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同步探究学案
课题 15.2 画轴对称的图形（第2课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探究点或图形的轴对称变换引起的点的坐标变化规律，能利用这些变化规律作出一个图形关于对称轴对称的图形． 2．通过探究关于轴对称的点的坐标之间的对应关系，培养学生的语言表达能力、观察能力、分析和归纳能力．
重点 线段垂直平分线的性质和判定．
难点 如何用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．轴对称的性质是什么？ 2．说一说画轴对称的图形的一般步骤.
新知探究 本节课来研究： 本节我们在平面直角坐标系中研究轴对称，研究关于坐标轴对称的图形的对称点坐标之间的关系。 探究：在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看一看每对对称点的坐标有怎样的规律，再和同学讨论一下． 已知点A(2，－3)B(－1，2)C(-6，-5)D(，1)E(4，0)关于x轴的对称点A′(___,___)B′(___,___)C′(___,___)D′(___,___)E′(___,___)关于y轴的对称点A″(___,___)B″(___,___)C″(___,___)D″(___,___)E″(___,___)
归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为_________； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为________． 例：如图所示，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形． 归纳：对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关键点（如三角形的_______）关于坐标轴对称的点的_______，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在，，，四个点中，其中两个点关于轴对称的是（ ） A．点， B．点， C．点， D．点， 2.下列判断正确的是( ) A.点(－3，4)与(3，4)关于x轴对称 B.点(3，－4)与点(－3，4)关于y轴对称 C.点(3，4)与点(3，－4)关于x轴对称 D.点(4，－3)与点(4，3)关于y轴对称 3．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( ) A．(－4，6) B．(4，6) C．(－2，1) D．(6，2) 选做题： 4.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(1，3)，则点M和点N的坐标分别是( ) A. M(1,－3)，N(－1,－3) B. M(－1,－3)，N(－1,3) C. M(－1,－3)，N(1,－3) D. M(－1,3)，N(1,－3) 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，已知中，． (1)在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． (2)的面积为___________． (3)若存在点，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于y轴的对称点的坐标是_______. 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是__________. 3．如图，的顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标． 选做题： 4．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（ ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【综合拓展类作业】 5.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图. (1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； (2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标； (3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴.
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第十五章 轴对称
15.2 画轴对称的图形
（第2课时）
1．探究点或图形的轴对称变换引起的点的坐标变化规律，能利用这些变化规律作出一个图形关于对称轴对称的图形．
2．通过探究关于轴对称的点的坐标之间的对应关系，培养学生的语言表达能力、观察能力、分析和归纳能力．
1．轴对称的性质是什么？
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
2．说一说画轴对称的图形的一般步骤.
（1）找（在原图上找特殊点）；
（2）画（画各特殊点关于对称轴的对称点）；
（3）连（顺次连接对称点）.
类似于平移，下面我们在平面直角坐标系中研究轴对称，研究关于坐标轴对称的图形的对称点坐标之间的关系．
探究：在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看一看每对对称点的坐标有怎样的规律，
再和同学讨论一下．
A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(，1)，E(4，0)
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(，1) E(4，0)
关于x轴的对称点 A′(___,___) B′(___,___) C′(___,___) D′(___,___) E′(___,___)
2 3
－1 －2
－6 5
－1
4 0
关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数．
点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为_______________．
（x，－y）
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(，1) E(4，0)
关于y轴的对称点 A′′(___,___) B′′(___,___) C′′(___,___) D′′(___,___) E′′(___,___)
－2 －3
1 2
6 －5
1
－4 0
关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．
