一般函数比大小的两大体系10个技巧 讲义（含解析）——2026届高三数学一轮复习

高考一轮复习：比大小
一般函数的比大小问题（会放到5-7题考）
技巧1：特殊值法
技巧：取值时可以先观察选项，尽量取底数的幂次倍，或全正、全负、一正一负的取。
1、若a>b，则（ ）
A. ln(a b)>0 B. 3a<3b C. a3 b3>0 D. │a│>│b│
【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以．
2、】若，且，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
【答案】 B【解析】
.
3、若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　）
A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
【答案】 C【解析】∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；B错；　logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．D错；
0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，C对；
4、设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），下列关系式中正确的是（　）
　 A． q=r＜p B． p=r＜q C． q=r＞p D． p=r＞q
【答案】 B【解析】由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），
q=f（）=ln（）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，
技巧2：图像法
1、若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】分别画出函数的图象，如图所示，由图象，可得.
2、已知，且，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】，，.依次作出，，，在上的图像，如图所示.由图像可知，，，所以.故选：C.
3、正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】，即为函数与的图象交点的横坐标，
，即为函数与的图象交点的横坐标，
，即为函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：.
设均为正数，且，，．比较a,b,c大小。
【答案】．
技巧3：借助“0”和“1”和“”和“2”
对数放缩法:不会放缩的就做减法。
第一步：,即，则需与中点数比；
第二步：改写===；
第三步：=；
第四步：=<=。
第一步：,即，则需与中点数比；
第二步：改写===；
第三步：=；
第四步：=<=。
第一步：,即，则需与中点数- 比；
第二步：改写- ===；
第三步：=；
第四步：- ==。
第一步：,即，则需与中点数- 比；
第二步：改写- ===；
第三步：=；
第四步：- ==。
结论：（a>1),b越接近最近能算的数，那也接近运算的数值，当b与两边的距离相同时，接近大的那个数。
eg: ∈（，3）；
∈（，2）
eg: ∈（-2,- ）
∈（- ，-1）；
3=-
由结论1得2，则- 。
=，
由结论1得1。
结论2、（0eg: ∈（-3，- ）；
∈（-2,- ）
eg: ∈（，2）
∈（1， ）；
，
第一步：,即，则需与中点数比；
第二步：改写 ===；
第三步：=；
第四步： ==。
指数放缩法：（主要是指数为分数的）
第一步：<<,即1<<3，则需与中点数2比；
第二步：改写==；
第三步：2=；
第四步：2=<=。
第一步：<<,即4<<16，则需与中点数10比。
第二步：改写==；
第三步：10=；
第四步：=<=10。
第一步：<<,即<<，则需与中点数比。
第二步：改写==；
第三步：=；
第四步：==<=.
已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】则．故选B．
已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】，，，故，所以。
已知 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 解：∵
4、已知a=，b=log2，c=log，则（　　）
　 A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞a＞b D． c＞b＞a
【答案】 C【解析】 ∵0＜a=＜20=1， b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．
5、已知，，，则
A．　　　　　　B．　　　C．　　　　　　D．
【答案】D【解析】，，，
6、设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵由指、对函数的性质可知：,　　, 　∴有.
技巧4：单调性法（同底，同指，同对，同真数）
1、设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.故选：C
2、已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】，因为在上单调递增﹐则，又.故.
3、设，，，则，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解：因为，所以，即，又，即，所以；故选：B
技巧5：同名相减与0比或者相除与1比
1、已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为，所以；
又，所以，
所以.故选：D.
2、已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【详解】由,因为，故，所以，
因为，故，所以
因为，故，因为，故，
所以，所以，故，
3、已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为，故；
所以 ，即
技巧6：同底比真数，同真数比底，底数与真数相同，换元后用基本不等式
1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 (　　)
Aa【答案】A
解析：由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得．
综上所述，．
故选：A．
技巧7：同构函数法
1.若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
导数中构造函数比大小问题题型总结
技巧1：构造比较大小
此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，
常用变形：①
② =
【典例1】比较下列数的大小
c = , d=,f=,g= ,h =ln , i= ，j= ,
【解析】：c = ,d=, f = ,g= = ,h =ln=,
i= , j= = ,
【典例2】 下列命题为真命题的是（ ）
①；②；③；④．⑤⑥⑦
【解】
，由可得，故正确；
，由，可得，故错误；
，所以，故正确；
因，故，即，，则，，错
，即，即，则⑤正确；
，即，即，则⑥错误；
，即，所以，，则⑦正确
【例3】 设，，，的大小关系为。
【解析】令，则，因此在上单调递减，
又因为，，，
因为，所以．
技巧2：构造f(x)= xlnx比大小（和为定值）
1、已知，且，，，的大小关系为。
【解析】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
4、设，，，则的大小关系为。
【解析】令 ，，
则，所以在上单调递增 ，
所以，即， 所以，
2、已知，，，则，，的大小关系为。
【解析】构造，，，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，故在上单调递减，
所以，即，所以，即.
3、已知，则的大小关系为。
【解析】令，则，
显然当时，是减函数且，故是减函数，
，即，可得，即.
技巧3：构造f(x)= x比大小
1、设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
【解析】设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．
2、已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（ ）
【解析】由题意，令，则，
而，所以时，即在上单调递增，
∴，即。
技巧4：取对数法
已知实数，且，，，比较大小。
【解析】由，，得，，，因此，，. 设函数，则，，，
，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，又，所以。
2、已知，，，比较大小。
【解析】对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
3、已知，则的大小关系为（ ）
【解析】构造函数，则，
当时，，故在上单调递减，
所以，所以，所以，，
因为在上单调递增，所以，同理，
所以。
4、已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________
【解析】由已知，，，
又，则，∴，
，则，，
又，∴，，
而，∴，，综上有．故答案为：．
技巧5：泰勒放缩
几个常用的泰勒展开
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
【典例】(1)0.1；(2) - ln 0.9; (3)ln1.01; (4)cos; (5)sin; (6)tan0.1 ; (7);
;x=0.1
;ln0.9=ln=ln(1+);x=.
;ln1.01=ln(1+0.01);x=0.01.
;x=.
,x=.
,x=0.1
,x= 0.5
设，，则（ ）
A． B． C． D．
泰勒公式
因为，所以，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
已知，则（ ）
A． B． C． D．
泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.