．(教材母题必修习题6.3T2改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有( )
A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角
解析：A 如图，因为∠AOB＝120°，
所以∠OAC＝60°，
在△OAC中，
由余弦定理得OC＝，
所以OA2＋OC2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，故F1与F3成90°角．故选A.
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
A． B．
C． D．1
解析：B 因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B.
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为________．
解析： 由＝2，得＝，
则＝m＋＝m＋×＝m＋，
又C，P，D三点共线，则m＋＝1，解得m＝，
则·＝(＋)·＝·＋2＝×4×3×＋×42＝.
课堂核心考点
考点1 向量的数量积
【例1】 (1)已知e是单位向量，且|2e－a|＝，a＋2e在e上的投影向量为5e，则a与e的夹角为( )
A． B．
C． D．
(2)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝6，＝3，则· ＝( )
A．12 B．16
C．14 D．10
(3)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A． B．
C． D．
解析：(1)B 因为e是单位向量，且|2e－a|＝，两边平方得
4e2－4a·e＋a2＝10，
即a2－4a·e＝6，(*)
由a＋2e在e上的投影向量为5e，可得·e＝5e，
所以(a＋2e)·e＝5，即a·e＝3，
代入(*)可得，a2＝18，即|a|＝3，
所以cos 〈a，e〉＝＝＝，
因为〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝.故选B.
(2)A 如图，＝－＝－－，
＝＋＝－，
所以·＝(－－)·(－)
＝－·＋2－2＋·
＝－·＋2－2
＝－×6＋16－×9
＝－2＋16－2＝12.故选A.
(3)A ＝(m－n)＋(2n－m－1)，
即－＝(m－n)＋(2n－m－1)，
所以＝(m－n)＋(2n－m)，
因为⊥，
所以·＝[(m－n)＋(2n－m)·]·(－)
＝(2m－3n)·－(m－n)2＋(2n－m)2
＝(2m－3n)||||cos 60°－(m－n)·||2＋(2n－m)·||2
＝(2m－3n)×3×2×－9(m－n)＋4(2n－m)
＝6m－9n－9m＋9n＋8n－4m
＝－7m＋8n＝0，
解得＝.故选A.
求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义a·b＝|a||b|cos θ；②利用基向量，结合向量的运算律；③利用向量的坐标运算．
变式探究
1．已知||＝，||＝，且，的夹角为，则在上的投影向量为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：D 由题意得·＝(－)·＝2－·＝6＋××＝9，
则在上的投影向量为·＝·＝.故选D.
2．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋3b，＝2a－b，＝，则||＝( )
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：A 因为向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，
所以a·b＝|a||b|cos ＝1×2×(－)＝－1，
又因为＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝(2a－b)＋(2a＋3b)
＝2a＋b，
所以||＝
＝
＝＝2.故选A.
3．在△ABC中，A＝，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且满足2AD＝DB＝2，AE＝EC＝2，CD交BE于F，设＝a，＝b，则·＝________.
解析： 设＝λ，＝μ，λ，μ∈(0，1).
因为＝＋＝＋λ
＝＋λ(＋)
＝＋λ(－＋)
＝＋λ，
＝＋＝＋μ
＝＋μ(＋)
＝＋μ(－＋)
＝＋μ，
所以?
因为A＝，AB＝3，AC＝4，
因此·＝(＋)·(－＋)
＝－2＋2－·，
＝－×9＋×16－×3×4×
＝.
考点2 平面向量数量积的应用
【例2】 (1)如图，一条河的南北两岸平行．游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则其航行速度的大小为( )
A．2 km/h B．2 km/h
C．2 km/h D．14 km/h
(2)在△ABC中，·＋2＝0，·＝，则△ABC的形状为( )
A．等腰直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形
D．等腰(非直角)三角形
(3)(2025·湖南长沙三模)在△ABC中，已知2·＝||||＝32，B解析：(1)A 设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，
由题意得，(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋v＝10×4×cos θ＋16＝0，则cos θ＝－，
(v1＋v2)2＝v＋v＋2v1·v2＝100＋16－2×10×4×＝84，则|v1＋v2|＝2(km/h).故选A.
(2)A 因为·＋2＝0，
即(＋)·＝0，即·＝0，
所以⊥，即AC⊥BC，
则∠ACB＝，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以·＝1×1×cos ∠CAB＝，
又∠CAB∈(0，)，所以∠CAB＝，所以∠CBA＝，
所以△ABC是等腰直角三角形．故选A.
(3) 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由2·＝||||得2bccos A＝bc，
所以cos A＝.
