正弦定理与余弦定理
课前必备知识
课标要求
掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理与余弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦的比__相等，并且都等于__外接圆的直径__，即__＝＝＝2R__．
(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的__余弦__的积的两倍，即：
a2＝__b2＋c2－2bc_cos_A__；
b2＝__a2＋c2－2ac_cos_B__；
c2＝__a2＋b2－2ab_cos_C__．
由余弦定理，可以得到如下推论：
cos A＝____；
cos B＝____；
cos C＝____．
2．三角形常用面积公式
(1)S△ABC＝aha(其中ha表示边a上的高)；
(2)S△ABC＝ab sin C＝__bc_sin_A__＝__ac_sin_B__；
(3)S△ABC＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径).
常用结论
1．三角形边角关系
(1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边．
(2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边．
(3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；
(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋c cos A；c＝bcos A＋acos B.
4．解三角形的四种基本类型
(1)已知两角及任一边，求另一角和两边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角；
(3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角；
(4)已知三边，求三角．
课前训练
1．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 在△ABC中，若sin A＝，
则A＝或，因为{，}?{}，
所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C.
2．(2025·高三江苏泰州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，cos B＝，则b＝( )
A． B．1
C．2 D．2
解析：B 因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝，
由正弦定理＝，即＝，解得b＝1.故选B.
3．(教材母题必修6.4.3练习T1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，c＝3，cos A＝，则a＝( )
A． B．2
C．2 D．
解析：A 在△ABC中，b＝1，c＝3，cos A＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋9－2×1×3×＝6，
所以a＝.故选A.
4．(2025·广东茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·＝( )
A． B．－
C．2 D．－2
解析：D 由余弦定理得cos B＝＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝，
故·＝ac cos (π－B)＝－2.故选D.
5．(2025·山西晋城三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为________．
解析：1 因为A＝30°，b2＋c2－a2＝4，所以2bc cos A＝bc＝4，所以bc＝4，
所以△ABC的面积为bc sin A＝1.
课堂核心考点
考点1 正弦定理和余弦定理
【例1】 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B，则B等于( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·重庆模拟预测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为( )
A． B．
C． D．
解析：(1)B 由已知a＝bcos C＋csin B及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，
又sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B，
化简可得sin B＝cos B，即tan B＝1.
因为B为三角形的内角，所以B＝.故选B.
(2)A 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即36＝a2＋c2＋ac＝3ac＋ac＝4ac，
解得ac＝9，
所以△ABC的面积为ac sin B＝×9×＝.故选A.
(1)解三角形的基本类型有四类，已知△ABC中的边、角的某三个(至少包括一边)，就可求出此三角形的其他边和角．
(2)已知两边和其中一边的对角(如b，c，B)应用正弦定理时，有一解、两解和无解的情况，可根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确取舍．
(3)已知两边和其中一边的对角，求另一条边时，常采用余弦定理．
变式探究
1．(2025·吉林模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，“a cos B＝b cos A”是“A＝B”( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 由a cos B＝b cos A，根据正弦定理得sin A cos B＝sin B cos A，显然A，B≠，则tan A＝tan B，因为A，B为三角形内角，则A＝B，则充分性成立；
当A＝B时，因为A，B为三角形内角，则不会存在A＝B＝的情况，则A，B≠，则tan A＝tan B，则sin A cos B＝sin B cos A，根据正弦定理得a cos B＝b cos A，故必要性成立．
故“a cos B＝b cos A”是“A＝B”的充要条件．故选C.
2．(2025·山东烟台段考)在斜三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，4asin 2C＝3(a2＋b2－c2)sin B，b＝4，点D为BC边的中点，点O为AD的中点，且cos ∠CAO＝，则△ABC的面积为________．
解析：2 因为4asin 2C＝3(a2＋b2－c2)sin B，
由余弦定理得8asin Ccos C＝6abcos C·sin B，
又因为△ABC是斜三角形，所以cos C≠0，
所以4sin C＝3bsin B，
由正弦定理得4c＝3b2，
所以c＝＝2.
因为点D为BC边的中点，点O为AD的中点，如图所示，
所以＋＝2＝4，
即＝4－，
则2＝162＋2－2×4·，
所以24＝162＋16－2×4×4×||×，
即2||2－||－1＝0，
解得||＝1或－(舍去)，
所以S△AOC＝·AO·AC·sin ∠CAO＝×1×4×＝，
所以S△ABC＝2S△ACD＝4S△AOC＝4×＝2.
考点2 正弦定理和余弦定理的应用
【例2】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解析：(1)由已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝＝＝，
又因为sinC＝cos B，所以cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，
从而C＝，A＝π－－＝，
而sin A＝sin ＝sin (＋)＝×＋×＝，
由正弦定理有＝＝，
从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为
S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2，
已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2.
利用正、余弦定理求边和角的方法
(1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
(2)选择正弦定理或余弦定理或两者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
变式探究
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos A＝2ccos C－acos B.
(1)求角C的大小：
(2)若c＝2，b2＋c2＝a2＋4accos A，求△ABC的面积．
解析：(1)由bcos A＝2ccos C－acos B，
得sin Bcos A＝2sin Ccos C－sin Acos B，
即sin Bcos A＋sin Acos B＝2sin Ccos C，
得sin (A＋B)＝2sin Ccos C，
即sin C＝2sin Ccos C.