点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为_______________．
（－x，y）
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．
在平面直角坐标系中，我们可以利用上述规律画出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．
例：如图所示，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形．
解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A′（5，1），B′（2，1），C′（2，5），D′（5，4），依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′．
你能在图中画出与四边形ABCD关于x轴对称的图形吗？
对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关键点（如三角形的顶点）关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形．
【知识技能类练习】必做题：
1．在，，，四个点中，其中两个点关于轴对称的是（ ）
A．点， B．点，
C．点， D．点，
C
【知识技能类练习】必做题：
2．下列判断正确的是( )
A．点(－3，4)与(3，4)关于x轴对称
B．点(3，－4)与点(－3，4)关于y轴对称
C．点(3，4)与点(3，－4)关于x轴对称
D．点(4，－3)与点(4，3)关于y轴对称
C
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( )
A．(－4，6)
B．(4，6)
C．(－2，1)
D．(6，2)
B
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(1，3)，则点M和点N的坐标分别是( )
A. M(1,－3)，N(－1,－3)
B. M(－1,－3)，N(－1,3)
C. M(－1,－3)，N(1,－3)
D. M(－1,3)，N(1,－3)
C
5．如图，在平面直角坐标系中，已知中，．
(1)在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、．
(2)的面积为___________．
(3)若存在点，使与全等，
则点的坐标为____________________．
（写出所有可能的情况）
【综合拓展类练习】
,,
坐标与图形变化——轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特征
平面直角坐标系中轴对称图形的画法
找
求
描
连
【知识技能类作业】必做题：
1．在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于y轴的对称点的坐标是_______．
(3，2)
【知识技能类作业】必做题：
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是__________．
(－2，3)
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，的顶点坐标分别为．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)写出点的坐标．
解：（1）如图，即为所求；
（2）由图象得由解：，．
【知识技能类作业】选做题：
4．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．重合
D
【综合拓展类作业】
5.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴．
解：(1)A1(0，4)，B1(2，2)，
C1(1，1)，
(2)A2(6，4)，B2(4，2)，
C2(5，1)，
(3) 关于直线x＝3对称中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第五课时《15.2 画轴对称的图形（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版数学八年级上册第15章15.2画轴对称图形的第2课时，核心围绕平面直角坐标系中的轴对称展开，采用“探究—归纳—应用”的结构．先通过让学生在坐标系中画出已知点关于x轴、y轴的对称点并填写坐标表格，再自主检验规律，引导学生从具象操作感知坐标；接着归纳出点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y)、关于y轴对称的点为(-x,y)的核心规律，实现几何性质到代数语言的转化；最后以四边形ABCD关于y轴对称的图形绘制为例，示范“找关键点—求对称点—描点连线”的作图流程，并预留相关任务供学生应用巩固，既落实了探究坐标变化规律与作对称图形的目标，也为理解线段垂直平分线的性质和判定奠定基础．
学习者分析 八年级上学期学生已掌握平面直角坐标系的基本概念与轴对称的初步性质，具备一定几何直观与简单归纳能力，但对“数”与“形”的结合仍需强化．此前学习中，学生习惯从图形直观理解轴对称，而本课需过渡到用坐标描述对称规律，这对抽象思维有一定要求．学生能通过画图、填表完成具象探究，如找出A(2,-3)等点的对称点坐标，但在归纳坐标变化规律时，可能需引导准确表述；应用规律绘制图形时，易在确定关键点对称坐标环节出错．此外，学生对线段垂直平分线性质的隐含关联认知不足，需结合坐标实例建立联系，为突破重难点奠定基础．
教学目标 1．探究点或图形的轴对称变换引起的点的坐标变化规律，能利用这些变化规律作出一个图形关于对称轴对称的图形． 2．通过探究关于轴对称的点的坐标之间的对应关系，培养学生的语言表达能力、观察能力、分析和归纳能力．
教学重点 线段垂直平分线的性质和判定．
教学难点 如何用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探究点或图形的轴对称变换引起的点的坐标变化规律，能利用这些变化规律作出一个图形关于对称轴对称的图形． 2．通过探究关于轴对称的点的坐标之间的对应关系，培养学生的语言表达能力、观察能力、分析和归纳能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1．轴对称的性质是什么？ （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．说一说画轴对称的图形的一般步骤. （1）找（在原图上找特殊点）； （2）画（画各特殊点关于对称轴的对称点）； （3）连（顺次连接对称点）. 导言：类似于平移，下面我们在平面直角坐标系中研究轴对称，研究关于坐标轴对称的图形的对称点坐标之间的关系．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习轴对称的性质及画轴对称的图形的一般步骤，为探究关于坐标轴对称的图形的对称点坐标之间的关系做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看一看每对对称点的坐标有怎样的规律，再和同学讨论一下． 已知点A(2，－3)B(－1，2)C(－6，－5)D(，1)E(4，0)关于x轴的对称点A′(___,___)B′(___,___)C′(___,___)D′(___,___)E′(___,___)关于y轴的对称点A″(___,___)B″(___,___)C″(___,___)D″(___,___)E″(___,___)