又A∈(0，π)，因此A＝，B＝－C.
由||||＝32，
得bc＝a2，
于是sin Csin B＝sin2A＝，
所以sinCsin (－C)＝，
所以2sin Ccos C＋2sin2C＝，
所以sin 2C＋(1－cos 2C)＝，
即sin (2C－)＝0.
因为A＝，所以0所以－<2C－<，
所以2C－＝0或2C－＝π，
所以C＝或C＝.
又因为B所以A＝，C＝，B＝，
则sin C＝.
(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求平面向量夹角的方法：
①定义法：利用向量积的定义可知，cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|三个量或者找出这三个量之间的关系．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)注意：①夹角的范围为[0，π]；②计算模时，要特别注意|a|＝的应用，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法．
变式探究
4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )
A．24 J B．24 J
C．24 J D．24 J
解析：D
以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，
所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，4＋2)，
又因为位移s＝(4，4)，
所以F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24(J)，
故这三个力的合力F所做的功是24 J．故选D.
5．已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且，则点O为△ABC的________心．
解析：外 在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB，
由＋＝，
得(＋)·(－)＝·(－)＝·＝0，
则2＝2，即||＝||，
又＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋，显然⊥，
同理得||＝||，因此点O为△ABC的外心．
6．(2025·黑龙江哈尔滨期中)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，若|AB|＝|AC|＝1，·＝－，则∠BAC的大小为________．
解析： ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
＝＋＝－＝(－)－×(＋)＝－＋，
设＝a，＝b，
则|a|＝|b|＝1，＝a＋b，＝－a＋b，
所以·＝(a＋b)·(－a＋b)
＝－a2－a·b＋b2
＝－－cos∠BAC＋＝－，
得cos∠BAC＝，
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.
考点3 平面向量数量积的综合应用
【例3】 (1)如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是__________.
(2)(2025·四川成都三模)已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为S1，S2.若S1＝|·|·|·|，则S2的取值范围是( )
A．[，) B．[－1，)
C．[，) D．[－1，)
解析：(1)－2 因为O为AB的中点，
所以＋＝2，
从而(＋)·＝2·＝－2||·||.
又||＋||＝||＝2为定值，
再根据||·||≤()2＝1，可得－2||·||≥－2，所以当且仅当||＝||＝1时，即P为OC的中点时等号成立，
所以(＋)·的最小值是－2.
(2)D 如图，设|AM|＝x，|AN|＝y，x，y∈(0，1)，
则S1＝xy，S2＝1－xy－(1－x)－(1－y)＝，
由平面向量数量积的运算可得
|·|＝|(＋)·|＝|·|＝||·||＝1－x，
|·|＝|(＋)·|＝|·|＝||·||＝1－y，
又S1＝|·|·|·|＝(1－x)(1－y)，
所以xy＝(1－x)(1－y)，即x＋y＝1＋xy，即1＋xy≥2，当且仅当x＝y时取等号，
又xy>0，即0<≤2－，即0则S2＝＝＝－xy∈[－1，).故选D.
(1)向量的数量积的综合问题，常常涉及平面向量的基本定理、向量数量积的定义及向量数量积的运算律等基础知识，要求有较强的运算求解能力．
(2)向量数量积的计算有两个最基本的方法，其一是基向量法，其二是坐标法．当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般通过建立平面直角坐标系的方法转化为向量的坐标运算．
变式探究
7．(2025·北京阶段练习)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝30°，则|c|的最大值等于__________．
解析：2 设＝a，＝b，＝c，
因为|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，
所以cos∠AOB＝＝－ ∠AOB＝150°，
又〈a－c，b－c〉＝30°，
所以cos∠ACB＝30°，所以点A，O，B，C共圆，如图所示．
要使|c|最大，即|OC|为直径，在△AOB中，
由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos∠AOB＝7 AB＝，
又由正弦定理得2R＝＝2，
即|c|的最大值等于2.
8．(2025·新疆联考期末)已知O为△ABC的外心，且＝λ＋(1－λ).若向量在向量上的投影向量为μ，其中μ∈[，]，则cos ∠AOC的取值范围为( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析：D 因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ，又因为O为△ABC的外心，所以△ABC为直角三角形且AB⊥AC，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，如图所示．
因为在上的投影向量为μ，
所以在上的投影向量
＝－＝μ－＝(μ－)，
又因为||＝||，
所以cos ∠AOC＝＝＝2μ－1，
因为μ∈[，]，所以2μ－1∈[，]，
即cos ∠AOC的取值范围为[，].故选D.