又C∈(0，π)，sin C>0，
所以1＝2cos C，即cos C＝，
又0(2)由b2＋c2＝a2＋4accos A，得b2＋c2－a2＝4accos A，
由余弦定理得cos A＝，
得b2＋c2－a2＝2bc cos A，
所以4ac cos A＝2bc cos A，
又cos A≠0，所以b＝2a.
由(1)知，C＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋4a2－4a2·＝3a2，
又c＝2，所以3a2＝4，由a>0，解得a＝，
所以b＝，
故S△ABC＝ab sin C＝×××＝.
考点3 “爪形”三角形问题
【例3】 (2025·江苏南通月考)如图，在△ABC中，AB＝，CD＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积S△ABC.
解析：(1)如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E.
因为AB＝，CD＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，
在Rt△AEB中，AE＝ABsin B＝×＝，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝3，
由余弦定理可得
AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos∠ACD
＝9＋25－2×3×5×(－)
＝49，
所以AD＝7.
(2)因为sin∠BAC＝sin (∠ABC＋∠ACB)
＝sin∠ABCcos∠ACB＋cos∠ABCsin∠ACB
＝×＋×
＝，
所以S△ABC＝AB·AC sin∠BAC＝××3×＝.
爪形三角形问题的题设情境是三角形的某顶点与其对边(或延长线)上一点将该三角形分割为两个三角形，题设条件与待求量分布在不同三角形内，求解策略是利用分界线两侧的两内角的互补关系，应用余弦定理求解或应用向量工具求解．
变式探究
4．(2025·四川绵阳模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长．
解析：(1)在△ABC中，由＝及正弦定理得，sin Bsin A＝sin A－sin A·cos B．
因为A∈(0，π)，sin A≠0，
所以sin B＝1－cos B，
所以sin B＋cos B＝2sin (B＋)＝1，
即sin (B＋)＝，
又B∈(0，π)，则B＋＝，所以B＝.
(2)由(1)得S△ABC＝acsin ＝ac＝，所以ac＝4.
如图所示，在△ABD中，由余弦定理可得
AD2＝c2＋()2－2c· ·cos ＝c2＋()2＋≥＝6，
当且仅当c＝，即a＝2，c＝时，等号成立，
此时AC2＝a2＋c2－2ac cos ＝8＋2－2×2××(－)＝14，故AC＝. 正弦定理与余弦定理
课前必备知识
课标要求
掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理与余弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦的比__相等，并且都等于__外接圆的直径__，即__＝＝＝2R__．
(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的__余弦__的积的两倍，即：
a2＝__b2＋c2－2bc_cos_A__；
b2＝__a2＋c2－2ac_cos_B__；
c2＝__a2＋b2－2ab_cos_C__．
由余弦定理，可以得到如下推论：
cos A＝____；
cos B＝____；
cos C＝____．
2．三角形常用面积公式
(1)S△ABC＝aha(其中ha表示边a上的高)；
(2)S△ABC＝ab sin C＝__bc_sin_A__＝__ac_sin_B__；
(3)S△ABC＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径).
常用结论
1．三角形边角关系
(1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边．
(2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边．
(3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；
(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋c cos A；c＝bcos A＋acos B.
4．解三角形的四种基本类型
(1)已知两角及任一边，求另一角和两边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角；
(3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角；
(4)已知三边，求三角．
课前训练
1．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2025·高三江苏泰州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，cos B＝，则b＝( )
A． B．1
C．2 D．2
3．(教材母题必修6.4.3练习T1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，c＝3，cos A＝，则a＝( )
A． B．2
C．2 D．
4．(2025·广东茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·＝( )
A． B．－
C．2 D．－2
5．(2025·山西晋城三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为________．
课堂核心考点
考点1 正弦定理和余弦定理
【例1】 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B，则B等于( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·重庆模拟预测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为( )
A． B．
C． D．
(1)解三角形的基本类型有四类，已知△ABC中的边、角的某三个(至少包括一边)，就可求出此三角形的其他边和角．
(2)已知两边和其中一边的对角(如b，c，B)应用正弦定理时，有一解、两解和无解的情况，可根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确取舍．
(3)已知两边和其中一边的对角，求另一条边时，常采用余弦定理．
变式探究
1．(2025·吉林模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，“a cos B＝b cos A”是“A＝B”( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2025·山东烟台段考)在斜三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，4asin 2C＝3(a2＋b2－c2)sin B，b＝4，点D为BC边的中点，点O为AD的中点，且cos ∠CAO＝，则△ABC的面积为________．
考点2 正弦定理和余弦定理的应用
【例2】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
利用正、余弦定理求边和角的方法
(1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
(2)选择正弦定理或余弦定理或两者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
变式探究
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos A＝2ccos C－acos B.
(1)求角C的大小：
(2)若c＝2，b2＋c2＝a2＋4accos A，求△ABC的面积．
考点3 “爪形”三角形问题
【例3】 (2025·江苏南通月考)如图，在△ABC中，AB＝，CD＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积S△ABC.
爪形三角形问题的题设情境是三角形的某顶点与其对边(或延长线)上一点将该三角形分割为两个三角形，题设条件与待求量分布在不同三角形内，求解策略是利用分界线两侧的两内角的互补关系，应用余弦定理求解或应用向量工具求解．
变式探究
4．(2025·四川绵阳模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长．