预设： （1） 关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数． 点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，－y）． （2） 关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（－x，y）． 归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）． 指出：在平面直角坐标系中，我们可以利用上述规律画出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形． 例：如图所示，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形． 解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A′（5，1），B′（2，1），C′（2，5），D′（5，4），依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′． 追问：解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A′（5，1），B′（2，1），C′（2，5），D′（5，4），依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′． 预设： 归纳：对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关键点（如三角形的顶点）关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形．学生活动3： 学生动手操作后小组合作探究，班内交流，归纳关于坐标轴对称的图形的对称点坐标之间的关系及利用规律在平面直角坐标系中，画出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．然后听老师的点评活动意图说明： 通过作点，标坐标，复习前面的知识，锻炼学生基本的数学能力，为新知识点的学习收集数据．同时让学生体验小组合作的好处，教师适时启发并鼓励学生，尽量让每个学生动手、动口、动脑，培养学生的语言表达能力、观察能力、分析归纳能力．通过例题讲解作图示范及展示动画，使学生达到基本的学习目标，即掌握“求出一个已知点关于坐标轴对称的点的坐标”和“能作出一个图形关于坐标轴对称的图形”．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：15.2 画轴对称的图形（第2课时） 一、关于坐标轴对称的点的坐标特征 二、平面直角坐标系中轴对称图形的画法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在，，，四个点中，其中两个点关于轴对称的是（ ） A．点， B．点， C．点， D．点， 答案：C 2.下列判断正确的是( ) A.点(－3，4)与(3，4)关于x轴对称 B.点(3，－4)与点(－3，4)关于y轴对称 C.点(3，4)与点(3，－4)关于x轴对称 D.点(4，－3)与点(4，3)关于y轴对称 答案：C 3．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( ) A．(－4，6) B．(4，6) C．(－2，1) D．(6，2) 答案：B 选做题： 4.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(1，3)，则点M和点N的坐标分别是( ) A. M(1,－3)，N(－1,－3) B. M(－1,－3)，N(－1,3) C. M(－1,－3)，N(1,－3) D. M(－1,3)，N(1,－3) 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，已知中，． (1)在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． (2)的面积为___________． (3)若存在点，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 解：（1）由题可得: ， ∵与关于轴对称， ∴,,, ∴,如图所示： （2）由（1）知，，，则如图所示： ∴． （3）∵，， ∴点的位置如图所示： ∴点的位置,,．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于y轴的对称点的坐标是_______. 答案：(3，2) 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是__________. 答案： (－2，3) 3．如图，的顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标． 解：（1）如图，即为所求； （2）由图象得由解：，． 选做题： 4．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（ ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 答案：D 【综合拓展类作业】 5.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图. (1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； (2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标； (3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴. 解：(1)A1(0，4)，B1(2，2)，C1(1，1)， (2)A2(6，4)，B2(4，2)，C2(5，1)， (3) 关于直线x＝3对称
教学反思 本课围绕平面直角坐标系中轴对称的坐标规律展开，通过探究、归纳、应用环节落实教学目标．多数学生能通过画图填表发现对称点坐标规律，顺利完成单点对称练习，但在应用规律画四边形对称图形时，部分学生因漏找关键点或算错对称坐标出错，需加强对“关键点法”的实操指导．此外，虽通过坐标实例渗透线段垂直平分线性质，但学生对“数”与“形”的关联理解仍较浅，后续需增加针对性练习，帮助学生深化对重难点的认知，提升知识应用能力．
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